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1、圆锥曲线起始课 教学设计西南位育中学 徐迪斐一、教学内容解析l 指定课题说明n 课题：圆锥曲线起始课n 课型：概念课n 说明：体现数学史融入数学教学的思想，借助信息技术、实物模型等，通过丰富的实例，使学生了解圆锥曲线的背景和应用。经历从具体情境中抽象椭圆本质特征的过程，建立椭圆的概念、标准方程。l 上海市中小学数学课程标准以生活中的实例引出椭圆的概念，再抽象为动点的轨迹。根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，重点讨论焦点在轴上的标准方程。l 全国高中数学课程标准了解圆锥曲线的实际背景；了解圆锥曲线在刻画现实世界和实际问题中的作用和应用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；体会数形结合的思想；掌握
2、椭圆的定义、标准方程。根据指定课题要求，并参考上海市中小学数学课程标准、全国高中数学课程标准以及上海市二期课改教材，本节课的教学内容主要设定为：了解圆锥曲线的历史、背景和应用，从生活实例或具体情境出发形成椭圆（以及焦点、焦距）的概念并建立椭圆的标准方程。在上海市二期课改教材中，椭圆的第一课时课题并非“圆锥曲线起始课”而是“椭圆的标准方程”，从椭圆规画椭圆的过程中归纳椭圆的定义，并重点研究椭圆的标准方程。由于指定课题说明中对于椭圆概念的形成过程和数学史的融入有更具体的要求，相比上海教材更符合圆锥曲线的历史发展顺序和学生的认知顺序，更有利于学生掌握椭圆的概念，因此考虑将上海教材第一课时“椭圆的标准
3、方程”的教学内容稍作调整，将焦点在轴上的标准方程以及椭圆标准方程的简单应用移至后续课时完成。二、学生学情分析本节课为借班上课，授课班级是浦东洋泾中学高二（12）班学生。据了解，该校为市示范性高中，而本次授课班级是高二四个物理班之一。但由于借班上课，与学生只有不到半个小时的交流，对班级学生的具体情况仍比较模糊，需要为学生水平的低限做好准备，在难点处多预设一些铺垫，以作备用。此外，受承办学校教学进度制约，授课班级未学习直线的方程、圆的方程，只学习了曲线方程的概念和求法（仅1课时）。依此判断，学生虽然具备推导椭圆标准方程的基础，但接触解析几何时日不多，求曲线方程的经验也并不丰富。因此在教学时，一方面
4、可有意在数学史部分渗透解析几何的核心思想，让学生在了解本章节的研究内容的同时了解其研究方法；另一方面，在建立椭圆标准方程之前应适当回顾求曲线方程的一般步骤，并给学生搭建一些平台，便于学生推导，以免因推导过程的漫长乏味影响学生的学习兴趣。本节课的教学过程中还可能涉及一些空间图形（椭圆的起源所决定），而立体几何是上海市二期课改教材高三内容，高二学生尚未学习。因此，如果设计空间图形为背景的教学过程，需要作较细致的铺垫或形象的教具辅助学生理解，且学生思考的过程应以观察、发现为主，而不是严格的证明。三、教学目标设置根据教学内容解析、学生学情分析制定本节课的教学目标、重难点如下：教学目标1.通过历史的回溯
5、和实例的展示，了解圆锥曲线的背景（产生、发展）、应用及其研究方法，感受其中蕴含的数学文化；2.经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及椭圆定义的过程，掌握椭圆的概念；3.根据椭圆的定义建立焦点在轴上的椭圆标准方程，进一步巩固求曲线方程的一般方法和步骤，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。教学重点：掌握椭圆的概念。教学难点：从具体情境中抽象椭圆的本质特征。四、教学策略分析1.数学史的呈现圆锥曲线的历史发展过程中蕴含着丰富的数学文化。除了概念、性质、标准方程这些显性数学文化之外，在圆锥曲线形成的历史背景和实际应用中还包含着数学思想（化归思想、数形结合思想）、数学方法（用代数方法研究几何问题、构造法
