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1、2016年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）一、选择S(本大題共丨2小題，每小題5分.共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合題目要求的.）1已知集合A=1，2，3，4，集合B=x|xA，且2xA，则AB=（）A1，2B1，3C2，4D3，42若复数z满足z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A1B1CiDi3甲、乙两人玩数字游戏，先由甲在一张卡片上任意写出一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才写出的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1，2，3，若|ab|1，则乙获胜，现甲、乙两人玩一次这个游戏，则乙获胜的概率为（）A B C D4若椭圆+=1（ab0）与双曲线=1
2、共焦点，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=2x5已知命题：px（0，），sinx+cosx1恒成立，命题q：x（0，），使2x3x，则下列结论中正确的是（）A命题“pq”是真命题B命题“p（q）”是真命题C命题“（p）q”为真命题D命题“（p）（q）”是真命题6等比数列an中，Sn表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为（）A2B3C2D37已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，则f（）=（）A2B1C1D28执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于（）A6，2B5，1C4，5D3，69将函数y=sin（2x+）的图象向左
3、平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|的最小值为（）A B C D10抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，斜率k=1的直线过焦点F，与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积为2，则该抛物线的方程为（）Ay2=2xBy2=2xCy2=4xDy2=4x11如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A B6C D12已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的xM，存在常数x0M，使的f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g（x
4、）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=2x33（a+1）x2+6ax+b与g（x）=x+在区间1，3上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）Aa=2，b=0Ba=2，b=2Ca=2，b=0Da=2，b=2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设向量，是夹角为的单位向量，若=+2，则|=14若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2xy的取值范围是15在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA翻折成一个三棱锥PABC，使P1、P2、P3重合于点P，则三棱锥PABC的外接球的表面积为16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
5、，c，已知（2ca）cosB=bcosA，且b=6，若ABC的两条中线AE，CF，相交于点D，则四边形BEDF面积的最大值为三、解答题（共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设等差数列an的公差d0，已知a1=2，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）设数列bn=，求数列bn的前n项和Sn18如图所示，已知直三棱柱ABCABC，AC=AB=AA=2，ACAB，E，F，H分别是AC，AB，BC的中点（1）证明：EFAH（2）求四面体EFAH的体积19模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统
6、计成绩后，得到如下的22列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 100（1）请完成上面的22列联表（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生恰有2人的概率参考公式与临界表：K2= P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82820已知椭圆C： =1（ab0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2
7、（1）求椭圆C的标准方程（2）若直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于不同两点M，N，直线OM，MN，ON的斜率存在且依次成等比数列，求k的值及m的取值范围（O为坐标原点）21已知函数f（x）=e2xax+2（aR）（1）求函数f（x）的单调区间（2）在曲线y=f（x）上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1x2），使得该曲线在A，B两点处的切线相交于点P（0，t）？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CEAB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG（）求证：C是劣弧的中点；（
8、）求证：BF=FG选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与圆C：（为参数）相交于A，B两点（1）求直线l及圆C的普通方程（2）已知F（1，0），求|FA|+|FB|的值选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x1|+|ax1|（a0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）f（0）（2）若对任意xR，不等式4f（x）f（0）恒成立，求实数a的取值范围2016年江西省九江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择S(本大題共丨2小題，每小題5分.共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合題目要求的.）1已知集合A=1，2，3，4，集
