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1、长郡中学2008年高一实验班选拔考试试卷注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = x上 (B) 抛物线 y =上 (C) 直线y = x上 (D) 双曲线xy = 1上2以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是 ( )(A) 3
2、5 (B) 30 (C) 25 (D) 203若10，则一定是 ( )第4题(A) 最小，最大 (B) 最小，最大 (C) 最小，a最大 (D) 最小， 最大 4如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）(A) AEAF （B）EF：AF =：1(C) AF2 = FHFE （D）FB ：FC = HB ：EC 5在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知BDF的面积为10，BCF的面积为20，CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44
3、6某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A）30 （B）35 （C）56 （D） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7若4sin2A 4sinAcosA + cos2A = 0, 则tanA = _ _ .(第9题)8在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形.9如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2
4、，则通过A,B,C三点的拋物线对应的函数关系式是 .(第11题)10桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。已知大球的半径为20cm，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11物质A与物质B分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以l单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .第12题12设 为一群圆, 其作法如下：是半径为a的圆, 在的圆内作四个相等的圆(如图), 每个圆和圆都内切, 且相邻的两个圆均外切, 再在每一个圆中, 用同样的方法作四个相等的圆, 依此类
5、推作出 , 则(1) 圆的半径长等于 (用a表示)；(2) 圆的半径为 ( k为正整数，用a表示，不必证明) 三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。第13题13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OCAB.(1) 求证AD = AE；(2) 若OC=AB = 4，求BCE的面积.（1）证1.AD是圆O的直径，点C在圆O上， ACD = 90，即ACDE. 又OCAE，O为AD中点 AD = AE. 证2 O为AD中点，OCAE， 2OC = AE， 又AD是圆O的直径， 2OC = AD
6、， AD = AE. （2）由条件得ABCO是平行四边形， BCAD，又C为中点，AB =BE = 4，AD = AE，BC = BE = 4， 连接BD，点B在圆O上，DBE= 90，CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4， 所求面积为4. 4分 14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p 2的顶点为M，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使ABM面积达到最小.解：(1) = 4p2 8p + 8 = 4 ( p 1)2 + 4 0 , 抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2)
7、设A (x1, 0 ), B( x2, 0),则|AB|2 = |x2 x1|2 = (x1 + x2)2 4x1x22 = 4p2 8p + 8 2 = 4 ( p 1)2 + 42,|AB| = 2. 5分又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x p)2 ( p 1 )2 1 .得b = ( p 1 )2 1 .当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时SABM = |AB|b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共
8、积19分。(1) 试判断A队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得： 4分依题意，知x0,y0,z0,且x、y、z均为整数， 解得：x ， x可取4、5、6 4分 A队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ； 当x=6时，y=1,z= 5. 4分（2）W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= 600x+19300当x = 4时，W最大，W最大值= 604+19300=
9、16900（元） 答略. 4分 16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =x1经过这两个顶点中的一个.（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作M，经过A、B两点的抛物线，y = ax2bxc的顶点是P点. 若点P位于M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； 过点C作M的切线交AD于F点，当PFAB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y =x1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由. 解：(1)如图，建立平面直
10、有坐标系，矩形ABCD中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（ m 0 ), 则有B(m3 0)；C(m3 2), D(m 2);若C点过y =x1；则2=(m3)1, m = 1与m0不合； C点不过y=x1；若点D过y=x1，则2=m1, m=2, A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )， D(2,2)； 5分（2）M以AB为直径，M(3.5 0)，由于y = ax2bxc过A(2, 0)和B(5 ,0)两点， 2分y = ax27ax10a( 也可得：y= a(x2)(x5)= a(x27x10) = ax27ax10a ) y = a(x)2a； 抛物线顶点P(, a)
11、顶点同时在M内和在矩形ABCD内部, a 2,a. 3分 设切线CF与M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n0；AD、BC、CF均为M切线，CF=n2, DF=2n; 在RtDDCF中，DF2DC2=CF2；32(2n)2=(n2)2, n=, F(2, )当PFAB时，P点纵坐标为；a =，a = ; 抛物线的解析式为：y= x2x5 3分抛物线与y轴的交点为Q（0，5），又直线y =x1与y轴交点（ 0，1）；Q在直线y=x1下方. 3分高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1D 2D 3A 4C 5D 6B 二、填空题（本题有6个小题，每
12、小题5分，共30分）7. 82. 9 y = x2 x +. 1020. 11( ,2). 12(1) 圆的半径； (2)圆的半径 ( 1 )n 1 a .长郡中学2009理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分）1函数y图象的大致形状是 （）A B C D2小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）A、 B、 C、 D、3满足不等式的最大整数n等于 （ ）（A）8 （B）9 （C）10 （D）114甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲驶1小时到达B站，乙再驶4小时
13、到达A站. 那么，甲车速是乙车速的 （A）4倍 （B）3倍 （C）2倍 （D）1.5倍5图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ） （A）5 （B）6 （C）7 （D）86如图，AB，CD分别是O的直径和弦，AD，BC相交于点E，AEC=，则CDE与ABE的面积比为 （ ）（A）cos （B）sin （C）cos2 （D）sin27两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和 b的大小为 （ ）（A） （B） （C） （D）与勺子大小
14、有关8设A，B，C是三角形的三个内角，满足，这个三角形是 （ ）（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）都有可能二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1=9=8=610如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于 _ .11计算：= _ . 12五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这天为止一共已经
