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1、初探反函数引言对于函数的性质，如连续性、可导性，能否展开成幂级数进而进行近似计算等性质，人们研究得非常细致和广泛，如果我们能将反函数的有关性质像函数一样研究清楚，就可以直接处理一些有关的计算。本文主要介绍了反函数的两个基本性质和它们的几何意义，即反函数的可导性、可积性，以及它们在数学分析上的计算和应用，最后列举了反函数在实际生活中的一个应用。分析反函数的性质对我们进一步了解反函数有很大的帮助。1 反函数的基本概念如果对于函数y=f(x)的每一个确定的值y,自变量x都有唯一确定的值x和y对应，那么，就可以得到一个以y为自变量，以对应的x值为函数的函数，记为x=f (y)，这个函数叫做原来函数y=
2、f(x)的反函数，习惯上记为y= f (x)，反函数的定义域和值域分别为原来函数的值域和定义域.也可以利用集合和映射的来叙述反函数定义：如果映射f : xy=f(x)是由集合A到集合B的一一映射，那么，它的逆映射f:yx= f (y)所确定的函数x= f (y)叫做函数y=f(x)的反函数，习惯上记为y= f (x).反函数的定义域和值域分别是原来函数的值域和定义域，即集合B、A.如果将函数表达式看成曲线方程，则原函数与反函数的图象关于直线y=x对称的.2 反函数的微分可导性2.1反函数求导解析2.1.1 反函数求导定理及解析定理：若函数y=f(x)在点x的邻域连续；且严格单调，f(x)在点x
3、处可导，f (x)0,则函数y=f(x)的反函数x=(y)在点y也可导，并且有公式 (y)= (1 ) 即x （2）或者变化为f (x)= （3） y （4）分析：以公式（1）为主，我们对其进行讨论。 a）从自变量来看，公式（1）的左边是以y为自变量，x为因变量，x是y的函数。右边是以x为自变量，y为因变量，y是x的函数。事实上，引入变量无非就是规定了运算的始点和终点。这时，读者要扭转自变量只能是x，而y必是因变量的习惯定势思维。b) 从函数关系来看，公式（1）的左边是原函数y=f(x)的反函数关系f (x)，即x=(y),是函数关系的逆运算。（y）其实质是对运算关系中“”求导。右边很自然是对
4、原函数的原酸关系“f”求导。如果想在右边出现y，则求导后，利用原函数关系，或反函数关系转化，对应起来即可。c) 利用公式（3）可将对原函数的求导问题转化为对其反函数的求导，从而易于运算，利用已有的导数结论，方便解决新问题。2.1.2 反函数导数的几何解释 设函数y=f(x)的反函数存在，且f，则其反函数x= f（y）的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线，如图 关于函数y=f(x)在点x处的导数f (x)，其几何意义是曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线l关于x轴的斜率，从而有f=tan,其中是切线l与x轴正向的夹角，同时记切线与y轴正向夹角为.关于函数x=f,在相应点
5、y处的导数为，其几何意义是曲线x= f在点(x,y)处的切线l，关于y轴正向的斜率，从而有=tan。由图可得tan=tan(即。对于其它的情形，也可以得同样的结果。2.1.3反函数求导例题例：求反正弦函数y=arcsin x 的导数解法1：欲求该函数的导数，可考虑使用公式（3）或（4）x0于是有：（arcsin x）=解法2：记I=arcsin(x+，由于 故sinII(所以= = =2.2 反函数可导的一个充分条件的探讨在有关微积分的教材中，关于求反函数的导数首先要限定它的直接函数某一区间内是（严格）单调的，即有结论：如果函数x=在某一区间I内（严格）单调、可导，且，则它的反函数y=f(x)
6、在对应区间I内也可导且.事实上，函数x=（严格）单调这一假设是分别隐含在函数可导且这2个条件之中，即假设函数x=(y)(严格)单调是多余的.2.2.1与函数单调性有关的2个定理定理1 设函数f(x)在某区间I上连续，则f(x)存在反函数的充分必要件是f(x)在区间I上（严格）单调.定理2 设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导且，则函数f(x)在a,b上（严格）单调.证明：显然f(a).这是因为如果f(a)=f(b)，有以知条件f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则由罗尔定理可知至少存在一点，使得f.这与以知矛盾.设f(a)f(b),待证函数f(x)在a,b上（严格）单调增加
