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1、 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 539 中国高考数学母题(第160号)立体几何中的模型方法 长方体是立体几何中的基本几何体,其结构对称,内涵丰富,具有展开空间想象的依托功能,是研究立体几何体的重要载体模型,也是高考试题的一个重要模型载体.母题结构:()(底面为直角梯形的四棱锥)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点在底面上的射影点位置分类:A1-ABCD,B1-ABCD;C1-ABCD,D1-ABCD;P-ABCD等;()(底面为菱形的四棱锥)在如图所示的长方体中,A、B、C、D、A1、B1、C1、D1均为长方体所在棱的中点,则以菱形ABCD为底
2、面的四棱锥有:A1-ABCD、B1-ABCD和P-ABCD等;()(长方体的模型功能)母题解析:略. 1.底面为直角梯形的四棱锥 子题类型:(2013年福建高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,ABDC,ABAD,BC=5,DC=3,AD=4,PAD=600.()当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);()若M为PA的中点,求证:DM平面PBC;()求三棱锥DPBC的体积.解析:()把四棱锥P-ABCD放置到长方体中,如图,过点C作CEAB,垂足为E,则四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,CE=AD=4,BC=5BE=
3、3AB=6;在RtPAD中,AD=4,PAD=600PD=4正视图如图所示;()取PB中点N,则MNAB,且MN=AB=CD四边形MNCD为平行四边形DMCN;又DM平面PBCDM平面PBC;()三棱锥DPBC的体积V=三棱锥PBCD的体积=SBCDPD=8.点评:对底面为直角梯形的四棱锥的认识,最有效的途径是把四棱锥放置到长方体中,依托长方体模型,把握其结构.同类试题:1.(2011年福建高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,点E在线段AD上,且CEAB.()求证:CE平面PAD;()若PA=AB=1,AD=3,CD=,CDA=450,求四棱锥P-ABCD的体积.
4、2.(2010年江苏高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900.()求证:PCBC; ()求点A到平面PBC的距离. 2.底面为菱形的四棱锥 子题类型:(2013年安徽高考试题)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=600.已知PB=PD=2,PA=.()证明:PCBD;()若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.解析:()把四棱锥P-ABCD放置到长方体中,如图,设AC与BD交于点O,则OA=OC=,OB=OD=1,BDAC,由PB=PDBDOPBD平面PACBDPCPCBD;()由E为PA
5、的中点三棱锥P-BCE的体积=三棱锥B-ACE的体积三棱锥P-BCE的体积=VP-ABCD;由PB=PD=2PO=,又PA=AO2+PO2=PA2POAOPO平面ABCD四棱锥P-ABCD体积=2三棱锥P-BCE的体积=.点评:对以菱形为底面的四棱锥,先把底面菱形放置于长方体的下底面上,然后在长方体的上底面内确定顶点的位置. 540 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 同类试题:3.(2008年安徽高考试题)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边长为1的菱形,ABC=,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.()求异面直线AB与MD所成角的大小;
6、()求点B到平面OCD的距离.4.(2015年课标高考试题)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.()证明:平面AEC平面BED; ()若ABC=1200,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积. 3.长方体的模型功能 子题类型:(2014年课标高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.()证明:PB平面AEC;()设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.解析:()设BD与AC交于点O,则O是BD的中点OEPB,又PB平面AECPB平面AEC;()由三棱锥P-ABD的
7、体积V=ABADAP=AB=AB=;作AHPB于H,由PA平面ABCDPABCBCPA;又在矩形ABCD中,BCABBC平面PABBCAHAH平面PACA到平面PBC的距离=AH;在RtPBA中,AHPB=ABAPAH=.点评:模型化的根本思想是把几何载体放置于长方体中,由此,依托长方体的定位功能,把握其结构.同类试题:5.(2015年北京高考试题)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB平面ABC,三角形VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.()求证:VB平面MOC; ()求证:平面MOC平面VAB;()求三棱锥V-ABC的体积.6.(2012年江西高考试题
8、)如图,在梯形ABCD中,ABCD,E、F是线段AB上的两点,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.现将ADE,CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG.()求证:平面DEG平面CFG; ()求多面体CDEFG的体积. 4.子题系列:7.(2008年福建高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.()求证:PO平面ABCD; ()求异面直线PB与CD所成角的余弦值; ()求点A到平面PCD的距离;8.(2012年
