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1、湖南省雅礼中学2014届高三第七次月考数学理试题考试时间：120分钟 满分：150分一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1、若集合，则集合等于（ D ）A. B. C. D. 2、复数，则复数在复平面内对应的点位于（ A ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3、若向量，则等于（ B ）A. B. C. D.4、若，且，则等于（A ）A. B. C. D. 5、已知命题 R，R，给出下列结论：命题“”是真命题命题“”是假命题命题“”是真命题命题“”是假命题其中正确的是（ B ）ABCD6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查
2、暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（C ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种7、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为 （ D ） A4 B C D 6 8、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）A10 B20 C30 D1209、数列满足，则的整数部分是（ ）B A. 0 B. 1 C. 2 D. 310、在平面直角坐标系中，则所表示的区域的面积为（ ）DA6 B C D二填空题：共25分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11、 如图，的两条弦，相交于圆内一点，
3、若，则该圆的半径长为 答案：12、曲线：（为参数）上的点到曲线：（为参数）上的点的最短离为 答案：113、设，且，则的最小值为 答案：1614、计算的结果是 答案：15、已知是函数图像上的点，是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴、轴分别交于点，另一条直线与轴、轴分别交于点。则（1）为坐标原点，三角形的面积为 （2）四边形面积的最小值为 答案：（1）12 （2）4816、已知数列共有9项，其中，且对每个，均有。（1）记，则的最小值为 （2）数列的个数为 答案：（1）6；（2）491解析：令，则对每个符合条件的数列，满足条件：，且反之，由符合上述条件的
4、八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列。记符合条件的数列的个数为，显然，中有个，个，个，且的所有可能取值为。（1）对于三种情况，易知当时，取到最小值；（2）三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17、（本题满分12分） 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：() 求第四小组的频率；() 从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求这两人的成绩在内的人数的分布列及期望.【解】（）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率： .4分()设人数为，x012PEx=
5、 12分18. (本小题满分12分)已知函数的最小正周期为,当 时，函数的最小值为0.()求函数的表达式； ()在中，若的值.【解】 （）2分 依题意函数 所以 4分 （） 19、（本题满分12分） 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且。（）求证：平面； （）若为线段的中点，为中点.求点到平面的距离.19（）证明：底面为正方形， ，又， 平面，. 3分同理， 5分平面 6分PABCDEFyxz（）解：建立如图的空间直角坐标系， 则. 为中点，同理，设为平面的一个法向量，则，又， 令则.得 10分又点到平面的距离. 12分20、（本题满分13分） 容器内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，
6、容器内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将内的盐水倒1升进入内，再将内的盐水倒1升进入内，称为一次操作；这样反复操作次，容器内的盐水的质量分数分别为， （I）问至少操作多少次，两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771） （）求的表达式。解：（1）； 2分； 4分的等比数列，故至少操作7次； 7分（2） 9分 11分而 13分21、（本题满分13分） 设直线与椭圆相交于两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点. （I）证明：； （）若的面积取得最大值时的椭圆方程【解】（1）证明：由 得将代入消去得 3分由直线l与椭圆相交于两个不同的点得整理得，即 5分 （
7、2）解：设由，得而点, 得代入上式，得 8分于是，OAB的面积 -10分其中，上式取等号的条件是即 11分由可得将及这两组值分别代入，均可解出OAB的面积取得最大值的椭圆方程是-13分22、（本题满分13分） 已知函数（I）若时，函数在其定义域上是增函数，求的取值范围；（II）在（I）的结论下，设函数，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对x（0,+）恒成立，2分4分 （II）设当t=1时，ym I n=b+1；6分当t=2时，ym I n=4+2b8分当的最小值为8分 （III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为9分假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则 10分设 11分这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.13分