7、.假设f(x)在a,b上非（严格）单调增加，即存在当时，有f( (f(x)=f(x)是不可能的，原因同上).（1） 若f(a)，由f(x) f(x),由f(x)f(b),又由f(x)f(b)时，可证得f(x)在a,b上（严格）单调减少.故函数f(x)在a,b上(严格)单调.2.2.2 反函数的导数 根据以上定理可以将反函数的导数叙述为以下2个定理. 定理3 设函数y=f(x)为函数x=的反函数，若在点y的某邻域内连续且，则函数f(x)在点x ()处可导且.证明：因为函数x=在点y的某一邻域内连续，且具有反函数y=f(x)，则由定理1可知函数x=在点y的这一邻域内（严格）单调.设，则由的连续性可
8、知，反函数的相应的点x的邻域内也连续，即当时，有，故.即反函数y=f(x)可导且.定理4 设函数x=在a,b上连续在(a,b)内可导且，则函数x=存在反函数y=f(x)，且在对应的区间c,d上连续，在(c,d)内可导，并且.证明：因为函数x=在a,b上连续，在(a,b)内可导且，由定理2可知，函数x=在a,b(严格)单调，又由反函数存在定理可知，在相应的区间c,d上必存在x=的反函数y=f(x)，且在c,d上连续.证明类似于定理3。反函数y=f(x)在(c,d)内可导且.例如：函数x=siny在-,上连续,在（-，）内可导且（siny）=cosy.由定理4可知，在-1，1上x=siny存在反函
9、数y=arcsinx且满足在-1，1上连续，在（-1，1）内可导，并且（arcsinx）=2.3 反函数微分性质的逆命题2.3.1 反函数微分性质告诉我们：若dy/dx的可微分函数y=f(x)(axb)具有单值连续的反函数x=,则此反函数也可微分，且有dx=d= (1)由此把反函数的微分公式逆推，我们可以得到如下的逆命题：定理1 设F（x）是f(x)的一个反函数，所以f(x)的无穷多个远函数就是不定积分且有 （2）证明：因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以f(x)的无穷多个原函数就是不定积分且有其中c为任意成熟.若令c=0，则可得f（x）的一个原函数F（x），不妨设为y=F(x),于是有.
10、而y= F(x)的反函数应为x=F由反函数微分公式（1）可得 dx=dF= (3)在式（3）两边都除以f(x),即得 两边积分得所以命题得证，定理1成立.定理1告诉我们：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的倒函数1/f(x)的不定积分等于f(x)原函数反函数F的导函数两次方的不定积分.例如，计算.若设1/f(x)=，则其倒函数的不定积分为当令c=0，y=F（x）=2arcsin就是f(x)的一个原函数，其反函数为x=sin由于F的导函数为所以代入公式（2）可得即有 = =显然，当1/f（x）的不定积分易于f（x）的不定积分计算时，常常可以考虑采用定理1的公式（2）来计算不定积分.
11、由于直接函数y=F（x）与本意函数x =F是互为反函数（例如函数y=x，我们可以说：x =是y=x的反函数，也可以说y= x是x=的反函数），所以，若将定理1的结论反过来运用，即有推论 （4）由推论表明，某个函数的两次方的不定积分等于该函数反函数导函数的倒函数的不定积分.2.3.2逆命题的推广定理2 设F（x）是f（x）的一个原函数，并且F（x）具有连续可微的单值反函数x=F，则有 （n为整数）（5）证明：因为F（x）是f（x）的一个原函数，所以若令c=0，设y=F（x），则有x=F （6）由反函数微分公（1）可得于是有 ，即f（x）=所以f(x)在式（6）两边同乘以f（x），可得f(x)dx
12、=f(x) = = 两边积分得所以命题得证，定理2成立.定理2告诉我们，某个函数n次方的不定积分等于该函数反函数的导函数的（n-1）次方倒函数的不定积分.显然，当n= -1和n=2时的两种情况，就是上述的公式（2）和（4）.例如，计算 在该例中若设f(x)=secx,则当公式（5）中的n=4时，就有f(x)=(sec)= sec而 y=若令c=0，可取f（x）的一个原函数为y=F(x)=tgx则其反函数为 x=F所以 dx=dF由公式（5）有 = = =y+y =tgx +tg对于一些高次方的三角函数的不定积分，利用公式（5）可将其转化为多项式的积分，给原积分的计算带来方便.再如，计算为常数.
