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1、【创新设计】2014高考数学一轮复习 第七章 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图训练 理 新人教A版第一节 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求)1.
2、对空间几何体的结构特征的考查，很少单独命题，多与命题真假判断相结合，在考查线面位置关系时，常以几何体为载体2.对三视图的考查一直是高考的考查重点，且有以下特点：(1)多以选择题或填空题的形式考查(2)单独考查三视图问题，如2012年福建T4，湖南T3等(3)与空间几何体的体积、表面积的求法相结合，考查三视图的还原问题，如2012年新课标全国T7，安徽T12，广东T6，天津T10，辽宁T13等3.直观图的画法作为一种图技画法融合于三视图的还原问题中，高考几乎不单独命题.归纳知识整合1空间几何体的结构特征多面体棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一
3、个公共顶点的三角形棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形旋转体圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到探究1.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？提示：不一定如图所示，尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行2中心投影与平行投影平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线相交于一点在平行投影中投影线垂直于投影
4、面的投影称为正投影3三视图与直观图三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是：长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是：画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，已知图形中平行x轴、y轴的线段在直观图中分别画成平行于x轴、y轴的线段已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于xOy平
5、面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变探究2.正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗？提示：由于正视图的方向没确定，因此正视图、侧视图、俯视图不一定相同自测牛刀小试1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A圆柱B圆锥C球体D圆柱，圆锥，球体的组合体解析：选C由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面2(教材习题改编)如图所示的几何体是棱柱的有()ABC D解析：选C根据棱柱结构特征可知是棱柱3(教材习题改编)已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为()A上面为棱台，下面为棱柱B上面为圆台，下面为棱柱C上面为圆台，下面为圆柱
6、D上面为棱台，下面为圆柱解析：选C由三视图可知，此几何体由上面的圆台和下面的圆柱组合而成的4关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是()A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有D正确5一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱圆锥圆柱解析：只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只
7、需要放倒就可以了，所以均符合题目要求答案：空间几何体的结构特征例1下列结论中正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线自主解答A错误如图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥B错误如下图，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥。C错误若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六形但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面
8、边长答案D求解空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断(2)反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的1下列命题中，正确的是()A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥C侧面都是矩形的四棱柱是长方体D底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：选D对于A，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故A错误；对于B，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故B错误；对于C，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而C错误空间几何体的三视图例2(1)(201
9、2湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()(2)(2012厦门质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A三棱锥B四棱锥C四棱台 D三棱台自主解答(1)A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥(如图所示)，且其中一条棱与底面垂直答案(1)D(2)B由三视图还原实物图应明确的两个方面(1)首先要熟悉柱、锥、台、球的三视图，较复杂的几何体也是由这些简单几何体组合而成的(2)要明确三视图的形成原理，并
10、能结合空间想象将三视图还原为实物图2已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中ABAC，四边形BCDE为矩形)，则该组合体的俯视图可以是_(把你认为正确的图的序号都填上)解析：几何体是四棱锥与四棱柱组成时，得正确几何体由四棱锥与圆柱组成时，得正确几何体由圆锥与圆柱组成时，得正确几何体由圆锥与四棱柱组成时，得正确故填.答案：空间几何体的直观图例3如图所示，ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为a的正三角形，求ABC的面积自主解答建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，在y轴上取点C使OC2OC，A、B点即为A、B点，长度不变已知ABAC
11、a，在OAC中，由正弦定理得，所以OCaa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABCaaa2.本例若改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积，”应如何求？解：由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为aa，故其面积SABCaaa2. 平面图形的直观图与原图形面积的两个关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形2S直观图记住上述关系，解题时能起到事半功倍的作用3如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形 D一般的平行四边形解析：选C将直
12、观图还原得OABC，则ODOC2(cm)，OD2OD4(cm)，CDOC2(cm)，CD2 (cm)，OC6 (cm)，OAOA6(cm)OC，故原图形为菱形1种数学思想转化与化归思想利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想1个疑难点三视图的还原问题由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决：3个注意事项画三视图应注意的三个问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的
13、分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同(3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置3个“变”与“不变”斜二测画法的要求“三变”“三不变”易误警示三视图识图中的易误辨析典例(2012陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析侧视图中能够看到线段AD1，应为实线，而看不到B1C，应画为虚线由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.答案B1因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A.2因对三视图的画
