福建省高三高考压轴卷文科数学试题及答案.doc

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1、2014年福建省高考压轴卷文科数学 参考公式： 样本数据,的标准差：，其中为样本平均数；柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；球的表面积、体积公式：，其中为球的半径第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集U =1，2，3，4，5，集合A=2，3，4，集合B=3，5，则=A5 B1，2，3，4，5C1，3，5D2. 已知i为虚数单位，则（ ）A B C . D.3. 已知平面向量, 且, 则 ( )A. B. C. D. 4.已知命题：$，则下列说法正确的是（ ）A：

2、$，且为假命题B ：$，且为真命题C ：，且为假命题D：，且为真命题5.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A B C D6.已知直线经过坐标原点，且与圆相切，切点在第四象限，则直线的方程为( )A. B. C. D. 7.记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点M落在区域的概率为ABCD8.若变量满足约束条件且的最大值为,最小值为b，则的值是A10B20C4D12 oXXXXxxyxyxy xy9现有四个函数：；的部分图象如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（ ）A B C D 10. 若某多面体的三视图（单位: cm）如图

3、所示,11正视图侧视图1俯视图1 则此多面体的体积是（ ）Acm3 Bcm3 Ccm3 Dcm311已知双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则双曲线的离心率等于（ ）ABCD12已知函数的定义域为，若常数满足：对任意正实数，总存在，使得成立，则称为函数的“渐近值”现有下列三个函数：； 其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）A0 B1 C2 D3第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分将答案填在答题卡的相应位置13某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为，为了解高中学生身体素质，采用分层抽样，共抽取一个100人的样本，

4、则样本中高一学生人数为_ _人.14已知的值为_.15已知sin，则 .16设是已知的平面向量，向量，,在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:给定向量,总存在向量,使;给定向量和,总存在实数和,使;给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;若=2，存在单位向量、和正实数，,使，则其中真命题是_.三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部分如下，据此解答如下问题： （）计算频率分布直方图中80,90)间的矩形的高；（）若要从分数在之间的试卷中任取

5、两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在之间的概率；() 根据频率分布直方图估计这次测试的平均成绩18(本小题满分12分)如图,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A),要求PMPNMN2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)19（本小题满分12分）已知实数，且按某种顺序排列成等差数列 （）求实数的值；（）若等差数列的首项和公差都为，等比数列的首项和公比都为，数列和的前项和分别为，且，求满足条件的自然数的最大值20. （本

6、小题满分12分）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率（）求椭圆的方程；（）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论21. (本小题满分12分) 如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，分别是，的中点，()证明：；()证明：；()假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.22 (本题满分14分)已知函数 ().()若,求函数的极值;()设 当时,对任意,都有成立,求的最大值; 设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围. 2014福建省高考压轴卷文科数学参考答案

7、1【答案】A解析：=1,5 则= 5 故选A2. 【答案】B 解析：, 故选B 3. 【答案】C解析： 可得m+4=0 解得 则 ，故选C4. 【答案】D解析：否命题，既否定假设，又否定结论。二次函数的判别式为0 则二次函数大于0恒成立。故选D5. 【答案】A 解析：将上面四个选项逐项代入检验。选A 6. 【答案】D解析：由题意可设直线l的方程为y=kx ,因为直线与圆相切 将y=kx 代入得到(1+)4x+3=0的判别式 解得 ，又切点在第四象限 因此,故选D7. 【答案】A解析：由题意可得平面的面积分别为， 则概率P 为 ，故选A8. 【答案】C解析：画出线性规划图可得最大值在（4,4）处

8、取得a=12 ,最小值在（8,0）处取得 b=则的值是4 ，故选C9【答案】A 解析：由函数性质可得为偶函数，则可得第一个图形的图象； 均为奇函数，但在时函数值也小于0故第四个图形为的图象； 则第三个图形为的图象；第二个图形为的图象。故选A10. 【答案】C解析：略11【答案】D解析：曲线的一条渐近线为，设与函数在点处相切 则在点处的导数值为即= 所以=。进而可得在=处函数 的值为 1。.因为点（，1）为两个函数切点，点（，1）也在函数上代入可得= 即 又可得 所以e=,故选D12【答案】C解析: 符合题意。二、填空题： 13【答案】24解析：由题意得高一高二高三人数为480 ，720 ，80

9、0 三者的比为6：9:10 则样本中高一人数为人14【答案】3解析：由分段函数=1 , =3 所以=315【答案】解析：16【答案】解析:特殊值代入和排除法。三、解答题： 17. （本小题满分12分）解：（）分数在的频率为，由茎叶图知：分数在之间的频数为，所以全班人数为， 2分分数在之间的人数为人，则对应的频率为 3分所以间的矩形的高为 4分（）将之间的个分数编号为， 之间的个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：， ，共个 6分其中，至少有一份在之间的基本事件有个，故至少有一份分数在之间的概率是8分（）全班人数共人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：分数段频率10分所以估计这

10、次测试的平均成绩为：12分18 解法一:设AMN，在AMN中，因为MN2,所以AMsin(120) 2分在APM中,cosAMPcos(60).4分AP2AM2MP22 AMMPcosAMPsin2(120)422 sin(120) cos(60) 6分sin2(60) sin(60) cos(60)41cos (2120) sin(2120)4sin(2120)cos (2120)sin(2150),(0,120) 10分 当且仅当2150270,即60时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.答:设计AMN为60时,工厂产生的噪声对居民的影响最小12分APMNBC第17题图D解法二:(