15、赛了 _ 场，E队比赛了 _ 场.13已知AOB=30,C是射线OB上的一点，且OC=4，若以C为圆心，半径为r的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_（第14题）14如图，ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则1 _ 2（填“”、“”或“=”）三解答题（共38分）15. （分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设
16、计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？（分）如图，是的内接三角形，为中上一点，延长至点，使（1）求证：；（2）若，求证：（分）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QKBC，交折线段CD-DA-AB于点E点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止设点P
17、、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQDC？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）DEKPQCBA（4）PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由参考答案选择题DCDCCCCB9 186=951=834=67210 11 12 6场，2场13 14 1（）解：设搭配种造型个，则种造型为个，依题意，得： ，解这个不等式组，得：， 是整数，可取，可设计三种搭配方案：种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个
18、种园艺造型个种园艺造型个种园艺造型个 （2）应选择方案，成本最低，最低成本为元证明：（1）在中，在中，（同弧上的圆周角相等）， 在和中， （2）若 ，又解：（1）t=（507550）5=35（秒）时，点P到达终点CFGDEKPQCBA图9HQKCHDEPBA图8此时，QC=353=105，BQ的长为135105=30（2）如图8，若PQDC，又ADBC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=经检验，当t=时，有PQDC（3）当点E在CD上运动时，如图9分别过点A、D作AFBC于点F，DHBC于点H，则四边形ADHF为矩形，且A
19、BFDCH，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t，从而QE=QCtanC=3t=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE=QEQC=6t2；当点E在DA上运动时，如图8过点D作DHBC于点H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE=(EDQC)DH =120 t600（4）PQE能成为直角三角形长郡中学2010理科实验班招生考试数学模拟试卷一选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分）1. 已知，则的值等于 。2计算：200620062007+200720072008200620072
20、007200720082008 = 。（第4题）ABCD3函数，当x = 时，y有最小值，最小值等于 4如图，ABC中，A的平分线交BC于D，若AB=6 cm，AC=4 cm，A=60，则AD的长为 cm5甲上岳麓山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上走16分钟，乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地. 那么甲上山和乙下山的速度之比等于 6如果关于x的方程有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 .7实数x、y满足x22x4y5，记tx2y，则t的取值范围为_8两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形.
21、图中RtABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示）.第8题 二选择题：（每小题4分，本题满分32分）9若，则+ + +的值是（ ）（A）1 （B）0 （C）-1 （D）210用橡皮筋把直径为10cm的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度（精确到 0.1等于 （ ） （A）94.2 cm （B）91.4 cm （C）61.4 cm （D）56.4 cm11、李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款a元，后来她退了2包 酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她b元（0bb）又a、b是方程的两根 (a+b)2-2ab=25(m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0.得m
22、1=8 m2=-4 经检验m=-4不合舍去m=8 x2-7x+12=0 x1=3 x2=4 a=4，b=3 (2) 以1厘米/秒的速度沿BC所在直线向左移动。x秒后BB=x 则BC=4-xCMAC BCMBCA 即y= (0x4)当y=时 = x1=3 x2=5(不合舍去)经过3秒后重叠部分的面积等于平方厘米。2011年长郡中学理科实验班招生考试数学试卷（初试）考生注意：本试卷全卷共28小题，分值100分，将答案写在答题卡上，考试时间90分钟。一、本大题共5小题，每小题2分，满分10分。1. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 。2. 函数中，自变量的取值
23、范围是 。3.已知,则代数式的值为 。4. 若， 则的值为 。（用含的代数式表示）5. 如图，等腰梯形ABCD中，ABDC,BEAD, 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则BEC的周长为 。二、本大题共10小题，每小题3分，满分30分。6. 双曲线、在第一象限的图像如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于，交轴于，若，则的解析式是 。ABCD7. 若能分解为两个一次因式的积，则整数的值是_。8. 若实数满足，则的最小值是 。9. 如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转到正方形，则图中阴影部分的面积为 。10. 一青蛙在如图的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青
24、蛙每次所跳的最远距离为，青蛙从点开始连续跳六次正好跳回到点，则所构成的封闭图形的面积的最大值是 。11. 如图，依次连结第一个正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去若第一个正方形边长为，则第个正方形的面积是 。1212.如图，直线过正方形的顶点，点到直线的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。A13.如图，小亮从点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了米。14. 化简的结果是 。15. 计算：+ 。三、本大题共5小题，每小题4分，满分20分。16. 汽车从甲地开往
25、乙地，每小时行千米，小时可以到达，如果每小时多行驶千米，那么可以提前达到的小时数是 。17. 已知关于的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 。18.已知 。19. 若ABC的三条中线长为3、4、5，则SABC为_ _ABCEFO20. 若直线与直线的交点坐标是（，），则的值是 四、本大题共8小题，每小题5分，满分40分21. 函数y的最小值是_22. 如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=4，AO=，那么AC的长等于 。23.设i=1,2,3,.,n, 且01, , 则n的最小整数解为_。24. 抛物线, 交y轴于一点A
26、(0,1),交x轴于M(),N, 且,过点A的直线交x轴于点C, 交抛物线于另一点B,且. 若CAN为等腰直角三角形,则抛物线的解析式为_。阅读下面材料，完成第2528题。0360间的角的三角函数在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=图2orxyP(x、y)图1为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y ，点P 和原点（0
27、，0）的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：sin=，cos=，tan=，cot=我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关.比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，每题4分，共16分25若27b B、ab C、a=b D、与a和b的大小无关 4若D是ABC的边AB上的一点，ADC=BCA，AC=6，DB=5，ABC的面积是S，则BCD的面积是 （ ）A、 B、 C、 D、5如图，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A、50 B、62 C、65 D、686如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转
