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1、立体几何中的最值问题海红楼立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD中，SO平面ABCD于O，SO=2，底面边长为，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（ ）A. B. C. 2D. 1解析：如图1，由于点P、Q分别在线段BD、SC上移动，先让点P在BD上固定，Q在SC上移动，当OQ最小时，PQ最小。过O作OQSC，在RtSOC中，中。又P在BD上运动，且当P运动到点O时，PQ最小，等于OQ的长为，也就是异面直线BD
2、和SC的公垂线段的长。故选B。图1二、定性分析法求最值例2. 已知平面/平面，AB和CD是夹在平面、之间的两条线段。ABCD，AB=3，直线AB与平面成30角，则线段CD的长的最小值为_。解析：如图2，过点B作平面的垂线，垂足为O，连结AO，则BAO=30。过B作BE/CD交平面于E，则BE=CD。连结AE，因为ABCD，故ABBE。则在RtABE中，BE=ABtanBAEABtanBAO=3tan30=。故。图2三、展成平面求最值例3. 如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则
3、四边形PQRS的周长的最小值是（ ）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c图3-1解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A与A、D与D在四面体中是同一点，且，A、C、A共线，D、B、D共线，。又四边形PQRS在展开图中变为折线SPQRS，S与S在四面体中是同一点。因而当P、Q、R在SS上时，最小，也就是四边形PQRS周长最小。又，所以最小值。故选B。图3-2四、利用向量求最值例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_。解析：以A为坐标原点，分别以AB、A
4、D、AE所在直线为x，y，z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。根据题意设P（x，0，x），则，那么图4式子可以看成x轴正半轴上一点（x，0，0）到xAy平面上两点、的距离之和，其最小值为。所以GP+PB的最小值为。立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例1. 正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N，如图1，沿棱柱的侧棱AA1剪开，并展开，则MN(2)从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开、展开，如图2.则MN .例2.如图，正
5、方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；（2）当为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。解析：（1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即, （2）由（1）知: ，(3)取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，ABCDEFGHPMNAGB即为二面角的平面角。又，所以由余弦定理有
6、。故所求二面角。例3. 如图，边长均为a的正方形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为。点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN ,(1)求证:MN/面BCE ; (2)求证:MNAB; (3)求MN的最小值.解析：(1)如图,作MG/AB交BC于G, NH/AB交BE于H, MP/BC交AB于P, 连PN, GH , 易证MG/NH,且MG=NH, 故MGNH为平行四边形,所以MN/GH , 故MN/面BCE ;(2)易证AB面MNP, 故MNAB ;(3)即为面ABCD与ABEF所成二面角的平面角,即,设AP=x , 则BP=ax , P=ax ,所以： ，ABFECDPNM故当时，有最小
7、值例4.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x ,BN=y, （1）求MN的长(用x,y表示)；（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。解析：在面ABCD中作MPAB于P，连PN，则MP面ABEF，所以MPPN，PB=1-AP=在PBN中，由余弦定理得：PN2=，在中，MN=；（2）MN，故当，时，MN有最小值。且该最小值是异面直线AC，BF之间的距离。例5. 如图，在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎样的位置时
8、，AB为最小，最小值是多少?解析： 设ACD，则BCD90-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因为ACDB是直二面角，AMCD，BNCD，AM与BN成90的角，于是AB.当45即CD是ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.例6. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB上
9、，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同理BFBDa.FDBADB，,DFa,AFa.又AEFACD，BBa+a+aa,截面三角形的周长的最小值为a.(2)如图2，BEF等腰，取EF中点G，连BG，则BGEF.BGa SBEFEFBGaaa2.(3)VA-BCDVB-ACD，而三棱锥BAEF，三棱锥BACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在