9、合B=x|xA，且2xA，则AB=（）A1，2B1，3C2，4D3，4【考点】交集及其运算【分析】由A中的元素，根据题意确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由x=1，2，3，4，得到2x=2，4，6，8，B=3，4，A=1，2，3，4，则AB=3，4，故选：D2若复数z满足z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法即可求出【解答】解：z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），z=1i，故选：B3甲、乙两人玩数字游戏，先由甲在一张卡片上任意写出一个数字，记为a，再由乙猜甲
10、刚才写出的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1，2，3，若|ab|1，则乙获胜，现甲、乙两人玩一次这个游戏，则乙获胜的概率为（）A B C D【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出乙获胜包含的基本事件个数，由此能求出结果【解答】解：a，b1，2，3，基本事件总数n=33，乙获胜，a，b1，2，3，|ab|1，当a=1时，b=1，2；当a=2时，b=1，2，3；当a=3时，b=2，3乙获胜的概率p=故选：A4若椭圆+=1（ab0）与双曲线=1共焦点，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=2x【考点】椭圆的简单性质【分析】运用椭圆和双曲线的a，
11、b，c的关系，求得a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程【解答】解：由椭圆+=1（ab0）与双曲线=1共焦点，可得a2b2=+，即a2=2b2，即为a=b，可得双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=x故选：A5已知命题：px（0，），sinx+cosx1恒成立，命题q：x（0，），使2x3x，则下列结论中正确的是（）A命题“pq”是真命题B命题“p（q）”是真命题C命题“（p）q”为真命题D命题“（p）（q）”是真命题【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案【解答】解：命题：p：x（0，），sinx+cosx=sin（x+）（1，；p真，命题q：x（0，），1，3x2
12、x，故q是假命题，故pq假，A错误，p（q）真，B正确，（p）q假，C错误，（p）（q）假，D错误；故选：B6等比数列an中，Sn表示其前n项和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为（）A2B3C2D3【考点】等比数列的通项公式【分析】由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4a3=2a3，即可得出【解答】解：由a3=2S2+1，a4=2S3+1，两式相减可得：a4a3=2a3，可得q=3，故选：D7已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，则f（）=（）A2B1C1D2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可【解答】
13、解：f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，f（0）=0，即=0，则f（x）=，f（x）=f（x），=，整理得bx=bx恒成立，则b=0，则f（x）=，则f（）=，故选：A8执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的S属于（）A6，2B5，1C4，5D3，6【考点】程序框图【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】解：若0t2，则不满足条件输出S=t33，1，若2t0，则满足条件，此时t=2t2+1（1，9，此时不满足条件，输出S=t3（2，6，综上：S=t33，6，故选：D9将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的
14、距离相等，则|的最小值为（）A B C D【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得函数解析式为：y=sin（2x+），其周期T=，由题意可得（，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin（+）=0，sin（+）=0，从而解得=k+，=k，（kZ），即可得解|的最小值【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，可得函数解析式为：y=sin（2x+），其周期T=，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，（，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin（2（）+=sin（+）=0，sin（2+）=sin（+）=0，解得：=
15、k+，=k，（kZ），|的最小值为：故选：B10抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，斜率k=1的直线过焦点F，与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积为2，则该抛物线的方程为（）Ay2=2xBy2=2xCy2=4xDy2=4x【考点】抛物线的简单性质【分析】求出直线AB的方程，联立方程组，利用根与系数的关系解出|y2y1|，根据三角形的面积列出方程解出p，得到抛物线的方程【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），直线AB的方程为y=x联立方程组，消元得y22pyp2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2p，y1y2=p2SAOB=2p=2抛物线方程为y2=4x