6、）、信念品质（探索真理、理性分析）、价值判断和审美追求（圆锥曲线的实际应用）等丰富的隐性数学文化。显性的数学文化（椭圆的概念）是本节课的重点，必须落实。但同时，课堂也需要隐性数学文化的浸润，才能充满生机。根据学生的知识基础，教师在教学设计时，应在圆锥曲线的2000多年的发展史中选取学生能够理解的且有一定教学价值的部分按历史顺序“去支强干”进行重组，对学生理解有负面作用的作以合理改编（例如椭圆的起源有许多其他猜想，仅选取“削尖的木桩”作为椭圆的起源介绍给学生），对难度过高的内容作以调整或铺垫（例如选取圆柱背景的“旦德林球”发现椭圆的性质，而非通过圆锥背景的“旦德林球”或古希腊纯几何证明发现），将
7、这些丰富的数学文化以符合学生认知基础和认知规律的教学形态呈现给学生。具体图表如下：圆锥曲线发展史教学价值圆锥曲线的起源了解圆锥曲线的来历和最初的图形角度定义，感受几何图形源于生活服务于生活；圆锥曲线的成果了解圆锥曲线的历史成果，欣赏与感受古希腊数学家的理性与智慧，引出解析几何的发展史；解析几何学的创立了解解析几何的核心思想以及它在数学史上的地位和作用，了解从数量关系角度定义椭圆的时代背景和学科发展背景，渗透数形结合数学思想，引出椭圆的性质；椭圆性质的发现经历从具体情境中抽象椭圆本质特征的过程，了解椭圆最初定义与椭圆本质特征的联系；渗透化归数学思想，体验巧妙的数学方法构造法；椭圆的再次定义经历从
8、数量关系角度再次定义椭圆的过程，培养探索真理和理性分析的信念品质，掌握椭圆的概念，引出椭圆的标准方程；椭圆的应用了解圆锥曲线的实际应用；激发学生的学习兴趣；2.椭圆概念的形成几何图形都源于生活，是从具体事物中抽象出来的，椭圆也不例外。历史上，椭圆最早的定义是图形角度的定义（通过平面与圆柱或圆锥的交线定义椭圆），而教材中的定义则是解析几何诞生之后，人们为了方便用代数方程研究圆锥曲线，根据椭圆的性质，从数量关系角度对椭圆进行的再次定义。虽然两者等价，但从形式上看却相差甚远。因此在建立椭圆概念时，如果脱离图形角度的椭圆定义，直接抛出数量关系形式的椭圆定义，或以其他方式抽象出该定义（例如利用椭圆规抽象
9、出定义、利用圆心“分离”抽象出定义），这样的概念形成过程虽然易于教学，但不符合椭圆概念的形成与发展的自然顺序。学生会产生“为什么这样定义椭圆？”、“这样定义的椭圆和我们生活中熟悉的椭圆一样吗？”、“为什么椭圆又叫圆锥曲线？”这样的疑问。如果教师在之后补充说明两者之间的联系，虽然看似弥补了不足，但那样倒还不如在之前以椭圆概念的历史发展顺序呈现给学生。既然概念的形成过程的最佳方式是以历史发展顺序呈现，那么，可以借助解析几何发展史，自然引出椭圆方程的建立，并设置悬疑，引发对椭圆上任意一点所满足的数量关系的探索。之后，学生需要分别经历两个探索过程：（1）发现椭圆的本质特征（从纯几何角度研究椭圆的性质：
10、椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数）；（2）从数量关系角度再次定义椭圆。在第一个探索过程中，教师需要创设一个适合学生抽象椭圆本质特征的情境作为教学载体。历史上第一个得出椭圆该性质的是古希腊阿波罗尼奥斯的几何证明，但证明过程十分复杂，显然不适合作为教学载体。历史上最简洁的证明是比利时数学家旦德林的“旦德林双球构造法”，但考虑到学生未学习立体几何，且圆柱背景与圆锥背景在图形和推理方法上都有相似之处，决定将“旦德林球法”的圆锥背景简化为圆柱背景作为载体，并且辅以教具展示和细致的铺垫便于学生发现椭圆的这一性质。在此基础上，将圆锥背景留给学生课后思考。在第二个探索过程中，学生须从椭圆的性质出发，
