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1、 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题（理工类） 2011.5 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项： 1.答第一部分前，考生必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集U=R，集合A=x02x0,则A(CU
2、B)= (A)xx1 (B)xx0 (C)x0x1 (D)xxy0”是“1”的 （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 （3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8,则侧视图的面积为 （A）8 （B）4 （C）4 （D） （4）已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X1)=0.5,则实数a的值为 (A)1 (B) (C)2 (D)4 （5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从1,2,3, 4,5, 6 这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其
3、中“伞数”有 （A）120个 （B）80个 （C）40个 （D）20个 （6）点P是抛物线y24x上一动点，则点P到点A（0,1）的距离与到直线x=1的距离和最小值是 （A） （B） （C）2 （D） （7）已知棱长为1的正方体ABCDA1 B1 C1 D1中，点E,F分别是棱BB1 ，DD1 上的动点，且BE=D1 F=（0）。设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，则+的最小值 （A）不存在 （B）等于60 （C）等于90 （D）等于120（8）已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且EFBC，实数x,y满足+ x+y=0.设ABC,PBC,PCA,PAB的面积分别为S,S1 ,S2
4、,S3 ,记=,=,=.则当取最大值时，2x+y的值为 （A） （B） （C）1 （D）2 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。（9）已知复数z满足iz=1-i,则z=_. （10）曲线C：(为参数)的普通方程为 。 （11）曲线y=33x2 与x轴所围成的图形面积为 。 （12）已知数列an满足a1=2,且an+1an+ an+12an=0,nN* ,则a2= ;并归纳出数列an的 通项公式an 。 （13）如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知BPA30,PA 2,PC1,则PB= ；圆O的半
5、径等于 。 （14）已知函数f（x）=ax2+(b+1)x+b1,且a（0,3），则对于任意的bR，函数F（x）= f（x） x总有两个不同的零点的概率是 。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分） 已知函数f（x）2sinxsin（+x）2sin2x+1（xR）。 （I）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间； （II）若f()=,x0(-,),求cos2x0的值。 （16）（本小题满分13分） 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮 核辐射检测，只有两轮都合格才能进
6、行销售，否则不能销售。已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响。 （I）求该产品不能销售的概率； （II）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利80元）。已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X)。 （17）（本小题满分13分） 在长方形AA1 B1 B中，AB2AA1 =4,C,C1分别是AB，A1 B1的中点（如图1）。将此长方形沿CC1 对折，使二面角A1CC1B为直二面角，D,E分别是A1 B1，CC1的中点（如图2）。（I）求证：C1D平面A1BE；（I
7、I）求证：平面A1BE平面AA1 B1 B；（III）求直线B C1与平面A1BE所成角的正弦值。 （18）（本小题满分13分） 设函数f(x)=x+(xa)2 ,aR. （I）若a=0，求函数f(x)在1,e上的最小值； （II）若函数f(x)在，2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围； （III）求函数f(x)的极值点。 （19）（本小题满分14分） 已知椭圆C：（ab0）经过点A（2,1），离心率为.过点B（3,0） 的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N. （I）求椭圆C的方程； （II）求的取值范围； （III）设直线AM和直线AN的斜率分别为KAM和KAN,求证：KAM+KAN为
