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1、20142015学年度第一学期期中考试高三数学试题 (考试时间：120分钟 总分160分) 命题人：王鸿、王光华 审题人：孟太、朱善宏注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合，则 2已知角的终边经过点，则的值是 3. 若等差数列的前5项和，且，则 4曲线在点（1，2）处的切线方程是 5将函数的图象上每一点向右平移个单位，得函数的图象，则= 6在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点， 则线段的长度为 .7. 不等式的解集为 .8. 已知，且，则的值为 9. 在中，“”是“”的 条
2、件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 10如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则 11设，已知在约束条件下，目标函数的最大值为，则实数的值为 . （第10题图）12已知等比数列的首项，其前四项恰是方程 的四个根，则 .13已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 14. 已知两条平行直线 ：和：（这里），且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B ，直线与函数的图像从左至右相交于C、D若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题
3、卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值16设，函数（）已知是的导函数，且为奇函数，求的值；（）若函数在处取得极小值，求函数的单调递增区间。ABCDEFMNG第17题17某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，且中，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场（）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（）问
4、：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积18. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、（）当切线PA的长度为时，求点的坐标；（）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段长度的最小值19.若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列（）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（）设数列满足：，对于，都有 求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式； 设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由
5、20. 已知函数，其中（）若，试判断函数的单调性，并说明理由；（）设函数，若对任意的，总存在唯一的实数，使得成立，试确定实数的取值范围.高三数学期中试题（教师版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合，则 答案：2已知角的终边经过点，则的值是 答案： 3. 若等差数列的前5项和，且，则 答案：134曲线在点（1，2）处的切线方程是 答案：5将函数的图象上每一点向右平移个单位，得函数的图象，则= 答案： 6在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点， 则线段的长度为 .答案：47. 不等式的解集为 .答案：8.已知，且，则的值为 答案：9. 在
6、中，“”是“”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 答案：必要不充分10如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则 答案： （第10题图）11设，已知在约束条件下，目标函数的最大值为，则实数的值为 .答案：12已知等比数列的首项，其前四项恰是方程的四个根，则 .答案：13已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 答案：14. 已知两条平行直线 ：和：（这里），且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B ，直线与函数的图像从左至右相交于C、D若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，
7、的最小值为 答案：32二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（）求的值； （）若，且，求的值解：（）因为， 由正弦定理得，所以 4分 （）因为，所以，所以，由余弦定理得，所以8分 所以即 14分16设，函数（）已知是的导函数，且为奇函数，求的值；（）若函数在处取得极小值，求函数的单调递增区间。解：（）， 2分 故 ， 为奇函数， ，即 ； 6分 （） 列表如下： 9分 在处取得极小值，在处取得极大值， 由题设，； 12分 所以函数的递增区间为 14分ABCDEFMNG第17
8、题17某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，且中，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场（）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积解：（）作GHEF，垂足为H，因为，所以，因为所以，所以 2分过作交于T，则，所以 7分由于与重合时，适合条件，故,8分（），10分 所以当且仅当，即时，取得最大值2000， 13分答：当时，得到的市民健
9、身广场面积最大，最大面积为14分18. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、（）当切线PA的长度为时，求点的坐标；（）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段长度的最小值解：（）由题可知，圆M的半径r2，设P（2b,b），因为PA是圆M的一条切线，所以MAP90,所以MP，解得所以 4分（）设P（2b，b），因为MAP90，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为： 即由， 7分解得或，所以圆过定点 9分（）因为圆方程为 即 圆：，即 得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为： 11分点M到直线AB的
10、距离 13分 相交弦长即： 当时，AB有最小值16分19.若数列满足：对于，都有（为常数），则称数列是公差为的“隔项等差”数列（）若，是公差为8的“隔项等差”数列，求的前项之和；（）设数列满足：，对于，都有 求证：数列为“隔项等差”数列，并求其通项公式； 设数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得成等比数列（）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由 解：（）易得数列前项之和 4分（）（）（A） （B）（B）（A）得（） 所以，为公差为2的“隔项等差”数列 6分 当为偶数时， 当为奇数时，； 8分 当为偶数时，； 当为奇数时， 12分 故当时， 由，则，解得所以存在实数，使得成等比数列（）
11、 16分20. 已知函数，其中（）若，试判断函数的单调性，并说明理由；（）设函数，若对任意大于等于2的实数，总存在唯一的小于2的实数，使得成立，试确定实数的取值范围.解：（）为减函数。理由如下：因为，由于，且，所以，从而函数为减函数。（亦可先分别用定义法或导数法论证函数和在上单调递减，再得函数为单调减函数。） 5分（）若时，；时。所以不成立. 7分若时，所以在单调递减.从而，即. 9分(a)若时，.所以在上单调递增，从而，即.要使成立，只需，即成立即可.由于函数在上单调递增，且，所以. 11分(b)若时，所以在上单调递增，在上单调递减.从而，即. 13分要使成立，只需成立，即成立即可.由，得.故当时，恒成立.综上所述，. 16分
