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1、一、填空题（）晶体可分为（共价结合）（离子结合）（金属结合）（分子结合）（氢键结合）五种结合类型（2）电负性是表征（原子吸引电子能力）的物理量（3）共价键结合特点（饱和性）、（方向性）（）在离子晶体中马德隆常数是仅与 晶体结构类型 有关的常数（4）晶体晶体的宏观对称操作一共有（1）（2）（3）（4）（6）（i）（m）（）八种基本对称操作。或者晶体晶体的宏观对称操作一共有（C1），(C2)，(C3)，(C4)，(C6) ，(Ci)，(Cs)，(S4)八种基本对称操作。（5）按照晶胞基矢的特征，晶体可分为（立方），（六角（方），（四方），（三角（方），（正交），（单斜），（三斜）7大晶系：按照晶胞
2、上各点的分布特点，晶体结构分为（简单立方），（体心立方），（面心立方），（六角（方），（简单四方），（体心四方），（三角（方），（简单正交），（底心正交），（体心正交），（面心正交），（简单单斜），（底心单斜），（简单三斜）14种布拉菲格子。（）六角密积属（六角）晶系, 一个晶胞（平行六面体）包含（两）个原子.（6）X光衍射的实验方法有（劳厄法）、（旋转单晶法）、（粉末法）三种方法。（7）各原子的原子散射因子不同由于（不同原子的电子云的分布情况）的差异造成的（8）布拉格方程为：（） 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波.（）金刚石属于（面心立方）结构，一个基元包
3、含（2）个碳原子，N个碳原子组成的金刚石晶体含有（N/2）个原胞。一个能带填充电子的个数等于原胞数的（2）倍，一个能带能够填充（N）个电子。（）当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上.（）两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子（）金属中电子比热与温度呈（线性）关系，原因在于只有（费米面）附近的电子才能被热激发对比热有贡献。（）解释晶格热容时爱因斯坦模型假定（所有振动模（声子）彼此独立，并具有（相同）的频率。德拜模型把晶体视为（连续介质），格波视为（弹性波），有（一）支纵波
4、（两）支横波。（）晶体的缺陷主要有（点缺陷）、（线缺陷）和（面缺陷）三种缺陷类型（）接触电势差来源于两块金属的（费米能级）不一样高. 电子从费米能级高的金属I流到较低的金属II, 接触电势差正好补偿了EFI-EFII, 达到平衡时, 两块金属的费米能级就达到同一高度。（）纯金属的电阻率与温度的关系，在高温时，电阻率与（温度T）成正比；在低温时，电阻率与（T5）成正比。（）Si晶体是复式格子，由两个面心立方结构的子晶格沿体对角线位移1/4套构而成；其固体物理学原胞包含8个原子，其固体物理学原胞基矢可表示，, 。假设其结晶学原胞的体积为a3，则其固体物理学原胞体积为。（）由完全相同的一种原子构成的
5、格子，每个格点周围环境相同称为布拉菲格子； 倒格子基矢与正格子基矢满足，由倒格子基矢（l1, l2, l3为整数）,构成的格子，是正格子的傅里叶变换，称为倒格子格子；由若干个布拉菲格子套构而成的格子称为复式格子。最常见的两种原胞是固体物理学原胞和结晶学原胞。（）声子是格波的能量量子，其能量为w，动量为q()热膨胀和热传导是晶格振动非简谐效应的所致。（）热导系数与温度的关系，在高温时，热导系数与温度的倒数成正比，低温时，热导系数与温度的三次方成正比。二、判断题 金刚石晶格是一种简单晶格（） 六角密排晶格是一种复式晶格（） 金刚石晶格可以看成沿着体对角线相互错开1/4长度的两个简单立方晶格穿套而成
6、（） 金刚石晶格结构中含有（2）种碳原子，六角密排晶格结构中含有（2）种等价原子 面心立方晶格是一种简单晶格（） NaCl晶格对应的Bravais格子是面心立方的（） 金刚石晶格对应的Bravais格子是体心立方的（） CsCl晶格结构对应的Bravais格子是体心立方的（） Bravais格子是由格点构成的纯粹的几何结构（） ZnS晶格结构对应的Bravais格子是面心立方的（）三、概念题1. 第一布里渊区（3分）第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。or由于晶体中的格波或者电子波的色散关系在波矢空间是周期为/a的周期性函数（例如，E(k) = E(k+n/a)，则k和k+n/a表示相
7、同的状态；因此可把波矢限制在第一布里渊区(/2a q /2a ) 内，而将其他区域通过移动n/a而合并到第一布里渊区；or倒格子的魏格纳-赛次原胞就是第一布里渊区Or近邻格点作垂直评分面所构成的最小封闭区间2. 布洛赫定理（3分）在周期场中运动的单电子波函数形式如下：其中数是任意格矢量 3. 费米面、费米能、费米速度（3分） 费米面：在动量空间，金属中电子占据和非占据态的分界面。 费米能：在绝对零度时，处于基态的费米子系统的化学势or一个由无相互作用的费米子组成的系统的费米能（EF）表示在该系统中加入一个粒子引起的基态能量的最小可能增量 费米速度：在费米面上电子所对应的速度。4. LST关系（
8、3分）其中，为晶格振动光学模的纵振动频率，为晶格振动光学模的横振动频率，为低频时的介电常数，为高频时的介电常数。5. 色心（3分）能够吸收光的点缺陷称为色心。6. 原子散射因子原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比称为该原子的原子散射因子。原子散射因子f=Aa/Ae7. 几何结构因子原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。或者原胞内所有原子在某一方向引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比四、选择题（1）以下晶体结构类型，哪一个不属于14种布拉菲格子（c）（a）面心正交 （b）
9、体心立方 （c）底心四方 （d） 体心四方（2）五、简答题7. 引入Born-Karman条件的理由是什么？（5分）在处理晶格振动问题时会遇到边界条件问题，为了数学上解微积分的方便，引入了Born-Karman条件。 8. 导体、半导体、绝缘体能带结构特点（5分）金属或导体中的价电子没有把价带（最高填充带）填满，此为导带。绝缘体中的价电子正好把价带填满，且更高的许可带（空带）与价带间相隔较宽的禁带。半导体和绝缘体相似，但是禁带较窄。14.在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为a，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。（5分）一维周期场近自由电子模型近似下的能带图或者为下图