11、通过完善其逆命题，得到数量关系角度下椭圆的定义。在这一过程中，教师通过创设学生动手画椭圆的活动情境，让学生直观地体验、思考“到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹是否椭圆？”。教师在简单提示了椭圆规的使用方法后，由学生体验画椭圆的过程并思考教师的提问，从中归纳出“在平面内”以及“常数大于焦距”的补充条件。这一活动不仅巩固了椭圆的本质特征，还为学生将性质的逆命题（增加条件）完善、修改为定义提供更直观的体验，培养学生探索真理和理性分析的信念品质，同时还能培养学生的团结协作和动手操作能力，并激发学生的学习兴趣。3.椭圆标准方程的建立由于课题的变化（上海市二期课改教材：椭圆的标准方程，本节课：圆锥曲线起
12、始课），椭圆的标准方程已经不是本节课的重点，而仅定位为“章节后续研究的开端”。在这样的指导思想下，建立椭圆标准方程的意义在于：（1）为后续的性质研究做一些必要的基础工作；（2）学生进一步巩固求曲线方程的方法，践行解析几何“用代数方法研究几何问题”的思想方法。基于以上考虑，建立椭圆标准方程的过程无需组织学生过度探究，建系、设点的过程可由教师直接约定，最终换元的过程也由教师直接给出，以免冲淡本节课重点。但是，学生亲身体验椭圆标准方程的演算过程不可缺少，它对于培养学生实践探索的科学精神依然十分重要。此外，经过查阅资料和反复推敲，决定依然选用上海市二期课改教材的“二次平方法”，主要原因还是学生的知识基
13、础。历史上，椭圆标准方程的建立方法还有消参法、变换法等方法。但由于学生刚学习了曲线方程的概念及求曲线方程的方法，所以消参法对学生而言显然过难；另外，学生还未学习过圆的标准方程以及坐标变换，从圆的标准方程入手采用坐标变换的方式也没有知识基础。以上是本节课核心的教学策略。教学过程中具体的设计意图参见教学过程板块。五、教学过程（一）新课引入1.播放视频播放经剪辑的嫦娥一号探月的概述，展现嫦娥一号优美的椭圆轨道，引入课题。嫦娥一号成功发射拉开了我国探月工程的序幕，将中国人几千年来的神话传说终于变成了现实。告诉大家一个好消息，就在前天，探月三期工程的探路“小飞”（返回飞行试验器）经历了8天飞行之后成功返
14、回，标志着我国航天技术又取得了新的突破。请看，嫦娥一号在星空中划过了一道美丽的曲线，大家知不知道这条曲线叫什么名字？2.提出问题卫星运行的轨迹是椭圆。在生活中还有哪些事物是椭圆？大家认为椭圆是立体图形还是平面图形？既然是平面图形，那以上这些是不是椭圆？操场的一条跑道线是平面图形，它是不是椭圆呢？那么，究竟什么是数学意义上的椭圆？椭圆有什么性质？椭圆又有哪些应用呢？让我们带着这些问题开始今天的新课圆锥曲线起始课（椭圆的概念）。【设计意图】通过振奋人心的音乐和视频剪辑了解圆锥曲线的航天应用并同时引入新课。通过否定学生心中常见的对椭圆的错误理解，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲，并引出本节课
15、的学习内容。（二）椭圆的起源和发展每一个几何图形都源于生活，是从具体事物中抽象出来的，椭圆也不例外。那最早人们是从怎样的具体事物中发现椭圆这一曲线的呢？让我们回到公元前四世纪的古希腊。相传最早是古希腊人通过削尖的圆木桩发现了一条像圆又不是圆的曲线，把它命名为椭圆。从立体几何的角度，也就是“平面斜截圆柱所得的交线”。 后来又有人发现，平面斜截圆锥所得的交线也可能是椭圆。不仅如此，调整平面的倾斜程度还能得到其他曲线，因此人们把这些曲线命名为圆锥曲线。这也是为什么椭圆是圆锥曲线中的一类曲线。人们又发现，研究这些曲线的性质，还有助于解决三大数学问题之一的“倍立方问题”。于是，许多古希腊的数学家都开始研
