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1、2012高考函数与导数专题【原题11】判断函数的奇偶性.【错误分析】：是偶函数【答案】：既不是奇函数也不是偶函数【解析】：有意义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数【易错点点睛】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.【原题12】函数y=的单调增区间是_【错误分析】：因为函数的对称轴是，图像是抛物线，开口向下，由图可知在上是增函数，所以y=的增区间是【答案】：【解析】：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数
2、，所以y=的增区间是【易错点点睛】在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.【原题13】已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范围.【错误分析】：f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60解得x2或x3又 f(x)是定义在(3，3)上的函数，所以2x3【答案】：x|2x【解析】：由,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x【易错点点睛】只考虑到奇函数与单调性，而
3、没有正确理解函数的定义域.【原题14】已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.【错误分析】：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.【答案】：见解析【解析】(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f
4、(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0, 且a2a+1=(a)2+0, 1+2x+4xa0, a,当x(, 1时, y=与y=都是减函数， y=在(, 1上是增函数，max=, a, 故a的取值范围是(, +).【易错点点睛】发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系
5、、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法.【原题18】已知函数若时，0恒成立，求的取值范围.【错误分析】：（一）恒成立，0恒成立解得的取值范围为（二）若时，0恒成立即解得的取值范围为【答案】：72【解析】：设的最小值为（1）当即4时，730，得故此时不存在；(2) 当即44时，30，得62又44，故42；（3）即4时，70，得7，又4故74综上，得72【易错点点睛】对二次函数当上0恒成立时，0片面理解为，0，恒成立时，0 ；或者理解为这
6、都是由于函数性质掌握得不透彻而导致的错误.二次函数最值问题中“轴变区间定”要对对称轴进行分类讨论；“轴定区间变”要对区间进行讨论.【原题19】已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围【错误分析】：设有且只有一根在区间（0,1）内得2【答案】：2【解析】：设，（1）当0时方程的根为1，不满足条件.（2）当0有且只有一根在区间（0,1）内又10有两种可能情形得2或者得不存在综上所得，2【易错点点睛】对于一般，若，那么，函数在区间（a,b）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数，若则在区间（a,b）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程0在区间（a,b）上有且只有一根时，不仅是，也有可能.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知0在区间（a,b）上有且只有一根，但是【原题20】是否存在这样的实数k，使得关于x的方程2+（2k3）（3k1）0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.【错误分析】：令那么由条件得到即此不等式无解即不存在满足条件的k值.【答案】：不存在【解析】：令那么由条件得到即即此不等式无解即不存在满足条件的k值.【易错点点睛】方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.