13、若设f(x)=tgx,因为当令c=0时，可得f(x)=tgx的一个原函数y=F(x)= -lncosx其反函数为x=F因为dx=dF =所以反函数导函数的（n-1）次方为又以知n为奇数，因此，比方设n=2k+1，于是由公式（5）得=+（-1）+（-1）=+（-1）+（-1） =+（-1）= +（-1）=+ （1）这样我们通过求tgx的一个原函数（lncosx）的反函数导数的（n-1）次方的倒函数的不定积分，最后求得tgx的n次方的不定积分.3 反函数的积分法和它的几何意义3.1 定理1 若函数y=f(x)在a,b上连续且严格单调，并用x=表示y=f(x)的反函数，则以下积分公式成立： =xy因
14、为y=f(x)在a，b上连续，并严格单调，所以由连续函数的性质可推知：当x时，y=f(x)的反函数x=必存在，并且它也是连续的、严格单调的.由于连续函数是可积的，所以由分部积分公式可得：xf(x)显然有：y在定理的条件下，设f(a)=c,f(b)=e则 =y利用定理的结论，并把通常换元法计算定积分的公式用到定理的三个公式中，得 =xy反函数积分法有十分明确的集合意义，弄清这一点对我们理解反函数积分法很有帮助。这里只对第一象限的单调函数作出说明，对于其他象限的情况很容易用类似的方法得到同样的结论。图1里的曲线表示a，b上的严格单调增加并连续的函数，过曲线上的点M（a,c）和N（b,e）分别作两坐
15、标的平行线，把矩形分成互不重叠的三块，其面积分别记为：、，则由定积分的几何意义可知=，=，两式相加得：+=+=（+）-=be-ac=xy=xf(x)=y即：这时函数积分与其反函数在相应区间上的积分之和等于两个矩形面积的差。+= be-ac=（+）-图2上的曲线表示第一象限内，a,b上的某一单调减少的函数，过曲线上的点M(a,c)和N(b,e)作两坐标轴的平行线，把曲五边行分成互不重叠的四块，其面积分别记为、，则：=+，由于= -（+）= -（+）所以+=（+）-（+）=- =（+）-（+）= be-ac=xy=xf(x)=y这与分析图1所得的结论完全一样，因此，就第一象限某区间上的严格单调连续
16、函数来说，函数积分与其反函数在相应区间上的积分之和等于两个矩形面积的差：+= be-ac3.2 定理2若y=f(x)的反函数x=存在且可积，则有 =xf(x)-定理3 若y=f(x)的反函数x=存在且可积，则有 =定理4 若y=f(x)的反函数x=存在且可积，则有 =xf(x)3.3 应用例 应用公式求：解：令y=,则x=,因为y,所以而在0，+上，被积函数是严格单调并连续的，所以由反函数积分公式得： =xy-=4 反函数多项式展开法求解高次超越方程对于各种高次方程或超越方程f(x)=0 (1)例如形同 7lnx+3x-2=0 (2)x+5x+10cos( (3)的求解计算，牛顿拉夫森法是最常
17、用的处理方法之一。该方法用线性函数：f()+f()(x-)在局部代替f(x)，以求得（1）的根的近似值x: x=x-,然后用f(x)+f( x)(x - x)代替f(x),求得的第二个近似值x。在一定的条件下，通过迭代计算式x=x- (4) 进行一次又一次的迭代计算. x可无限逼近（1）的根. 式（4）的几何意义就是用y=f(x)在（x，y）处的切线代替y=f(x)的曲线，求出根的近似值x.定理 设f(x)是定义在区间X内的函数，n是正整数，f(x)在区间X内存在，xX,则对于任意的xX，有f(x)=f (x)+(x - x)+(x - x)+(x - x)+r(x) (5)（5）式中r(x)
