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1、抛物线中的定点弦问题2005年第21期数学通讯13抛物线中的定点弦问题阮灵东(余干县蓝天中学,江西335101)中图分类号:G633.65文献标识码:A文章编号:04887395(2oo5)21001301文1对圆锥曲线中的定点弦问题进行探讨,本文再给出与抛物线中的定点弦有关的另二个定理.定理1已知AB为抛物线C:y2=2px(P>0)的一条动弦,0为坐标系原点,.亩=t(t为常数且t+p2>io).(i)当A,B两点位于z轴的两侧时,AB弦过定点(户+/P+t,0).(ii)当A,B两点位于z轴的同侧时,AB弦过定点(户一P+t,0).证设AB:my+z+,z=0,代入抛物线C:
2、Y=2得+2/my+2p,z=0,设A(,1),B(,此).由韦达定理军导YlY2:2却(1)?.?.?.此=,即(Y1Y2)+4p(Y1Y2)一4pt=0.t+p20,.=(4p)+16pt:16p(P+)0,.:二乏主鱼(12Y?lY2=-2p2户历(2)易知当A,B两点在z轴同侧时,Y1Y2>0且LAOBE(0,罟).?.?蕊=>0,yly2=一2户+2户.当A,B两点在z轴两侧时,1y2<0RLAOB(0,r).?.可正可负可零.Y1Y2=一2p一2p/,.由(1),(2)知,一2p2p户+t=2/m,.,z=PP+t(A,B两点在z轴同侧取”+”,两侧时,取”一”.
3、)AB的方程为7+z+(一P/户+t)=0.即当A,B两点在z轴同侧时,AB弦过定点(P一历,0).当A,B两点在z轴两侧时,AB弦过定点(P+/+t,0).推论1已知AB为抛物线C:y2=2pz(jc;>0)的一条动弦,O为原点,若.=0,则:AB弦过定点(2p,0).定理2若抛物线c:=2px(P>0)的一条动弦AB过定点(z0,0),O为坐标原点,则?蕊为定值.证设AB:my+zz0=0.代入抛物线C:y=2px中得.yl+myzo=0即Y+21rmy一2px0=0.设A(,1),B(,2).由韦达定理得:Y-Yz一2px.?.?=+Y1Y2=zo一2o(定值).推论2若抛物线C:y2=2px(P>0)的一条动弦AB过定点(2p,0),则必有:.=0.参考文献:1骆永明.圆锥曲线中定点弦与定向弦的探究数学通讯,2oo5(9).收稿日期:20050610作者简介:阮灵东(1968一),男,江西余干人,江西余干县蓝天中学一级教师.