16、故选：C11如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A B6C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由棱柱截割去两个三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积【解答】解：如图示：，V=2222221=，故选：C12已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的xM，存在常数x0M，使的f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=2x33（a+1）x2+6ax+b与g（x）=x+在区间1
17、，3上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）Aa=2，b=0Ba=2，b=2Ca=2，b=0Da=2，b=2【考点】函数的值域【分析】由题意求出函数g（x）的最小值，然后对函数f（x）求导，进一步得到其在1，3上的最小值求解【解答】解：当x1，3时，g（x）=x+4，当且仅当x=2时取等号，x0=2，g（x0）=4，f（x）=6x26（a+1）x+6a=6（x1）（xa），当a1时，x1，3，f（x）0，故f（x）在1，3上单调递增，不合题意；当a1时，由f（x）0，得x1或xa，由f（x）0，得1xa，故f（x）在（，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，依题意可得
18、：a=2f（x）=2x39x2+12x+b，则f（2）=4+b=4，解得：b=0故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13设向量，是夹角为的单位向量，若=+2，则|=sqrt3【考点】平面向量数量积的运算【分析】计算，开方即可得出|【解答】解：，=3|=故答案为14若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=2xy的取值范围是0，6【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得k值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得C（1，2），由z=2xy得：y=2xz，显然直线过C（1，2）时，z最小，z的最小值是0，直线过B
19、（3，0）时，z最大，z的最大值是6，故答案为：0，615在边长为2的正方形AP1P2P3中，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA翻折成一个三棱锥PABC，使P1、P2、P3重合于点P，则三棱锥PABC的外接球的表面积为6【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥PABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥PABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半径R=，结合球的表面积公式即可算出三棱锥PABC的外接球的表面积【解答】解：根据题意，得三棱锥PABC中，AP=2，B
20、P=CP=1PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥PABC的外接球的直径2R=可得三棱锥PABC的外接球的半径为R=根据球的表面积公式，得三棱锥PABC的外接球的表面积为S=4R2=4（）2=6故答案为：616在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2ca）cosB=bcosA，且b=6，若ABC的两条中线AE，CF，相交于点D，则四边形BEDF面积的最大值为3sqrt3【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得2sinCcosB=sinC，由sinC0，可求cosB=，结合范围B（0，），可得B=，由余弦定理及基本不等式可得ac36，可求
21、三角形ABC的面积的最大值，利用重心的性质即可得解S四边形BEDF的最大值【解答】解：（2ca）cosB=bcosA，（2sinCsinA）cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA，2sinCcosB=sin（A+B）=sinC，sinC0，cosB=，B（0，），可得B=，由余弦定理可得：36=a2+c22accos，可得：36=a2+c2acac，即：ac36，如图所示，D为ABC的重心S四边形BEDF=SABC=acsinB=ac3故答案为：3三、解答题（共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设等差数列an的公差d0，
22、已知a1=2，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项公式（2）设数列bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由a1，a2，a4成等比数列，可得，即（2+d）2=2（2+3d），解出即可得出（2）bn=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）a1，a2，a4成等比数列，（2+d）2=2（2+3d），化为d22d=0，d0，解得d=2an=2+2（n1）=2n（2）bn=，数列bn的前n项和Sn=+=18如图所示，已知直三棱柱ABCABC，AC=AB=AA=2，ACAB，E，F，H分别是AC，AB，BC的中点（1）证明：EFAH（2）
23、求四面体EFAH的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）连结BC由中位线定理得EFBC，由AB=AC得AHBC，由BB平面ABC得BBAH，故AH平面BBC，于是AHBC，从而EFAH；（2）过F作FMAB于M，则FM平面ABC，求出FM和SAEH，于是VEFAH=VFAEH【解答】证明：（1）连结BCE，F分别是AC，AB的中点，EFBC，AB=AC，H是BC的中点，AHBC，BB平面ABC，AH平面ABC，BBAH，又BC平面BBC，BC平面BBC，BBBC=B，AH平面BBC，BC平面BBC，AHBC，又BCEF，EFAH解：（2）过F作FMAB
24、于M，则FM平面ABC，FM=BB=1SAEH=，VEFAH=VFAEH=19模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 100（1）请完成上面的22列联表（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生恰有2人的概率参考公式与临界表：K2= P（K2k） 0.100 0
25、.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）设求出乙班优秀人数，填写列联表即可；（2）计算观测值K2，对照数表得出概率结论；（3）利用分层抽样求出所抽的6人中甲班、乙班的学生数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率即可【解答】解：（1）设乙班优秀人数为x人，则=，解得x=20；故列联表如下：优秀非优秀合计甲班104050乙班203050合计3070100（2）K2=4.7625.024，故没有达到可靠性要求，不能认为成绩与班级有关系；（3）在所抽的6