16、究这一类曲线，其中还有大家所熟知的欧几里得，可惜其中的许多著作都失传了。迄今为止，修复得最完整的是阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线，在该书中他在总结了前人成果的基础上又增加了自己的创见，从“平面斜截圆锥”出发，运用纯几何方法，证明了近500个命题，这在当时可以说堪称奇迹，即便是之后的近2000年内也无人能超越。因此，阿波罗尼奥斯的圆锥曲线也被长期视为数学经典大作与欧几里得的原本并驾齐驱。直到17世纪，世界经历了翻天覆地的变化。在欧洲，航海、天文、军事、经济等领域飞速发展，古希腊人的纯几何方法已经跟不上社会生产力的需要，人们亟需一种更高效的研究方法。于是，两位伟人诞生了，他们是法国数学家笛卡尔和费马，
17、也是解析几何的创始人。解析几何借助坐标系，建立了代数与几何之间的联系，并通过代数的方法研究几何图形的性质。例如，将点与坐标一一对应，曲线与代数方程一一对应，通过研究代数方程获得曲线的性质。解析几何将两个看似毫不相干的学科之间建立了联系，可以说是数学史上最伟大的突破。这时，人们开始思考，能否通过解析几何的方法研究椭圆这些圆锥曲线呢？我们学习过曲线与方程，知道求曲线方程的步骤是：建系、设点、列式、化简。其中列式的步骤需要根据曲线上的点所满足的条件列出等式。例如：圆上的任意一点到定点（圆心）的距离等于常数（半径）。通过这一数量关系很容易列出圆上的动点所满足的等式。但是，椭圆上的点满足什么样的条件？能
18、否用数量关系表示椭圆上的点的运动规律呢？【设计意图】通过介绍圆锥曲线的历史，使学生了解圆锥曲线的最初定义和历史成果，进一步感受几何图形抽象于生活的特征，欣赏古希腊数学家的信念与智慧。通过对解析几何的简要介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，了解从数量关系角度定义椭圆的时代背景和学科发展背景，并创设悬念引出椭圆的性质的探索。（三）椭圆性质的探索为了解答这个问题，人们重新翻阅了阿波罗尼奥斯的圆锥曲线。发现书中近500个命题中，真的有一条性质十分简洁地通过数量关系揭示了椭圆上的点的运动规律。这条神秘的性质究竟是什么呢？现在，就让我们一起来发现这条
19、性质。为了探索这条性质，我们需要从立体图形出发研究平面图形，但大家还未学习过立体几何，老师需要对大家做一个小测试，考考大家的空间想象力！1.第一组试题（平面示意图）（1）我们知道，两条平行直线之间距离处处相等。那么，两个平行平面之间的距离有什么性质？（2）我们知道，过圆外一点，引圆的两条切线，切线长相等。那么，过球外一点，引球的两条切线，切线长有什么数量关系？2.第二组试题（平面动画、实物教具）（1）在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径的小球，小球与圆柱侧面的公共点将形成什么曲线？（2）同样地，在下方也放置一个相同的小球，它与圆柱侧面的公共点将也形成圆，我们把这两个圆记作圆和圆。请问，圆与圆所在平
20、面有怎样的位置关系？（3）如图，在圆柱的最右侧侧面上取圆与圆之间的线段，它与圆、所在平面有怎样的位置关系？与两小球又有怎样的位置关系？（4）如果将线段保持铅垂方向，沿着圆柱的侧面转动，与圆、所在平面是否依然垂直？与两小球是否依然相切？（5）旋转过程中，线段的长度变不变？为什么？3.第三组试题（实物教具）（1）这是平面斜截圆柱得到的交线，它是椭圆。现在，在圆柱内放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，请问共有几个切点？（2）我们记切点为，在椭圆上任取一点，连结，请问与上方小球有什么位置关系？（3）同理，在椭圆所在平面另一侧，再放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，将切点记作，则与下