11、构造直角三角形):设PMD,在PMD中,PM2,PD2sin,MD2cos.2分在AMN中,ANMPMD,AMsin,ADsin2cos,(时,结论也正确).4分AP2AD2PD2(sin2cos)2(2sin)2sin2sincos4cos24sin2 6分sin24sin2cos2sin(2),(0,).10分当且仅当2，即时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2 此时AMAN2,PAB30 12分解法三:设AMx,ANy,AMN.在AMN中,因为MN2,MAN60,所以MN2AM2AN22 AMANcosMAN,即x2y22xycos60x2y2xy4.2分因为,即,所以siny,c

12、os.4分cosAMPcos(60)cossiny.6分在AMP中,AP2AM2PM22 AMPMcosAMP,即AP2x2422xx24x(x2y)42xy.10分因为x2y2xy4,4xyx2y22xy,即xy4.所以AP212,即AP2.当且仅当xy2时,AP取得最大值2. 答:设计AMAN2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 12分 解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系.设M(x1,0),N(x2,x2),P(x0,y0).MN2,(x1x2)23x4.2分MN的中点K(,x2) MNP为正三角形,且MN2,PK,PKMN,PK2(x0)2(y0

13、x2)23, kMNkPK1,即1,4分 y0x2(x0),(y0x2)2(x0)2(1)(x0)23,即(x0)23,(x0)2xx00 x0x2,x0x12x2,y0x1 6分AP2xy(2x2x1)2xx4x2x1x244x1x244212,10分即AP2. 答:设计AMAN2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 12分解法五(几何法):由运动的相对性,可使PMN不动,点A在运动.APMNBCFE由于MAN60,点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上,4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知:AP的最大值为PFR.6分在AMN中,由正弦定理知:2R,R,8分FMFNR

14、,又PMPN,PF是线段MN的垂直平分线.设PF与MN交于E，则FE2FM2ME2R212即FE，又PE.10PF,AP的最大值为PFR2. 答:设计AMAN2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小12分19 （）解法一：由已知三个数有：， 1分不妨设排列成递增的等差数列，则若依次成等差数列，则有解得，符合题意；3分若依次成等差数列，则有解得，由不符合题意；5分综上得.6分解法二：分三种情况讨论：若为等差中项，则有解得，符合题意；2分若为等差中项，则有解得，由不符合题意；4分若为等差中项，则有，即，方程无解；6分综上得. （）解：由（）知，8分 ， 10分由已知可得，即,11分即，又，故的最

15、大值为1412分20. 解：（）由题意可得， . 2分， 3分所以椭圆的方程为 4分（）解法一：曲线是以为圆心，半径为2的圆.设，点的坐标为，5分三点共线， ，6分而，则， 7分点的坐标为，点的坐标为， 8分直线的斜率为，而， 10分直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离，11分所以直线与曲线相切 12分解法二：同解法一得， 10分又，故，即，所以直线与圆相切 12分21.解：（）证明：连结，分别为的中点，. 又，且.四边形是平行四边形，即. . 4分() 证明：，为圆柱的母线，所以因为垂直于圆所在平面，故，又是底面圆的直径，所以，所以，由，所以.8分（）解：鱼被捕的概率等于四棱锥与圆柱的体积

16、比，由，且由（）知.， ，. 因是底面圆的直径，得，且，即为四棱锥的高设圆柱高为，底半径为，则，：，即 .12分22解: ()当a2,b1时,f (x)(2)ex,定义域为(,0)(0,).所以f (x)ex.2分令f (x)0,得x11,x2,列表x(,1)1(1,0)(0,)(,)f (x)f (x)极大值极小值由表知f (x)的极大值是f (1)e1,f (x)的极小值是f ()4.4分() 因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex,当a1时,g (x)(x2)ex.因为g (x)1在x(0,)上恒成立,所以bx22x在x(0,)上恒成立 7分记h(x)x22x(x0),则

17、h(x).当0x1时,h(x)0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x1时,h(x)0,h(x)在(1,)上是增函数;所以h(x)minh(1)1e1; 所以b的最大值为1e1. 9分解法二:因为g (x)(axa)exf (x)(ax2a)ex,当a1时,g (x)(x2)ex.因为g (x)1在x(0,)上恒成立，所以g(2)e20,因此b0.5分g(x)(1)ex(x2)ex因为b0,所以:当0x1时,g(x)0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x1时,g(x)0,g(x)在(1,)上是增函数所以g(x)ming(1)(1b)e1 7分因为g (x)1在x(0,)上恒成立，所以(1b)

18、e11,解得b1e1因此b的最大值为1e1.9分解法一:因为g (x)(ax2a)ex,所以g (x)(axa)ex.由g (x)g(x)0,得(ax2a)ex(axa)ex0,整理得2ax33ax22bxb0.存在x1,使g (x)g (x)0成立.等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立 11分因为a0,所以.设u(x)(x1),则u(x)因为x1,u(x)0恒成立,所以u(x)在(1,)是增函数,所以u(x)u(1)1,所以1,即的取值范围为(1,).14分解法二:因为g (x)(ax2a)ex,所以g (x)(axa)ex.由g (x)g (x)0,得(ax2a)ex(axa)ex0,整理得2ax33ax22bxb0.存在x1,使g (x)g (x)0成立.等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立.11分设u(x)2ax33ax22bxb(x1)u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b-2b 当b0时,u(x) 0此时u(x)在1,)上单调递增,因此u(x)u(1)ab因为存在x1,2ax33ax22bxb0成立所以只要ab0即可,此时10 12分当b0时,令x01,得u(x0)b0,又u(1)ab0于是u(x)0,在(1,x0)上必有零点即存在x1,2ax33ax22bxb0成立,此时013分综上有的取值范围为(1,+)-14分