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1、数学分析中不等式证明方法目 录摘 要3英文摘要4第1章 不等式的定义及研究背景51.1不等式的定义51.2不等式的研究背景5第2章 数学分析中不等式的证明方法与举例62.1构造变上限积分函数62.2利用拉格朗日中值定理进行证明72.3利用微分中值定理证明积分不等式82.4积分中值定理解不等式92.5利用泰勒公式证明不等式102.6用函数的极值进行证明12 2.7用函数凹凸性进行不等式的证明132.8利用函数单调性解不等式132.9利用条件极值求解不等式142.10利用两边夹法则证明不等式15第3章 不等式证明方法的归纳总结17第4章 论文的结论与展望18 致 谢21参考文献22数学分析中不等式
2、的解法研究摘要：不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的且非常重要的工具，同时也是数学分析中主要研究的问题之一，可以说不等式的研究对数学分析发展起着巨大推动作用。本文章首先介绍了不等式的研究背景，然后主要研究如何求解数学分析中的不等式问题以及探讨总结不等式的不同证明方法，并对不等式的证明方法进行归类，通过“一题多解”如柯西不等式的求解过程, “一法多用”如泰勒公式与牛莱公式的综合运用等例题。巧妙解决不等式的求解问题并最后归纳了不等式的多种解题技巧，为以后不等式的学习做了较为详细的归纳总结，希望能对后来读者的学习起到一定的帮助作用也是本人学习的一些心得。关键词：数学分析；柯西不等式；泰勒公
3、式；牛莱公式Mathematical analysis of the solution of inequality researchAbstract : Inequality is often used and a very important tool in the calculation and prove of mathematical analysis,and at the same time is also a main research problem of mathematical analysis.So it can be said that the study of ineq
4、uality plays a great role in promoting the development of mathematical analysis. This article first introduces the background of inequality study,then mainly studies how to solve the problem of inequality in mathematical analysis,summarizes the different methods to prove inequality,and classifies th
5、e proof of the inequality methods through the multi-solutions to one problem such as Cauchy inequality solving process,a method of multi use such as the comprehensive application the Taylor formula and the Newtonian-Leibniz formula and so on. This article skillfully solves the inequality problem and
6、 finally summarizes the various techniques for solving inequality, and does a more detailed summary for the subsequent inequality learning.And it is some my learning experiences and I hope it can play a certain help for the readers study. Key words: mathematical analysis; Cauchy inequality; Taylor e
7、quation; Newtonian - Leibniz formula第1章 不等式的定义及研究背景1.1不等式的定义定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。1.2不等式的研究背景 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,:Chebycheff 在 1882
8、年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及
9、其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。 20世纪70年代以来, 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议,并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一。 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献 ,最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论