21、方小球相切。请问，当点在椭圆上运动时，分别与上下两个小球相切不相切？大家都顺利过关了。现在让我思考刚才的问题：“能否用数量关系表示椭圆上的点的运动规律？”4.发现椭圆的性质（实物教具、平面动画）现在过点作之前那样的，让我们先回顾一下先前所得到的结论：、都与上方小球相切，因此，同理，、都与下方小球相切，因此；我们还知道线段的长度不变。（1）请问，除了线段的长度之外，在椭圆所在平面内，还有什么几何量是不变的吗？（2）我们知道，圆上的任意一点到定点（圆心）的距离等于常数（半径），而点在椭圆上运动时，点、的位置不发生变化。有谁能用类似的文字语言归纳一下，椭圆上的任意一点应具有怎样的性质呢？椭圆的性质：
22、椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数。其中两个定点叫做椭圆的焦点，焦点之间的距离称为焦距。这一构造法十分巧妙，是由19世纪比利时数学家旦德林给出的，不过旦德林的证明是在圆锥背景下进行的，而今天老师为了大家理解方便将其简化为圆柱背景。课后大家可以继续思考，如果改为圆锥背景，能否用类似的方法得到椭圆的性质。【设计意图】通过圆柱背景下的“旦德林球”探索、发现椭圆的本质特征是本节课的难点。由于学生未学习立体几何，直接归纳椭圆的性质有很大的困难，因此通过“考考空间想象力”的环节为椭圆性质的发现做好自然的引导和铺垫，并通过自制教具的展示让部分缺乏空间想象力的学生也能较好地理解这一过程，使学生从问题情
23、境中成功归纳出椭圆的性质（本质特征），为从数量关系角度再次定义椭圆做好准备。此外，在这一过程中，前后问题的紧密联系还能够使学生进一步体会化归数学思想，之后的回顾与介绍还能够使学生了解椭圆发展史上的经典证明并体会巧妙的数学方法构造法。需要说明的是，在铺垫问题中，为便于学生理解，问题的措辞有部分不严谨的成分，学生的回答也只需要依靠空间想象所作出判断，而非严密推理。（四）椭圆的再次定义我们已经得到了椭圆的性质，知道了椭圆上的任意一点满足的数量关系。但是，为了求椭圆的方程，我们还需要知道：满足这一数量关系的点的轨迹是否椭圆？这一性质能否修改、完善为椭圆的定义呢？接下来，让我们通过画椭圆的活动一起体会一
24、下，满足这一性质的点的轨迹是否椭圆。l 活动：画椭圆根据椭圆的性质，研究椭圆规的使用方法，同桌两人共同配合画一个椭圆。思考：若要画出椭圆，细绳长度（距离之和）与两个连结点之间的距离（焦距）应具有怎样的大小关系？l 教师提示：（1）椭圆的性质中，含有两个定点，在椭圆规上能否找到这两个定点？（2）椭圆的性质中，还有距离之和等于常数，在椭圆规中能否找到距离之和的常数？请同桌中的一位同学负责保持定点位置不发生变化，另一位同学利用细绳负责保持笔尖到两个定点的距离之和为常数，画出椭圆。作图过程中，可能还会遇到一些障碍，请同桌一起想办法排除障碍。让我们比一比，哪一组同学能够既画得好又答得好。l 补充问题：（
25、1）如果细绳长度等于两个连结点之间的距离，即，动点的轨迹是什么图形？（2）我们还知道，椭圆是平面截圆柱或圆锥得到的交线，是一个平面图形，因此还需要补充什么条件？椭圆的定义：在平面内，到两个定点的距离之和为常数（）的点的轨迹叫椭圆。（焦点，焦距）当时，轨迹为线段；当时，轨迹不存在就在17世纪，德国数学家洛必达在圆锥曲线分析中抛弃了古希腊人对于椭圆的图形定义，改用椭圆的数量关系定义，并以此推导了椭圆方程。【设计意图】通过创设画椭圆的活动，使学生巩固椭圆的本质特征，为学生将性质的逆命题（增加条件）完善、修改为定义提供更直观的体验，为推导椭圆标准方程做好准备。同时，进一步培养学生探索真理和理性分析的信