26、人中，甲班有6=2人，设为A、B，乙班有6=4人，设为C、D、E、F，从这6人中任选3人，基本事件有ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF、CDE、CDF、CEF、DEF共20种，其中甲班恰有2人的事件为ABC、ABD、ABE、ABF共4种，所以所求的概率为P=20已知椭圆C： =1（ab0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2（1）求椭圆C的标准方程（2）若直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C相交于不同两点M，N，直线OM，MN，ON的斜率存在且依次成等比数列，求k的值及m的取值范围（O为坐标原点）【考点】
27、椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程（2）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，由此利用韦达定理、等比数列、根的判别式，结合已知能求出m的取值范围【解答】解：（1）椭圆C： =1（ab0）的长轴的长是短轴长的两倍，焦距为2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的标准方程为（2）由题意，得k0，联立，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由题意m21（否则x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存
28、在，矛盾），+km（x1+x2）+m2，又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，=k2，+m2=0，由m0，得：，解得k=，由=64k2m216（1+4k2）（m21）=16（4k2m2+1）0，得m1或1m0或0m1或1m，m的取值范围是（）（1，0）（0，1）（1，）21已知函数f（x）=e2xax+2（aR）（1）求函数f（x）的单调区间（2）在曲线y=f（x）上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1x2），使得该曲线在A，B两点处的切线相交于点P（0，t）？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方
29、程【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于函数y=g（x）与y=2t至少有2个不同的零点，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出t的范围即可【解答】解：（1）f（x）=2e2xa，a0时，f（x）0，f（x）在R递增，a0时，f（x）0，解得：xln，f（x）0，解得：xln，故f（x）在（，ln）递减，在（ln，+）递增；（2）以点A为切点的切线方程为：y+ax12=（2a0（xx1），点P（0，t）在切线上，t+ax12=（2a）（x1），整理得（2x11）=2t，令g（x）=（2x1）e2x，则原问题等价于函
30、数y=g（x）与y=2t至少有2个不同的零点，g（x）=4xe2x，g（x）0x0，g（x）0x0，g（x）在（，0）递减，在（0，+）递增，且当x0时，g（x）0，1=g（0）2t0，解得：2t3，故t（2，3）选修4-1：几何证明选讲】22如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CEAB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG（）求证：C是劣弧的中点；（）求证：BF=FG【考点】与圆有关的比例线段【分析】（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明CAB=DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CEAB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论（I
31、I）由已知及（I）的结论，我们易证明BFC及GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论【解答】解：（I）CF=FGCGF=FCGAB圆O的直径CEABCBA=ACECGF=DGACAB=DACC为劣弧BD的中点（II）GBC=FCBCF=FB同理可证：CF=GFBF=FG选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与圆C：（为参数）相交于A，B两点（1）求直线l及圆C的普通方程（2）已知F（1，0），求|FA|+|FB|的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）使用加减消元法和同角三角函数的关系消参数得到普通方程；（2）将直线的参数
32、方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义和根与系数的关系解出【解答】解：（1）直线l的普通方程为x1=0，圆C的普通方程为（x2）2+y2=9（2）将代入（x2）2+y2=9得t28=0，t1+t2=，t1t2=8|FA|+|FB|=|t1t2|=选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|2x1|+|ax1|（a0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）f（0）（2）若对任意xR，不等式4f（x）f（0）恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的一个不等式，求出此不等式的解集，即得所求（2）分类讨论求得f（x）的最小
33、值，则由4乘以此最小值大于或等于f（0），求得a的范围【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x1|+|2x1|=2|2x1|，不等式4f（x）f（0），即 8|2x1|2，即|2x1|，2x1，或2x1，求得x或x，故原不等式的解集为x|x或x（2）当时，即0a2 时，f（x）=|2x1|+|ax1|=，若对任意xR，不等式4f（x）f（0）=2恒成立，故f（x）的最小值为f（）=，由42，求得a1，综合可得，0a1当当时，即a2 时，f（x）=|2x1|+|ax1|=，故f（x）的最小值为f（）=，由42，求得a4，综合可得，a4综上可得，要求的实数a的取值范围为a|0a1，或a42016年7月15日