18、= (x - x) (6)其中C为x、x的介值：C= x+(x - x) （01） (7)(5)即泰勒展式，r(x)拉格郎日余项例 解方程7lnx+3x-2=0解：令f(x)= 7lnx+3x-2,则f= ,f ,f画草图观察知y=f（x）的曲线与x轴在x=1附近有一个唯一的焦点，可见方程仅有一个实解，取x=1有：f(1)=1, f(1)=22, f(1)=53, f代入（5）计算有=1- =0.95192222此值与的真值0.95192124的误差小于105 反函数在实际生活中的一个应用滑坡是一种严重的自然灾害，他常常摧毁建筑，堵塞交通，造成人员伤亡。据最新估算资料：我国每年因边坡失稳造成的
19、损失达3050亿元；日本因滑坡造成的年损失高达40亿美元；美国、意大利、印度等国也打1020亿美元。如果能够准确预报滑坡的发生时间，则可尽早采取减灾或防灾措施，以便将这类灾害造成的损失减少到最低限度。因此，开展滑坡时间预报的研究，具有非常重大的显示意义。滑坡时间预报是一项世界性的难题。国内外学者在这方面尽管进行了很多有益的探索和尝试，建立了一系列的定量预报模型，但迄今为止，能准确预报的实例还十分少见。有学者试图在边坡变形破坏机制分析的基础上，利用费尔哈斯反函数模型来拟合和描述边坡变形特征，并应用具体实例对预报模型进行检验和验证5.1 建模思想费尔哈斯模型是德国生物学家费尔哈斯（Verhulst
20、）1873年提出的一种生物增长模型。他认为生物的繁殖、生长、成熟、消亡过程，可以用该模型描述预测。晏同珍教授考虑到滑坡的演变也有一个变形、发展、成熟和破坏的过程，将这一引进滑坡时间预报研究中，取得了初步成功。然而这种预报方法仅仅是建立在滑坡与生物在生长、消亡和演化过程方面具有相似性的基础之上，起预报判据也仅仅是由“相似性”这一语言模型递推出的，因此，其建模过程缺乏理论和量化依据；加之建模中未对误差进行定量检验，导致有的预报结果误差较大，实质上，费尔哈斯模型描述的量化信息与边坡变形破坏的量化信息是不一致的。我们知道，费尔哈斯模型的量化特征曲线为“”型，而边坡变形破坏的典型位移量化曲线为反“”型，
21、二者互为反函数。因此从量化信息的角度考虑，用费尔哈斯模型的反函数来描述和拟合边坡变形特征比用费尔哈斯模型本身更有合理性，建模依更充分。同时，在建模过程中借鉴灰色系统理论对数据的生成处理方法，进一步提取位移时序的有效信息，减小随机波动的影响。 5.2预报模型设有等间隔位移监测数据序列X（t），X（t）= X X（2），X（n） 对X（t）作一次累加生成变换（1AGO）得：X= X（1），X（2），X（n） 将X拟合成Verhulst一阶白化非线性微分方程： （1）这一微分方程的解为： （2）求式（2）的反函数，并进行变量互换得： （3）这就是我们所建立的滑坡时间预报Verhulst反函数模型。其
22、中t为时间序数；a，b为待定系数。由式（3）可知，当X时，则：ln 也即at由式（3）可见，初始时间序列t，一般t1，那么t由此可见，边坡变形量趋于无穷大时，时间t趋于一定值（a/b）。从理论上讲，边坡变形量趋于无穷大时，即意味着滑坡发生。因此，可将T=a/b作为滑坡预报时间。根据最小二乘法原理，a，b由下式求得：a= b= （4）d（k）=1/（x） （5）在式（4）和（5）中，k与式（3）中的t的意义相同，即为时间序数。因为初始时间序数t和建模有关，所以它不能象其他预报方法那样取为1。它的具体取值采用计算机循环检索的办法求出，以使得系数输出的平均误差E满足一定的精度要求。即：E= （6）其
23、中m为某一精度要求.求出t后，则从建模数据起点至滑坡发生的预报时间应为：T=a/b- t （7）5.3 应用实例5.3.1顺层边破模型实验的检验预报为了研究顺层边坡变形破坏的机制和时效变形特征，再现其变形破坏的全过程，为边坡失稳的预报和防治积累基础资料，我们以三峡库区的顺层边坡为地质原型，采用重晶石、氧化锌和石蜡油组成的混合材料，开展了长达4年之久的顺层边坡变形破坏地质力学模型试验。 试验从1986年6月6日开始，至1990年3月26日至28日模型坡脚附近隆起部位表面第一层剪断破坏，同年7月8日模型整体失稳破坏。模型变形破坏过程清楚地表明，前缘受阻的顺层边坡变形机制为滑移一弯曲型。具有这类变形