10、中的其中一个图即可(1)在k=np/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为 ；(2)在k=np/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；(3)在k远离np/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。在晶体衍射中，为什么不能用可见光？晶体中原子间距的数量级为米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于米. 但可见光的波长为7.64.0米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?共价结合, 形成共价键的配对电
11、子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.为什么许多金属为密积结构?金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中
12、的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原
13、胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?频率为的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有
14、相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.3.7在甚低温下, 德拜模型为什么与
15、实验相符?在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.4.1 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为,波矢空间中一个波矢点对应的体积为, 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的
16、体积的1/N. 由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.4.2在布里渊区边界上电子的能带有何特点?电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢正交, 则禁带的宽度, 是周期势场的付里叶级数的系数.不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交4.3当电子的波矢落在
17、布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为Fl, 电子的加速度为.但Fl的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有.显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m*与真实质量m的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的
18、作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别4.4电子的有效质量变为的物理意义是什么?仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化.从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量变为. 此时电子的加速度,即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反.4.5紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?以s态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分的大小, 而积分的大小又取决于与相邻格点的的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的与交叠程度小, 外层电子的与交迭程度大. 因此, 紧
19、束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.4.6等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？将电子的波矢k分成平行于布里渊区边界的分量和垂直于布里渊区边界的分量k. 则由电子的平均速度得到,.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有=0, 即垂直于界面的速度分量为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.5.1一维简单晶格中一个能级包含几个电子?设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于电子的能
20、带是波矢的偶函数, 所以能级有(N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子.5.2本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.6.1你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远
21、的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.6.2为什么温度升高, 费密能反而降低?当时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低. 6.3为什么价电子的浓度越大, 价电子的平