14、法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线为虚线3解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球B三棱锥C正方体 D圆柱解析：选D圆柱的三视图，分别是矩形，圆，
15、不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形2(2013西城模拟)有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个()A棱台 B棱锥C棱柱 D都不对解析：选A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台3一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为()A2 B.C2 D4解析：选D直观图为等腰梯形，若上底设为x，高设为y，则S直观图y(x2yx)，而原梯形为直角梯形，其面积S2y(x2yx)24.4一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图
16、为()解析：选C由正视图和侧视图可知，该长方体挖掉一个小长方体后，相应位置在俯视图中应为左下角位置，且可看见轮廓线，故选C.5一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C若俯视图是等边三角形且为图中的位置，则正视图是等腰三角形，且高线是实线，故选C.6一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于8，俯视图是一个面积为4的正三角形，则其侧视图的面积为()A4B8C8 D4解析：选A由三视图知该几何体是正三棱柱，设其底面边长为a，高为h，则其正视图为矩形，矩形的面积S1ah8，俯视图为边长为a的正三角形，三角形的面积S2a24，则a4，h2，而侧视图为矩
17、形，底边为a，高为h，故侧视图的面积为Sah4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命题的序号为_解析：均正确，对，直棱柱的侧面都是矩形而不一定全等，错误答案：8一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由_个这样的小正方体组成解析：依题意可知这个几何体最多可由92213个这样的小正方体组成答案：139正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周
18、长为_解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO，而PA，于是解得PO1，所以PE，故其正视图的周长为22.答案：22三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长解：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为116，设半径分别为r、4r.设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.根据相似三角形的性质得，解得l9.所以，圆台的母线长为9 cm.11已知：图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出
19、其三视图；图是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解：图几何体的三视图为：图所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体12如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图(2)(3)所示(单位：cm)(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的数据，求该多面体的体积解：(1)如图(2)所求多面体的体积VV长方体V正三棱锥4462(cm3)1给出下列命题：在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面
20、，则该四棱柱为直四棱柱其中正确命题的序号是_解析：正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；错误，举反例如图所示，底面ABC为等边三角形，可令ABVBVCBCAC，则VBC为等边三角形，VAB和VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；错误，必须是相邻的两个侧面答案：2(2011江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选D被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，
21、对照各图，只有选项D符合3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为()A1 B.C. D2解析：选C在四棱锥PABCD中，连接AC，由正视图和侧视图可得PCBCCD1，故AC，最长的棱为PA.4(2011北京高考)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6C10 D8解析：选C由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6，8,10，所以面积最大的是10. 备考方向要明了考 什 么怎 么 考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不
22、要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年安徽T12，广东T6，浙江T11等也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年江苏T7，山东T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如2012年湖南T18(2)，湖北T19(2)等.归纳知识整合1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2.空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S
23、表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下) h球S4R2VR3探究1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？提示：2如何求不规则几何体的体积？提示：常用方法：分割法、补体法、转化法通过计算转化得到基本几何体的体积来实现自测牛刀小试1棱长为2的正四面体的表面积是()A.B4C4D16解析：选C正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S4224.2(2012上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为_解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表S侧2S底cl2r22226.答案：63(教材习题改编)一个
24、球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的_倍；体积扩大为原来的_倍解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S14，S243236，即9，所以表面积扩大为原来的9倍由V1，V23312，即27，所以体积扩大为原来的27倍答案：9274(2012辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V143112.答案：125(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是_解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，
25、若设圆锥底面圆半径为r，则得22r，解得r1，又圆锥的母线长为2，所以高为，所以这个圆锥筒的容积为12.答案：几何体的表面积例1(2012北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286B306C5612 D6012自主解答该三棱锥的直观图如图所示据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且ABC90，据正视图知，AD2，BD3，PD4，据侧视图知，BC4.综上所述，BC平面PAB，PB5，PC，AC，PA2.PCAC，PAC的边AP上的高为h 6.SPABABPD10，SABCABBC10，SPBCPBBC10，SAPCAPh6.故三棱锥的表面积为SPABSABCSPB
26、CSAPC306.答案B由三视图求几何体表面积的方法步骤1(2013马鞍山模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为()A4B.C5 D.解析：选D由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故表面积为412312.几何体的体积例2(1)(2012湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B3C.D6(2)(2012安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_自主解答(1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱其体积V1221223.(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4