26、念品、团结协作和动手操作能力，并激发学生的学习兴趣。通过介绍椭圆发展史上最后一个关键历史事件，使学生对于圆锥曲线发展史的全貌以及本章节后续的研究内容和研究方法获得初步的印象。（五）椭圆的标准方程接下来让我们也来亲身实践一下，推导椭圆的曲线方程。让我们先来回顾一下椭圆的定义：在平面内，到两个定点的距离之和为常数（）的点的轨迹叫椭圆。能否用一个含字母的等式表示椭圆上的动点M满足的等量关系？如图，在平面内，已知两个定点，且，动点M满足（），求：点M的轨迹方程解：以线段所在直线为轴，线段垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系。设，得，设动点是椭圆上的任意一点，有（），两边平方得：，即两边平方得：整理得：因
27、为，所以，设，得即 该方程称为焦点在轴上的椭圆标准方程教学处理：1、建系、设点由教师直接约定；2、学生从移项之后开始动笔推导，此时教师巡视、个别指导；3、将推导到或其相近等价等式的学生作品投影展示（批注）；4、由教师直接说明换元步骤，并指出可证明以方程的解为坐标的点也在曲线上。【设计意图】通过学生亲身经历建立椭圆标准方程的过程，践行解析几何“用代数方法研究几何问题”的思想方法，巩固椭圆的定义以及求曲线方程的方法，培养学生实践探索的科学精神，并为后续课程中椭圆的性质研究做必要的基础工作。（六）课堂小结到这里，我们有了研究椭圆的基础，但今天的课也要接近尾声了。让我们做个课堂小结：1.椭圆与圆锥曲线
28、：我们已经知道，平面斜截圆锥所得交线可能是椭圆，还可能是其他曲线，在本章中，我们会继续学习其他圆锥曲线，它们是圆、双曲线和抛物线；2.椭圆的定义：在平面内，到两个定点的距离之和为常数（）的点的轨迹叫做椭圆。其中，称为椭圆的焦点，焦点的距离称为焦距。3.焦点在轴上的椭圆的标准方程：4.椭圆的应用在当今社会中，椭圆也有许多应用。由于它对称美观，可用于包装、服饰、建筑的设计，它的光学、声学性质可用于设计音乐厅，更重要的是它在天文领域的应用，开普勒对太阳系的观测使人们了解了太阳系中行星运动的轨迹是以太阳为一个焦点的椭圆，如果没有这些研究成果，也不可能有今天嫦娥奔月的一幕。作为物理班的学生，希望大家学好
29、数学，今后为祖国发展多做贡献！【设计意图】借回顾椭圆的古希腊定义，引出其他圆锥曲线，为本章节的后续学习作简单介绍，激发学生的学习兴趣与动机；通过填空式小结椭圆的定义和标准方程，进一步巩固本节课的重点；通过介绍椭圆在生活中的应用，与视频引入前后呼应，激发学生学习科学知识的热情和动力。（七）作业布置1.任课老师布置的其他作业；2.思考：（1）椭圆的标准方程中，有怎样的几何意义？（2）对称中心在原点且焦点在轴上的椭圆标准方程是什么？（3）如果是“平面截圆锥”所得的椭圆，能否通过旦德林球的方法说明椭圆上任意一点到两个定点的距离之和为常数？【设计意图】通过三个与本节课相关的延伸问题，为学生创设课后自主探
30、究的平台，使部分学生能更全面深入地了解与椭圆概念、标准方程相关的知识，也为后续课程中通过标准方程研究椭圆性质做好铺垫。（八）板书设计圆锥曲线起始课椭圆的概念1、定义：在平面内，到两个定点的距离之和为常数（）的点的轨迹叫做椭圆。 （焦点，焦距）*当时，轨迹为线段当时，轨迹不存在2、椭圆的标准方程：（）六、教学反思教学实践之后，本节课获得了良好的反馈。学生在课堂上神情十分专注，课后表示很高兴获得了许多书本之外有关圆锥曲线数学史的知识，特别是知道了教材中椭圆定义的由来，尽管学生未学习立体几何，但在多媒体和教具的辅助下，学生表示理解“旦德林球”模型并不困难。听课教师也表示，在目前的教材环境下，这样的设计可能是椭圆概念形成过程中逻辑顺序最流畅的呈现方式。但由于本节课受制于上海教材的内容编排和学生学情，未能在圆锥背景下探索椭圆的性质且教师的引导过于细致压缩了学生的思考空间，依然有些遗憾。