10、解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.二、面积最值问题例7. 如图1所示，边长AC3，BC4，AB5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成30角，试问：遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?解析： 易知，ABC为直角三角形，由C点引AB的垂线，垂足为Q，则应有DQ为CQ在地面上的斜射影，且AB垂直于平面CQD，如图2所示.因太阳光与地面成30角，所以CDQ30，又知在CQD中，CQ，由正弦定理，有 即 QDsinQCD.为使面ABD的面积最大，需QD最大，这只有当QCD90时才可达到，从而CQD 60.故当遮阳棚A
11、BC与地面成60角时，才能保证所遮影面ABD面积最大.例8. 在三棱锥ABCD中，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，二面角ABCD，问为何值时，三棱锥的全面积最大。解析：SBACSBCDa2为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于SABD与SACD的大小，由于ABDACD，所以只求SACD何时面积取最大值即可。SACDasinACD，所以当ACD90时面积最大，问题得解。解 如图，取BC中点M，连AM、DM，ABC和BCD都是正三角形，AMD是二面角A-BC-D的平面角，AMD，又ABDACD，且当ACD90时，ACD和ABD面积最大，此时ADa，在AMD中，由余弦定理cosAMD-，当-ar
12、ccos时，三棱锥A-BCD的全面积最大。点评 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求ACD面积的最大值，间接求得角。例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 。分析：本题是截面问题中的常见题，设圆锥的轴截面顶角是，母线长为l，则截面面积Smax=，本题轴截面顶角为1200，最大面积为。例10、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。分析：设圆柱的底面直径和高分别为d,h,则有：2（d+h）=L,d+h=L/2,S侧=dh=（当且仅当d=h时取“=”）。ABCDD1A1C1B1EFG例11、在棱长为1的正方体ABCDABCD中，若G、E分别是B
13、B1、C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心。则四边形BGEF在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是 。分析：可得四边形BGEF在前后侧面上的射影相等且等于；在左右侧面上的射影相等且等于；在上下底面的射影相等且等于，所以射影图形面积的最大值为。三、体积最值问题例12. 如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥PABC的体积的最大值.解析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得O1，AB是O1的直径，连PO1并延长交O1于D，PADB是矩形，PD2AB2PA2+PB2，然后只要证得PC
14、和PD确定是大圆就可以了.解： (1)设过PA、PB的平面截球得O1，PAPB，AB是O1的直径，连PO1并延长交O1于D，则PADB是矩形，PD2PA2+PB2.设O为球心，则OO1平面O1，PCO1平面，OO1PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PCPD.CD是球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥PABC的体积Vxyz，V2x2y2z2()3R6.VR3.即 V最大R3.评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.球面
15、上任一点对球的直径所张的角等于90，这应记作很重要的性质.四、角度最值问题。例13. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上的一动点，平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为、，试求+的最大值和最小值.解析：如图.对角面A1B1CD对角面ABC1D1，其交线为EF.过P作PQEF于Q，则PQ对角面ABC1D1.分别连PE、PF.EFAD1，PEAD1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 PFQ，同理，PFQ.设A1Px,(0x1)，则PB11-x.EQA1P，QFPB1，PQ，当0x1时，有tan,tan,tan(+)而当x0时，tan
16、(+)tan(+)-cot-，上式仍成立；类似地可以验证.当x1时，上式也成立，于是，当x时，tan(+)取最小值-2；当x0或1时，tan(+)取最大值-.又 0+，(+)max-arctan(+)min-arctan2“动态”立体几何题初探盐城市时杨中学陈晓兵224035本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。一、 截面问题截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性
17、，使截得的结果也具有一定的可变性。例1、已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成角的截面MNC,(0),使MN/AB，求截面的面积。分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线MN可能在侧面A1B上，也可能在A1B1C1上，由此得到两种不同的结果。解：当交线MN在侧面A1B内（或与A1B1重合时），SMNC=；当MN在底面A1B1C1内时，arctan SMNC=。 二、 翻折、展开问题图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对
18、位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对关系和数量关系则发生变化。不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。例2、下图表示一个正方体的展开图，图中AB、CD、EF、GH这四条直线在原正方体中相互异面的有（ ）A 2对B 3对C 4对D 5对答：B。例3、从三棱锥PABC的顶点沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开，成平面图形，得到P1P2P3，且P1P2=P2P3；FEHGCDBA（1）在棱锥P-ABC中，求证：PABC，（2）P1P2=26，P1P3=20，求三棱锥的体积。分析：（1）由展开的过程可知，A、B、C分别是边P1P3、P1P2、P2P3