24、机制的顺层边坡的稳定性受隆起部位变形特征的控制：隆起部位变形家具，破裂增多，架空明显，稳定性就降低；隆起部位溃决，整个模型就失稳。 由于隆起部位的变形特征是这类顺层边坡稳定状态的直接反映，因此根据位于隆起部位的C测点的观测资料，利用模型破坏前1989年8月21日至1990年3月21日每隔15天一次的隆起位移监测数据，对模型整体失稳日期进行检验预报。原始数据和预报计算结果如表1所示。预报模型为： 预报输出结果表明，模型整体破坏日期为1990年6月29日，比实际破坏时间1990年7月8日提前10天。序号观测日期（年月日）观测数据（mm）滤波次数（mm） 预报数据（mm）相对误差11989.8.21
25、 5.295.290 5.290.00029.65.335.3305.8700.09239.215.375.3705.4640.018410.65.415.4105.3050.019510.215.455.4505.1990.046611.6 5.495.4955.1420.064711.21 5.555.5405.1290.074812.6 5.575.5705.1610.073912.21 5.595.5935.2390.063101990.1.6 5.625.6205.3660.045111.21 5.655.6505.5510.018122.6 5.685.6806.8050.1671
26、32.21 5.715.7086.1460.077143.6 5.736.1506.6020.073153.21 7.437.4307.2170.02916 8.067179.2871811.1505.4结论5.4.1滑坡时间预报不是一个纯方法问题，要实现较高精度的预报，必须使量化预报，建立在正确的滑坡变形破坏机制根系的基础之上。5.4.2由上述实例分析可以看出，费尔哈斯反函数模型预报法，由于建模思路正确，预报判据理论依据充分，且在预报模型检验中对误差进行能够了定量判别，因此，这种方法的预报精度较高，一般误差在015天之内。5.4.3检验预报证明，费尔哈斯反函数模型预报法。只有在获得了边坡加速
27、变形阶段数据的情况下，预报精度才较高。因此，这种方法只是一种短临预报法.结束语 本文丰富了反函数的知识和内涵，起到一个桥梁的作用，把中学知识与高等知识连接起来。但它又不单起连接作用，更重要的是通过对它性质的认识和运用，更好的掌握反函数并运用到实际中去。每一门学科都有它的作用，数学也不例外。只有活以致用，才能让死的知识点灵活起来。因此要了解反函数在实际生活中的应用，要靠我们的脑袋去思考。参考文献1周盘兴反函数微分性质的逆命题上海电力学院学报 1997.9第13卷3期2张存生利用反函数求不定积分汉中师范学院学报 1995年第2期3张子方 反函数的原函数公式及其应用工科数学 1995.54翁耀明一类
28、反函数的简捷积分法大学数学 2003.4第19卷2期5王兴华 韩丹夫关于反函数数学学报 1998.3第41卷2期6沙萍反函数可导的一个充分条件的探讨沈阳化工学院学报 2000.6第14卷2期7王君关于反函数积分的一个结论山西煤炭管理干部学院学报 2003年第3期8刘孝书反函数的导数定理的一个注记兵团教育学院学报 2004第3期9宋存武 胡洪池反函数求导解析河北能源职业技术学院学报 2002.6第2期10季桂林关于反函数的一种积分法及其应用德州学院学报 2002.6第18卷2期11李天斌 陈明东滑坡时间预报的费尔哈斯反函数模型法德州学院学报 1996第7卷3期12王小明用反函数多项式展开法求解高次超越方程温州职业技术学院 2002第2卷4期
