江苏省泰州市姜堰区高三上学期期中考试 数学试题及答案.doc

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1、20142015学年度第一学期期中考试高三数学试题 (考试时间:120分钟 总分160分) 命题人:王鸿、王光华 审题人:孟太、朱善宏注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知集合,则 2已知角的终边经过点,则的值是 3. 若等差数列的前5项和,且,则 4曲线在点(1,2)处的切线方程是 5将函数的图象上每一点向右平移个单位,得函数的图象,则= 6在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点, 则线段的长度为 .7. 不等式的解集为 .8. 已知,且,则的值为 9. 在中,“”是“”的 条

2、件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一) 10如图,已知正方形的边长为3,为的中点,与交于点,则 11设,已知在约束条件下,目标函数的最大值为,则实数的值为 . (第10题图)12已知等比数列的首项,其前四项恰是方程 的四个根,则 .13已知圆C:,点P在直线l:上,若圆C上存在两点A、B使得,则点P的横坐标的取值范围是 14. 已知两条平行直线 :和:(这里),且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B ,直线与函数的图像从左至右相交于C、D若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ,则当变化时,的最小值为 二、解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题

3、卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若()求的值; ()若,且,求的值16设,函数()已知是的导函数,且为奇函数,求的值;()若函数在处取得极小值,求函数的单调递增区间。ABCDEFMNG第17题17某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中,且中,经测量得到为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于,从而得到五边形的市民健身广场()假设,试将五边形的面积表示为的函数,并注明函数的定义域;()问

4、:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积18. 已知圆:,点是直线:上的一动点,过点作圆M的切线、,切点为、()当切线PA的长度为时,求点的坐标;()若的外接圆为圆,试问:当运动时,圆是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;()求线段长度的最小值19.若数列满足:对于,都有(为常数),则称数列是公差为的“隔项等差”数列()若,是公差为8的“隔项等差”数列,求的前项之和;()设数列满足:,对于,都有 求证:数列为“隔项等差”数列,并求其通项公式; 设数列的前项和为,试研究:是否存在实数,使得成等比数列()?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由

5、20. 已知函数,其中()若,试判断函数的单调性,并说明理由;()设函数,若对任意的,总存在唯一的实数,使得成立,试确定实数的取值范围.高三数学期中试题(教师版)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知集合,则 答案:2已知角的终边经过点,则的值是 答案: 3. 若等差数列的前5项和,且,则 答案:134曲线在点(1,2)处的切线方程是 答案:5将函数的图象上每一点向右平移个单位,得函数的图象,则= 答案: 6在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点, 则线段的长度为 .答案:47. 不等式的解集为 .答案:8.已知,且,则的值为 答案:9. 在

6、中,“”是“”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一) 答案:必要不充分10如图,已知正方形的边长为3,为的中点,与交于点,则 答案: (第10题图)11设,已知在约束条件下,目标函数的最大值为,则实数的值为 .答案:12已知等比数列的首项,其前四项恰是方程的四个根,则 .答案:13已知圆C:,点P在直线l:上,若圆C上存在两点A、B使得,则点P的横坐标的取值范围是 答案:14. 已知两条平行直线 :和:(这里),且直线与函数的图像从左至右相交于点A、B ,直线与函数的图像从左至右相交于C、D若记线段和在x轴上的投影长度分别为a 、b ,则当变化时,

7、的最小值为 答案:32二、解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若()求的值; ()若,且,求的值解:()因为, 由正弦定理得,所以 4分 ()因为,所以,所以,由余弦定理得,所以8分 所以即 14分16设,函数()已知是的导函数,且为奇函数,求的值;()若函数在处取得极小值,求函数的单调递增区间。解:(), 2分 故 , 为奇函数, ,即 ; 6分 () 列表如下: 9分 在处取得极小值,在处取得极大值, 由题设,; 12分 所以函数的递增区间为 14分ABCDEFMNG第17

8、题17某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一个水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中,且中,经测量得到为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于,从而得到五边形的市民健身广场()假设,试将五边形的面积表示为的函数,并注明函数的定义域;()问:应如何设计,可使市民健身广场的面积最大?并求出健身广场的最大面积解:()作GHEF,垂足为H,因为,所以,因为所以,所以 2分过作交于T,则,所以 7分由于与重合时,适合条件,故,8分(),10分 所以当且仅当,即时,取得最大值2000, 13分答:当时,得到的市民健

9、身广场面积最大,最大面积为14分18. 已知圆:,点是直线:上的一动点,过点作圆M的切线、,切点为、()当切线PA的长度为时,求点的坐标;()若的外接圆为圆,试问:当运动时,圆是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;()求线段长度的最小值解:()由题可知,圆M的半径r2,设P(2b,b),因为PA是圆M的一条切线,所以MAP90,所以MP,解得所以 4分()设P(2b,b),因为MAP90,所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径,其方程为: 即由, 7分解得或,所以圆过定点 9分()因为圆方程为 即 圆:,即 得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为: 11分点M到直线AB的

10、距离 13分 相交弦长即: 当时,AB有最小值16分19.若数列满足:对于,都有(为常数),则称数列是公差为的“隔项等差”数列()若,是公差为8的“隔项等差”数列,求的前项之和;()设数列满足:,对于,都有 求证:数列为“隔项等差”数列,并求其通项公式; 设数列的前项和为,试研究:是否存在实数,使得成等比数列()?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由 解:()易得数列前项之和 4分()()(A) (B)(B)(A)得() 所以,为公差为2的“隔项等差”数列 6分 当为偶数时, 当为奇数时,; 8分 当为偶数时,; 当为奇数时, 12分 故当时, 由,则,解得所以存在实数,使得成等比数列()

11、 16分20. 已知函数,其中()若,试判断函数的单调性,并说明理由;()设函数,若对任意大于等于2的实数,总存在唯一的小于2的实数,使得成立,试确定实数的取值范围.解:()为减函数。理由如下:因为,由于,且,所以,从而函数为减函数。(亦可先分别用定义法或导数法论证函数和在上单调递减,再得函数为单调减函数。) 5分()若时,;时。所以不成立. 7分若时,所以在单调递减.从而,即. 9分(a)若时,.所以在上单调递增,从而,即.要使成立,只需,即成立即可.由于函数在上单调递增,且,所以. 11分(b)若时,所以在上单调递增,在上单调递减.从而,即. 13分要使成立,只需成立,即成立即可.由,得.故当时,恒成立.综上所述,. 16分

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