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1、湖北省黄冈中学2011届高三最后一次适应性考试（数学理）试卷类型：A本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。3将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内答在试题卷上无效。4考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只
2、有一项是符合题目要求的)1的展开式中第三项的系数是A B C15 D2 是虚数单位，若复数满足，则复数的实部与虚部的和是A0BC1D23已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是ABCD4有5名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间恰有1人，则不同站法有A18种 B24种 C36种 D48种AxyOBxyODxyOyCxO5 已知函数，则函数的大致图象是6是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是 A B CD 8某球与一个的二面角的两个面相切于、两
3、点，且、两点间的球面距离为，则此球的表面积是A B C D 9已知、是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是 A B C D10已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：的值域为M，且M；对任意不相等的， 都有|那么，关于的方程=在区间上根的情况是A没有实数根 B有且仅有一个实数根C恰有两个不等的实数根 D有无数个不同的实数根二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡相应位置上)11已知= 12若函数是定义域上的连续函数，则实数 13若函数=，则不等式的解集为 14. 在空间中，若射线、两两所成角都为，且，则直线 与平面所成角的大小为 15某企业20
4、11年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从2011年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为 万元三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16(本小题满分l2分) 已知函数(R ) （）求函数的最小正周期及单调递增区间； () 内角的对边长分别为，若 且试判断的形状，并说明理由17（本小题满分12分） 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在整个下落过程中它将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（）求小球落入袋中的概率；（）在容器入口处依次
5、放入2个小球，记落入袋中的小球个数为，试求的分布列和的数学期望18（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD，底面为直角梯形，且AD=2，AB=BC=1，PA=（）设M为PD的中点，求证：平面PAB；（）若二面角BPCD的大小为150，求此四棱锥的体积.AMDCBP19（本小题满分12分）已知数列中，其前项和为，且当时，（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式；（）令，记数列的前项和为，证明对于任意的正整数，都有成立 20（本小题满分13分）已知椭圆：上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长() 求椭圆的方程；() 过点(，)的动直线交椭圆于
6、、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由21. （本小题满分14分）已知函数（）求证：存在定点，使得函数图象上任意一点关于点对称的点也在函数的图象上，并求出点的坐标；（）定义，其中且，求；（）对于（）中的，求证：对于任意都有参考答案一、选择题A卷 1A 23 4 5D6A 7D 8C 9A 10B卷 1B 2A 3D 4 5B6A 7D 8B 9C10二、填空题11 12 13 14 15三、解答题16解：（），.故函数的最小正周期为；递增区间为(Z )6分（）解法一：， ，即9分由余弦定理得：，即，故（不合
7、题意，舍）或11分因为，所以ABC为直角三角形.12分解法二：，即9分由正弦定理得：，或当时，；当时，（不合题意，舍） 11分所以ABC为直角三角形. 12分17解：（）当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下时小球才会落入袋中，故 5分（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件与事件 为对立事件，从而 8分显然，的取值为0、1、2，且； 的分布列为012p故 12分（或由随机变量，故）18解法一：（）证明：取PA的中点N，连结BN、NM，在PAD中，且；又，且，所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，.又平面PAB，平面PAB，故平面PAB. 5分（）如图，连结AC，则二
8、面角BPCD的大小等于二面角BPCA的大小与二面角DPCA的大小的和. 由知，又，所以平面PAC，即平面P平面PAC，所以二面角DPCA的大小为90. 于是二面角BPCA的大小为60，过B作于E，过E作于F，连结BF，由三垂线定理知为二面角BPCA的平面角. 9分在RtABC中，又易知PBC为Rt，且，解得 11分所以四棱锥PABCD的体积为 12分AEDCBPFAMDCBPN解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，）. 2分（）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，），所
9、以.又平面PAB的法向量可取为，而，即.又平面PAB，所以平面PAB. 6分AMDCBPxyz（）设平面PBC的法向量为. 不妨取，则， 又设平面PCD的法向量为. 不妨取，则 . 9分由的方向可知，解得 11分所以四棱锥PABCD体积为 12分19（）证明：当时， 所以 又由，可推知对一切正整数均有， 数列是等比数列 分（）解：由（）知等比数列的首项为1，公比为4， 当时，又， 分 （）证明：当时，此时 ， 又， 分 ， 当时， 1分又因为对任意的正整数都有所以单调递增，即， 所以对于任意的正整数，都有成立 分20解： ()设椭圆的焦距为，则由题设可知，解此方程组得，. 所以椭圆C的方程是.
10、 5分()解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得设点A、B的坐标分别为，则 因为及所以 9分当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 11分 当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. 13分解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 7分由解得.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. 8分事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：当直
11、线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得设点A、B的坐标为，则 10分 因为，所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. 13分21解：（）显然函数定义域为（0，1）. 设点M的坐标为（a, b），则由对于恒成立，于是解得 所以存在定点，使得函数f(x)的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f(x)的图象上. 4分（）由（）得 +，得，故 8分（）当时，由（）知，于是等价于 10分令，则，当时，即函数在上单调递增，又g(0)=0.于是，当时，恒有，即恒成立. 12分故当时，有成立，取，则有成立. 14分