10、及其应用的领域 , 他们在相关方面做出了独特的贡献 , 引起国内外同行的注意和重视。20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平。祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在中国科学上的论文论一个不等式及其若干应用，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为一个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克(HK)不等式。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有
11、较丰富的成果。如常用不等式（匡继昌）。矩阵论中不等式（王松桂、贾忠贞）。另外 , 国内还有一个不等式研究小组, 主办不等式研究通讯的内部交流刊物。第2章 数学分析中不等式的证明方法与举例2.1构造变上限积分函数变限积分的定义 设在上可积，对于任给,在 和 上均可积，分别称和为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分。若在上连续，则其变限积分作为关于x的函数，在上处处可导，且更一般的有例1.柯西不等式及柯西不等式的证明 证明:柯西不等式为：。设:显然在上连续，在内可导，且 所以在上单调减少，则，即 得到结论。例2.设f(x)在a,b上连续,且单调递增,试证：，证明：显然 F(a)=0 对任意的
12、 t 有 因为f(x)单调递增,则F(t)0 ,则F(t)单调递增,所以F(b)F(a)=0(ba).因此例3设为上的非负单调非增连续函数（即当时，）分析：可化为 将换成，于是辅助函数 令 (因为单调递减)所以单增，又因为所以 。即故。2.2 利用拉格朗日中值定理进行证明拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足:(1)在闭区间 a, b 上连续;(2)在开区间(a,b)内可导.则至少存在一点(a,b),使得 即f(b)-f(a)=f()(b-a)，(ab0,n1)证明:构造函数f(x)=x,在区间b,a上满足拉格朗中值定理,且f(x)=，所以有，即=n(a-b),(b b 0,n1,则有 nbnn
13、a.故nb(a-b) n（a-b）= a-b = n(a-b) 0时,试证不等式ln(1+x)x.证明:构造函数f(x)=ln(1+x),则在区间0,x上满足拉格朗中值定理,且f(x)=,故有ln(1+ x)-ln1 = f()(x-0)(0,x) ,即 又(0,x)则x ln (1 + x) =x x即 ln (1 + x) 0,则为极小值点,记()=c,则f(x)- g(x)()= c;若F(x)1，则对0，l上的任意x有证明: 取函数,则有 令=0，得，于是有x=1-x即x=由于f(x)在闭区间0,1上连续，因而f(x)在0,1上取得最大值和最小值，又f(x)在0,1上可导，且有唯一的驻
14、点，并且f(0)=f(1)=1 所以f(x)在0,1上的最小值是，最大值是1从而对0，1上的任意x有即2.7用函数凹凸性进行不等式的证明定义：凹函数：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点和,和任意(0,1)，都有则称f(x)是I上的凹函数。凸函数：设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点和,和任意(0,1)，都有则称f(x)是I上的凸函数。 若不等号严格成立，则称f(x)在I上是严格凹(凸)函数。定理(曲线弧凹向的判定法) 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导.1)若在(a,b)内f(x)0,则曲线弧在a,b内为上凸的;2)若在(a,b)内f(x)0,则
15、曲线弧在a,b内为下凹的.例1: 证明:(x+y)ln0,y0,x y).证明: 构造函数f(x)=xlnx,其定义域为 x 0.这时,f(x) =0,即有f(x)在区间(0,+)内是上凹的.所以,x0,y0,xy时,有f即故(x+y)ln0,y0,x y). 2.8利用函数单调性解不等式定理:设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则有1) 如果在(a,b)内f(x) 0,那么,函数f (x)在a,b上单调增加.2) 如果在(a,b)内f(x) 2x.证明：构造函数f(x)= sinx + tanx - 2x,则有f(x)= cosx + secx-2=cosx + tanx -
16、1,f(x)=-sinx + 2 tanxsecx = sinx 0 ,所以f(x)在区间内是增函数,所以f(x)f(0)=0.故f(x)在区间内也是增函数,从而有f(x) f(0)= 0.2.9利用条件极值求解不等式例1.证明n个正数的几何平均值不超过算术平均 值即设是n个正数。证明分析 记则不等式等价于 于是只需证明在下，函数的最大 值是即可。证明 记，作辅助函数 令解得或代入方程组解得 （）按实际问题乘积有上界，所以必有最大值存在，因此所求的点必定是最大值点，此时最大值是，于是对任意n个正数有即2.10利用两边夹法则证明不等式两边夹法则：设、为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列，的极限