27、，即梯形的高为4)，高为4.该几何体的体积为V4456.答案(1)B(2)56由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解2(2012新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9 C12 D18解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为6339.3某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A8 B8C82 D.解析：选A圆锥的底面半径为1，高为2
28、，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V231228.与球有关的切、接问题例3(2012新课标全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.B.C.D.自主解答ABC的外接圆的半径r，点O到平面ABC的距离d.SC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2d，故棱锥的体积为VSABC2d.答案A与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)
29、，达到空间问题平面化的目的4已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A12B36C72D108解析：选B依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于43236.3个步骤求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤3种方法求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几
30、何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体1种数学思想求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 创新交汇空间几何体中体积的最值问题1求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查2求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值典例(2012湖北高考(节选)
31、如图1，ACB45，BC3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图2所示)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？解如图1所示的ABC中，设BDx(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADDC，且BDDCD，所以AD平面BDC，BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)法一：VABCD(x36x29x)令f(x)(x36x29x)由f(x)(x1)(x3)0，且0x0；当x(1,3)时，
32、f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最大值，即BD1时，三棱锥ABCD的体积最大法二：VABCD2x(3x)(3x)3，当且仅当2x3x，即x1时，取“”故当BD1时，三棱锥ABCD的体积最大解答此题的关键是恰当引入变量x，即令BDx，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()解析：选B显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汏选项A、C；P点移动时，取AA1的中点E，CC1的中点
33、Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N两点在菱形D1EBQ的边界上运动，故x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D，选B.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7B6C5D3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.2(2013长春模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为()A. B2 C3 D4解析：选A依题意知，该几何体是一个底面半径为、高为1的圆柱，则其
34、全面积为2221.3(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A72 B48 C30 D24解析：选C此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V333230.4(2013广州模拟)设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于()A. B. C. D.解析：选D设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2a2，即aR，则.5一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D80解析：选C由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，两底面积和
35、为2(24)424，四个侧面的面积为4(422)248，几何体的表面积为488.6已知正方形ABCD的边长为2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BNCM.设BNx，则三棱锥NAMC的体积yf(x)的函数图象大致是()解析：选B由平面ABC平面ACD，且O为AC的中点可知，BO平面ACD，易知BO2，故三棱锥NAMC的高为ON2x，SAMCMCADx，故三棱锥NAMC的体积为yf(x)(2x)x(x22x)(0x2)，函数f(x)的图象为开口向下的抛物线的一部分二、填空题(本大
36、题共3小题，每小题5分，共15分)7(2012安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S(4255)42(25)492.答案：928(2012江苏高考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.解析：由题意，四边形ABCD为正方形，连接AC，交BD于O，则ACBD.由面面垂直的性质定理，可证AO平面BB1D1D.四棱锥底面BB1D1D的面积为326，从而VABB1D1DOAS长方形BB1D1D6.答案：69一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球
37、的表面积为_解析：该棱锥的直观图如图，取CD的中点E，BD的中点F，由三视图知，AE平面BCD，AF5，AE4，CBD90.设O为该棱锥外接球的球心，半径为R，由题知BO2BE2EO2，即R2(3)2(R4)2，解得R，故球的表面积为S42.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10(2013杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥4222.11(2013郑州模拟
38、)一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S2(11112)62.12如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B、C在线段AD上，且AB3，BC4，作BB1AA1分别交A1D1、AD1于点B1、P，作CC1
39、AA1分别交A1D1、AD1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABCA1B1C1.(1)求证：AB平面BCC1B1；(2)求多面体A1B1C1APQ的体积解：(1)由题知，在图2中，AB3，BC4，CA5，AB2BC2CA2，ABBC.又ABBB1，BCBB1B，AB平面BCC1B1.(2)由题易知三棱柱ABCA1B1C1的体积为341272.在图1中，ABP和ACQ都是等腰直角三角形，ABBP3，ACCQ7，VACQPBS四边形CQPBAB(37)4320.多面体A1B1C1APQ的体积VVABCA1B1C1VACQPB722052.
40、1如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是()A24B12C8D4解析：选B依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因此其体积等于23423412.2某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A32 B1616C48 D1632解析：选B该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为2，故其表面积是444421616.3如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V11.答案：4如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.