19、的中点，故AB= P2P3， AC = P1P2，AB=AC。又P1P2=P2P3，在原图中取BC中点H，连AH、PH，可证AHBC，PHBC，BC面PAH，即得PABC。（2）由（1）知BC面PAH，在立体图中可知，PB=PC=AB=AC=13,BC=10,PH=HA=12, SPAH=5,V=SPAHBC=.三、 最值问题立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。例4、（2002年全国高考）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上
20、移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0a）.（）求MN的长；（）当a为何值时，MN的长最小；分析：（1）MN的长随着M、N的移动而变化，若能建立适当的函数关系，转化成函数问题，便可利用函数知识求解。略解：(1)过点M作MOAB交AB于O，连ON，由题可得BC=1，AM=-a，AC=,MO/BC，MO=,又，ON/AF，同理求得ON=在RtMNO中，MN=。（2）由（1）得当a=时，MNmin=。例5、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为 。分析：本题是截面问题中的常见题，设圆锥的轴截面顶角是，母线长为l，则截面面积Smax=，本题轴截面顶角为1
21、200，最大面积为。例6、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。分析：设圆柱的底面直径和高分别为d,h,则有：2（d+h）=L,d+h=L/2,S侧=dh=（当且仅当d=h时取“=”）。四、 探索型问题由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型问题正好通过这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。例7、已知矩形ABCD，PA平面AC于点A，M，N分别是AB、PC的中点，（1）求证MNAB；（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，能否确定，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值，若不能确定，说明理由。分析：（1）取CD中点H
22、，可证AB垂直平面MNH，故ABMN； （2）由题可得二面角即PDA，随着的变化，MN与AB的垂直关系不变，但与PC所成的角将随着变化。设MNPC，连PM、MC，N是中点，PM=MC ，又AM=MB， PAM=CBM=900，PAMCMB，PA=CB，即PA=AD，此时=450。可见只要当=450时，MN即为异面直线AB与PC的公垂线。例8、如图，ABC是正三角形，AD和CE都平面ABC，且AD=AB=1，CE=1/2，问：能否在线段BD上找到一点F，使AF平面BDE？分析：由于点F的移动，使AF与平面BDE的位置关系随之变化，若AF平面BDE，则AFBD，又DA=AB，F为BD中点，这使我们
23、想到BD的中点即为所求。解：取BD中点F，AB中点G，连EF、CG、FG，则四边形EFGC为矩形，CGFG，又ABC为正三角形，CGAB，CG面ABD，CGAF，EFAF，AF面BDE成立。五、 其它类型利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的性质等在动态问题中提炼一些不变的、“静态”的量，从而达到解题的目的。例9、在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（ D ）A 300B 450C 600D 900分析：虽然点P的具体位置不定，但PQ在平面A1C上的射影是一条定直线A1H，在正方形A
24、CC1A1中AMA1H，故由三垂线定理得BQAM。例10、正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界运动，并且总保持APBD1，则动点P的轨迹是 。 分析：点P是在正方体的右侧面这样的一个区域中运动，这使两条线段BD1与AP的位置关系比较复杂，但BD1是正方体的体对角线，它在各个侧面上的射影与这个侧面的另一条对角线互相垂直，故由三垂线定理可证得BD1平面AB1C，因此当点P在线段B1C上运动时，由线面垂直的性质得BD1AP恒成立，即线段P的轨迹是线段B1C。ABCDD1A1C1B1EFG例11、在棱长为1的正方体ABCDABCD中，若G、E分别是BB1、C1D1的中点，点
25、F是正方形ADD1A1的中心。则四边形BGEF在正方体侧面及底面共6个面内的射影图形面积的最大值是 。分析：可得四边形BGEF在前后侧面上的射影相等且等于；在左右侧面上的射影相等且等于；在上下底面的射影相等且等于，所以射影图形面积的最大值为。“动态”立体几何题面面观衡阳县滨江中学 刘旭玲湖南祁东育贤中学 周友良 421600本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。一定值问题例1 如图3，在棱
26、长为a的正方体中，EF是棱AB上的一条线段，且EFba，若Q是上的定点，P在上滑动，则四面体PQEF的体积（ ）（A)是变量且有最大值（B）是变量且有最小值（C）是变量无最大最小值（D）是常量分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特点这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？仔细观察图形，应该以哪个面为底面？观察，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值再发现点Q到面PEF的距离也是定值因此，四面体PQEF的体积是定值我们没有一点计算，对图形的分析
27、帮助我们解决了问题二、最值问题例2.如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1）求MN的长；（2）当为何值时，MN的长最小； （3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。解析：（1）作MPAB交BC于点P，NQAB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MPNQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即, （2）由（1）知: ，(3)取MN的中点G，连接AG、BG，AM=AN,BM=BN，AGMN,BGMN，AGB即为二面角的平面角