9、广东高考试题)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD边上的高.()证明:PH平面ABCD;()若PH=1,AD=,FC=1,求三棱锥E-BCF的体积; ()证明:EF平面PAB.9.(2014年重庆高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=,M为BC上一点,且BM=. 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 541 ()证明:BC平面POM; ()若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.10.(2013年浙江高考试题)
10、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,ABC=1200,G为线段PC上的点.()证明:BD平面APC;()若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;()若G满足PC平面BGD,求的值.11.(2015年重庆高考试题)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.()证明:AB平面PFE; ()若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.12.(2008年四川高考试题)如图,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直
11、角梯形,BAD=FAB=900,BCAD,BEFA,G、H分别为FA、FD的中点.()证明:四边形BCHG是平行四边形; ()C、D、F、E四点是否共面？为什么？()设AB=BE,证明:平面ADE平面CDE. 5.子题详解:1.解:()由PA底面ABCDPAAB,又ABADAB平面PAD,由CEABCE平面PAD;()由CD=,CDA=450CE=DE=1BC=2直角梯形ABCD的面积=四棱锥P-ABCD的体积V=.2.解:()由PD平面ABCDPDBC;又BCD=900 PA平面ABCD BCCDBC平面PCDBCPCPCBC;()由点A到平面PBC的距离=2倍的点D到平面PBC的距离=2倍
12、的点D到PC的距离=.3.解:()把四棱锥O-ABCD放置到长方体中,如图,由ABCDMDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角);由OA底面ABCDOAAC,OAAD;又OA=2,M为OA的中点AM=1MD=;作AHCD于H,由ABC=ADC=AH=MH=sinMDH=MDC=直线AB与MD所成角的大小=;()由ABCDAB平面OCD点B到平面OCD的距离=点A到平面OCD的距离=点A到直线OH的距离d;由OHd=AHAOd=2d=.4.解:()由BE平面ABCDBEACACBE;又在菱形ABCD中,ACBDAC平面BED平面AEC平面BED;()设菱形ABCD的边长为a,由ABC=120
13、0GA=GC=a,GB=GD=a;由AEECGE=AC=aBE=a;由三棱锥E-ACD的体积V=ACGDBE=a3=a=2ACE的面积=ACGE=3;由AD=2,AE=,ED=CDE的面积=ADE的面积=该三棱锥的侧面积=3+2.5.解:()在长方体中作出三棱锥V-ABC,如图,由O,M分别为AB,VA的中点OMVB,又VB平面MOC,OM平面MOCVB平面MOC;()由三角形VAB为等边三角形ABVO,又平面VAB平面ABCVO平面VABVOOC;由AC=BCOCABOC平面VAB平面MOC平面VAB;()由ACBC且AC=BC=AB=2,SABC=1VO=三棱锥V-ABC的体积V=.6.解
14、:()在长方体中作出几何体,如图,由DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4GE=AE=3,EF=5,GF=BF=4EGFG;由CFGF,CFEFCF平面GEFCFGEEG平面CFG平面DEG平面CFG;()作GHEF于H,则GH平面CDEF,且GH=,又矩形CDEF的面积S=20多面体CDEFG的体积V=16. 542 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 7.解:()把四棱锥P-ABCD放置到长方体中,如图,由PA=PD,O为AD中点POAD,又侧面PAD底面ABCDPO平面ABCD;()由BCAD,AD=2BCBCOD,BC=OD四边
15、形BCDO为平行四边形CDBD;又PO平面ABCDPBO是异面直线PB与CD所成的角;由OB=,OP=1PB=cosPBO=;()由O为AD中点点A到平面PCD的距离=2倍的点O到平面PCD的距离h;由OC=OD=OP=1CD=DP=PC=SPCD=;由VO-PCD=VP-OCDSPCDh=OCODOPh=点A到平面PCD的距离=.8.解:()由AB平面PADABPHPHAB,又PHADPH平面ABCD;()由AD=,FC=1BCF的面积S=;又由E是PB的中点点E到平面ABCD的距离h=PH=三棱锥E-BCF的体积V=Sh=.()取PA的中点G,则DGPA,且EFDG;由PH平面ABCDPH
16、AB,又ABADAB平面PADABDGDG平面PABEF平面PAB.9.解:()由PO底面ABCDPOBC;又由OC=,OCM=300,CM=BCOMBC平面POM;()由MPAPAP2+PM2=AM2AO2+OP2+OP2+OM2=AM2PO=四棱锥P-ABMO的体积V=.10.解:()由PA平面ABCDPABD;又由AB=BC,AD=CDBDACBD平面APC;()设AC与BD交于点O,则DGO是DG与平面APC所成的角tanDGO=;()由PC平面BGDPCOG=.11.解:()在长方体中作出三棱锥P-ABC,如图,由ABC=,EFBCABEF;由DE=EC,PD=PCPEDC,又平面P
17、AC平面ABCPE平面ABCPEABAB平面PFE;()由DE=2,PD=4PE=2;又由四边形DFBC的面积=倍的SABC=ABBC四棱锥P-DFBC的体积V=ABBCPE=ABBC=7ABBC=9;又AB2+BC2=AB2=36AB+BC=3+3BC=3,或3.12.解:()在长方体中作出几何体,如图,由G、H分别为FA、FD的中点GHAD,又BCADGHBC四边形BCHG是平行四边形;()取AD的中点M,则CMAB,MGDF,由GEABGECMECGMECDFC、D、F、E共面;()当AB=BE时,四边形ABEG是正方形BGAE;又由平面ABEF平面ABCD,ADABAD平面ABEFADBGBG平面ADE,又CHBGCH平面ADE;由C、D、F、E共面,CH平面CDFE平面ADE平面CDE.