8、定值。 （20）（本小题满分14分） 对于正整数a,b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r,0rb.特别地，当r=0时，称b 能整除a,记作ba,已知A1,2,3,，23。 （I）存在qA,使得201191q+r（0r91），试求q,r的值； （II）求证：不存在这样的函数f：A1,2,3，使得对任意的整数x1,x2A,若x1- x21,2,3,则f(x1 )f(x2)； （III）若BA，card(B)=12(card(B)指集合B中的元素的个数),且存在a,bB,b0,所以f(x)在1,e上是增函数， 当x1时，f(x)取得最小值f(1)1. 所以f(x)在1,e上的最小值为1. 3
9、分 （II）解法一：f(x)+2（xa） 设g（x）2x2-2ax+1, 4分 依题意，在区间，2上存在子区间使得不等式g（x）0成立. 5分 注意到抛物线g（x）2x2-2ax+1开口向上，所以只要g（2）0，或g（）0即可 6分 由g（2）0，即8-4a+10,得a， 由g（）0，即-a+10,得a, 所以a， 所以实数a的取值范围是（-，）. 8分 解法二：f(x)+2（xa），4分 依题意得，在区间，2上存在子区间使得不等式2x2-2ax+10成立. 又因为x0,所以2a（2x+）. 5分 设g（x）2x+，所以2a小于函数g（x）在区间，2的最大值. 又因为g（x）=2-， 由g（x
10、）=2-0解得x； 由g（x）=2-0解得0x. 所以函数g（x）在区间（，2）上递增，在区间（，）上递减. 所以函数g（x）在x，或x2处取得最大值. 又g（2），g（）3,所以2a，a 所以实数a的取值范围是（-，）. 8分 （III）因为f(x) ，令h(x)2x2-2ax+1 显然，当a0时，在（0,+ ）上h(x) 0恒成立f(x) 0，此时，函数f(x)没有极 值点；9分 当a0时， （i）当0，即0a时，在（0,+ ）上h(x)0恒成立，这时f(x) 0，此 时，函数f(x)没有极值点；10分 （ii）当0时，即a时， 易知，当x时，h(x) 0,这时f(x) 0； 当0x或x时
11、，h(x) 0,这时f(x) 0； 所以，当a时，x是函数f(x)的极大值；x是函数f(x)的极小值点. 12分 综上，当a时，函数f(x)没有极值点； 当a时，x是函数f(x)的极大值点；x是函数f(x)的极小值点. 13分 （19）（本小题满分14分） 解：（I）由题意得解得a，b. 故椭圆C的方程为.4分 （II）由题意显然直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k(x-3), 由得（1+2k2）x212k2x+18k26=0. 5分 因为直线l与椭圆C交于不同的两点M,N, 所以144k44（1+2k2）（18k26）24（1k2）0.解得-1k1. 6分 设M,N的坐标分别为（x1 ,y
12、1）,（x2 ,y2）, 则x1+x2，x1x2，y1k（x13）, y2k（x23）. 7分 所以（x13）（x23）+ y1y2 8分 （1+k2）x1x23（x1+ x2）+9 +.9分 因为-1k1，所以2+3. 故的取值范围为（2,3. 10分 （III）由（II）得KAM+KAN 11分 -2. 所以KAM+KAN为定值-2. 14分 （20）（本小题满分14分） （I）解：因为20119122+9,所以q22,r9. 2分 （II）证明：假设存在这样的函数f：A1,2,3，使得对任意的整数x,y,若，则f(x)f(y). 设f(1)a，a1,2,3，f(2)b，b1,2,3，由已
13、知ab. 由于，所以f(3)f(1), f(3)f(2). 不妨令f(3)c，c1,2,3，这里ca,且cb, 同理，f(4)b，且f(4)c， 因为1,2,3只有三个元素，所以f(4)a. 即f(1)f(4)，但是3,与已知矛盾. 因此假设不成立，即不存在这样的函数f：A1,2,3，使得对任意的整数x,y,若 ，则f(x)f(y). 8分 （III）当m8时，记M7+ii=1,2,16,N=2(7+i)i=1,2,3,4,记P,则card(P)=12,显然对任意1ij16,不存在n3,使得7+jn(7+i)成立.故P是非“和谐集”此时P8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,
14、21,23.同理，当m9,10,11,12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此m7. 10分 下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”. 设Ba1,a2,a11,7. 若1,14,21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”. 现考虑1,14,21都不属于集合B，构造集合B12,4,8,16，B23,6,12，B35,10,20，B49,18，B511,22，B13,15,17,19,23. 以上B1B2B3B4B5每个集合中的元素都是倍数关系.考虑BB的情况，也即B中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B1B2B3B4B5这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系. 综上所述，含7的含意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7. 14分