28、。又，所以由余弦定理有。故所求二面角。三、范围问题例3。求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围。分析：因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角，故不能通过正常的途径算出其范围，既然是动态的图形，我们则可以从图形的极限思想出发思考这个问题。当正三棱锥的高接近于零时，相邻的两个侧面趋向于在底面内，故二面角大小趋向于，但不能等于；当正三棱锥的高趋向于时，正三棱锥趋向于正三棱柱，故二面角大小趋向于，但不能等于。故相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围为。四、截面问题例4、已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成角的截面
29、MNC,(0),使MN/AB，求截面的面积。分析：由于截面位置的不同，它与几何体的交线MN可能在侧面A1B上，也可能在A1B1C1上，由此得到两种不同的结果。解：当交线MN在侧面A1B内（或与A1B1重合时），SMNC=；当MN在底面A1B1C1内时，arctan SMNC=。 五、 翻折、展开问题例5 给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明分析：这是2002年高考立体几何题中的一部分这个设计新颖的题目，使许多平时做惯了证明、计算题的学生一筹莫展这是一道动作题，但它不仅是简单的剪剪拼拼的动作，更重要的是一种心
30、灵的“动作”，思维的“动作”受题目叙述的影响，大家往往在想如何折起来？参考答案也是给了一种折的方法那么这种方法究竟从何而来？其实逆向思维是这题的一个很好的切人点我们思考：展开一个直三棱柱，如何还原成一个三角形？把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部分，甲内部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是宽相等的三个矩形现在的问题是能否把乙分为三部分，补在甲的三个角上正好成为一个三角形（如图丙）？因为甲中三角形外是宽相等的矩形，所以三角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上，又由于面积要相等，所以甲中的三角形的顶点应该在原三角形的内心和顶点的连线段的中点上（如图丁）按这样的设计，剪开后可以折成一个直三棱柱例
31、6. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1，当周长最小时，EF在直线BB上，ABEBAF，AEAF，ACAD，BBCD，123，BEBCa，同理BFBDa.FDBADB，,DFa,AFa.又AEFACD，BBa+a+aa,截面三角形的周长的最小值为a.(2)如图2，BEF等腰，取EF中点G，连BG，则BGEF.BGa SBEFEFBGaaa2.(3)VA
32、-BCDVB-ACD，而三棱锥BAEF，三棱锥BACD的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.例7 .如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.(1)求证：ADEC，且与二面角FADC的大小无关；(2)FC与FE所成的角为30时，求二面角FADC的余弦值.解析：(1)正六边形ABCDEF，在折叠前有ADEC，设
33、AD与EC交于M，折叠后即有ADME，ADMC.则AD平面EMC，无论EMC的大小如何，总有ADEC.(2)利用余弦定理，有cosEMC六、 探索型问题例8.已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分别是AC、AD上的动点，且（）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；（）当为何值时，平面BEF平面ACD？证明：（）AB平面BCD， ABCD，CDBC且ABBC=B， CD平面ABC.又不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC，EF平面BEF,不论为何值恒有平面BEF平面ABC（）由（）知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEACB
34、C=CD=1，BCD=90，ADB=60，由AB2=AEAC 得故当时，平面BEF平面ACD. 例9. 有三个几何事实(a，b表示直线，表示平面)， ab， a， b其中，a，b在面外用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪正确的给出证明，错误的举出反例解析： ab ，a b，b在外：ab ，b a，a在外、是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行证明：过a作平面与交于 a a而ab b且b在外，在内 b：a ab b命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图18.棱长为1的正方
35、体ABCDABCD的上底面对角线AC上取一点P,过P、A、B三点所作的截面与底面ABCD的夹角为,过P、B、C三点所作截面与底面ABCD的夹角为，求当(+)最小时点P的位置.18.分析：关键是先要想法构造一个含+的目标函数y=f(+).求出目标函数tan (+)后，再用一元二次方程的判别式求出当+最小时点P的位置.第18题图解解：如图所示，连结AC，在平面ACAC内作PEAC于E，在底面AC内作EFAB于F.ENBC于N，连结PF、PN，故PFE，PNE，设EFx，则AFEF，ENFB.x+EN1，于是tan，tan，tan (+).设tan (+)y，则有yx2-yx+y+1=0. xR，则方程有实数根，故判别式为y2-4y(y+1)0，解得-y0,又0+，而-tan (+)0，且在(0,)上正切函数是增函数.当tan (+)取最小值-时，+取最小值，即(+)min-arc tan，把y=-代入式中，得x，即AFEF，EN1-x1-，说明E为AC中点，从而P为AC中点.故当+最小时点P是AC中点.