17、均为：a 若存在N，使得当nN时，都有,则数列收敛，且极限为a。例1.证明1.2. 证明：取k=1、2、3设 则有成立， （1）。 因为， （1）式等价于 所以有：成立。2.利用两边夹法则，因为，所以取极限有成立。待添加的隐藏文字内容1第3章 不等式证明方法的归纳总结证明不等式的方法很多,但我们在解决问题时, 如何选择正确的方法, 无疑是至关重要的. 这不仅要求我们要熟悉各种方法的应用条件和适用范围,同时还要求我们要学会综合应用。1.构造变上限积分函数：构造变上限积分函数进行证明，对于含有定积分的不等式,可把常数变为变数构造辅助函数,通过构造新的函数利用变上限积分及函数的单调性解决此类不等式。
18、2.利用拉格朗日中值定理:拉格朗日中值定理不仅可以解决代数不等式的证明,同样亦能拓展到证明形如m(x-a)f(x)-f(a)M(x-a) 函数表达式.3.积分中值定理求解不等式：寻找一个满足条件且存在的值，4.利用泰勒公式、微分中值定理证明不等式：可利用放缩法求解；泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系，由已知条件,围绕证明目标,选取恰当的点,取恰当位数进行泰勒展开，将函数在这些点展成泰勒展开式。如下例：设在上二阶可导，且，求证：取证明：令，则 ， 所以，。特别的有。即。利用泰勒公式证明不等式时，需要对原函数选取适当的近似位数进行放缩，构造泰勒级数，从而比较函数大小。5.用函数凹凸性进行不等式的
19、证明：凹向性的几何意义是很明显的:对于I内的任意两点, ,如果f(x)在区间I内是上凹的,一定有f。根据此不等式可以利用函数的凹凸性，求解当比较函数中间值与两边值平均数大小的不等式类型。6.利用函数单调性：利用函数单调性解不等式一般对所求两式做差、求导、求稳定点等一系列步骤之后，看导数所在的单调区间，经分析后判断原两式的大小，此法一般方便易行，但有时对于求导讨论取值范围较繁琐的式子不易采用。7.利用条件极值求解不等式：用函数的极值进行证明利用函数的极值和最值若函数f在区间l取得最小值m和最大值M，则对任意xI，都有mf(x)M8. 利用两边夹法则证明不等式：两边夹法则适用于对所求式子极限不好求
20、解时所用，寻找合适的两个数列且两数列极限相同，在有限项比较中所求数列各项正好落在相应的两数列的各对应项之间。则所求数列的极限就与两数列的极限相同。 总之，不等式的求解问题是灵活多变的，在每个不同类型的不等式求解问题中要活学活用、综合运用各类方法。泰勒公式、中值定理等公式极为重要，在今后的学习工作中要多多总结，灵活掌握各个章节的联系与区别。做到知其然，知其所以然！第4章 论文的结论与展望4.1 论文的结论：4.1. 1本文主要通过介绍几种求解积分不等式的方法的过程，完成了一下工作： 本文回顾了不等式理论发展的历史并介绍了中外数学家在不等式理论发展中进行的研究和贡献；列举了几种求解数学分析中不等式
21、方法；归纳总结了数学分析中的各类不等式求解的方法技巧。4.1.2总结：不等式在数学研究、计算和证明中经常用到的且非常重要的工具，同时也是数学中主要研究的问题之一，可以说不等式的研究对数学的发展起着巨大推动作用。在以后的科学研究及读者们的学习中掌握好不等式的问题无疑使至关重要的。4.2论文的展望 在本次论文写作当中前后历时数月之久，我通过网上查阅资料及图书馆翻阅文献等工作，初步总结了数学分析中不等式的几种简单而常见的求解方法。此外在此次的论文写作中我还在网上查阅到了高等代数、泛函分析、实变函数、几何等高等数学学科中对不等式研究的求解问题，以及各学科之间相互求解不等式的问题，不等式在各大学科研究中
22、殊途同归、博大精深。但限于本文作者自身学术水平和对不等式的精髓内涵掌握不足，以及时间、精力等问题。最终没能把不等式的研究推向一个新的、更高的研究层次。本人在日后的学习工作中要继续留心和关注不等式的研究问题，争取在下一个研究课题中将不等式的研究做的更充分和完美。河北北方学院本学位论文在导师的指导下，有本人独立完成本学位论文研究所获得研究成果，其知识产权归河北北方学院所有。河北北方学院有权对本学位论文进行交流。公开和使用。饭发表于学位论文主要内容相关的论文，第一署名单位为河北北方学院，实验材料，原始数据，申报的专利等知识产权均归河北北方学院所否则承担相应的法律责任。 参考文献1 徐利治, 王兴华. 数学分析的方法及例题选讲【M】. 北京：高等教育出版社, 1984: 122. 2刘玉琏, 等. 数学分析讲义（下册） 高等教育出版社，2003：376. 3 葛云飞. 高等教学教程【M】.北京：北京交通大学出版社， 2006. 4 扈志明， 韩云端. 高等级分教程【M】.北京：清华大学出版社，1988. 5 同济大学应用数学系. 高等数学【M】. 北京高等教育出版社，2003:207-2086 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）【M】.北京：高等教育出版社，2003 . 7 钱吉林等主编. 数学分析题解精粹【M】 武汉：崇文书局，2003 .