22、均动能就越大?由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能正比与费密能, 而费密能又正比与电子浓度:,.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.6.4对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本
23、质上的联系?对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子
24、能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式和立方结构金属的电导率看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.6.5为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?电导是金属通流能力的量度. 通
25、流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径.可见电子浓度n越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高. 6.6磁场与电场, 哪一种场对电子分布函数的影响大? 为什么?磁场与电场相比较, 电场对电子分布函数的影响大. 因为磁场对电子的作用是洛伦兹力, 洛伦兹力只改变电子运动方向, 并不对电子做功. 也就是说, 当只有磁场情况下, 非磁性金属中价电子的分布函数不会改变. 但在磁场与电场同时存在的情况下,
26、由于产生了附加霍耳电场, 磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来. 但与电场相比, 磁场对电子分布函数的影响要弱得多. 什么是热缺陷？简述肖特基缺陷和弗仑克尔缺陷的特点。答：在点缺陷中，有一类点缺陷，其产生和平衡浓度都与温度有关，这一类点缺陷称为热缺陷，热缺陷总是在不断地产生和复合，在一定地温度下热缺陷具有一定地平衡浓度。肖特基缺陷是晶体内部格点上的原子（或离子）通过接力运动到表面格点的位置后在晶体内留下空位；弗仑克尔缺陷是格点上的原子移到格点的间隙位置形成间隙原子，同时在原来的格点位置留下空位，二者成对出现。简述空穴的概念及其性质.答：对于状态K空着的近满带，其总电流就如同一个具有正
27、电荷e的粒子，以空状态K的电子速度所产生的，这个空的状态称为空穴；空穴具有正有效质量，位于满带顶附近，空穴是准粒子。5.根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献在低温时必须考虑？答：在量子理论中，大多数电子的能量远远低于费米能量EF ，由于受到泡利不相容原理的限制，不能参与热激发，只有在EF附近约KBT范围内电子参与热激发，对金属的比热有贡献。CVe=gT在高温时CVe相对CVl 来说很小可忽略不计；在低温时，晶格振动的比热按温度三次方趋近于零，而电子的比热与温度一次方正比，随温度下降变化缓慢，此时电子的比热可以和晶格振动的比热相比较，不能忽
28、略。六、计算题（1）雷纳德-琼斯势为证明：时，势能最小，且；当时，；说明和的物理意义。解：当时，取最小值，由极值条件得于是有再代入的表达式得当时，则有由于是两分子间的结合能，所以即是两分子处于平衡时的结合能。具有长度的量纲，它的物理意义是：是互作用势为零时两分子之间的距离。（2）求面心立方晶格的几何结构因子，讨论衍射面指数与消光条件解：面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标代入公式:求解一维双原子链的晶格振动 假定两种原子P和Q沿着一维交替排列，原子质量分别是m和M，原子间距为a，采用简谐近似，并假定只存在最近邻原子之间的作用力，力常数为。（1）写出原子的运动方程，求出晶格振动色散关
29、系并作图表示。（5分）（2）假定P和Q原子各有N个，在周期性边界条件下讨论格波波矢的取值。（2分）（3）讨论在第一布里渊区中心和边界处声学支格波和光学支格波所对应的原子运动的异同。（3分）（4）近似计算布里渊区中心附近声学支格波的态密度。（5分）解：（1）运动方程及其解：考虑一个由质量m和质量M两种原子（设Mm）等距相间排列的一维双原子链，设晶格常数为2a，平衡时相邻两原子的间距为a，原子间的力常数为。在t时刻，两种原子的位移分别为：u2n，u2n+1若只考虑近邻原子间的弹性相互作用，则运动方程为：试解：代入方程得到：有解条件是久期方程为零=0解得：一维双原子链晶格振动色散关系图（2）周期性边
30、界条件下为整数（3）在布里渊区中心，光学支格波两种原子相对运动；声学支格波对应的两种原子同向运动。在布里渊区边界处，光学支格波重原子不动，轻原子相对运动；声学支格波对应的轻原子不动，重原子相对运动。（4）在布里渊区中心，声学支格波近似为弹性波，对应的态密度为：值根据色散关系求出。 设质量为m的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为b1, 分子间相邻原子的力系数为b2, 分子的两原子的间距为d, 晶格常数为a, 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱w(q).1. 原子运动方程1. 1. 格波的振动谱w(q)求出一维金属中自由电子能态密度。（本题10分）解：设一维一价金属
31、离子有N个导电电子，晶格常数为a，如图所示，在能量区间波矢数目为一维金属中自由电子能带利用自由电子的能量与波矢的关系可得到能量区间的量子态数目由此得到能态密度七、证明题（1）证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 。（2）证明不存在5度旋转对称轴证明立方晶系的晶列hkl与晶面族(hkl)正交.设为晶面族的面间距为, 为单位法矢量, 根据晶面族的定义, 晶面族将分别截为等份， 即(,)=a(,)=,(,)= a(,) =,(,)= a(,) =.于是有=+ =(+). (1)其中, 、分别为平行于三个坐标轴的单位矢量. 而晶列的方向矢量为+ =(+).(2)由(1)、（2）两式得=,即与平行. 因此晶列与晶面正交.（）设晶格常数为a, 求立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的面间距.2. 立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的面间距 立方晶系密勒指数为(hkl)的晶面族的面间距证明体心格子的倒格子为面心立方格子。
