《点列、递归数列和数学归纳法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《点列、递归数列和数学归纳法.doc（47页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、点列、递归数列和数学归纳法【考题回放】1已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. -22在数列中，且，则 35 3在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_2 n+1-3_.4对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是2n+1-2 . 5已知n次式项式.若在一种算法中，计算的值需要k1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk
2、+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，n1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要 2n 次运算. 6已知函数f (x)=，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时， () x（）.【解答】(I)证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.（II）因为函数，当时单调递增，而，所以，即 因此又因为 令 则因为 所以因此 故【考点透视】本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近
3、几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列【范例讲解】【范例1】已知数列中，对一切自然数，都有且求证：(1)； (2)若表示数列的前
4、项之和，则解析： (1)由已知得，又因为，所以, 因此，即(2) 由结论(1)可知，即，于是，即【点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系【文】记 （）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和解析（I）整理得（）由所以【范例2】设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解析()由 得所以再由有 将和相减得:整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n = 44 n1= 4 n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3,
5、() 所以 = = 【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧【文】设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.（）求数列的通项公式（用S1和q表示）；（）试比较的大小，并证明你的结论.解析（）是各项均为正数的等比数列，当n=1时，a1=S1； 当（）当n=1时，当时，当q=1时，当当综上可知：当n=1时，当若 若【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列 Pn.求：（）的关系式；（）数列的通项公式；（）当时，的极限位置的坐解析（）由题得过
6、点P1（的切线为过原点 又过点Pn（的因为过点Pn-1（ 整理得（）由（I）得所以数列xn-a是以公比为的等比数列（法2）通过计算再用数学归纳法证明.（）的极限位置为（【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式【文】数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和解析由得，即，所以，对成立由，相加得，又，所以，当时，也成立（）由，得而，.【范例4】设点(，0)，和抛物线：yx2anxbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，点P2 (x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在
7、抛物线：yx2anxbn上，点(，0)到的距离是到上点的最短距离()求x2及C1的方程()证明是等差数列解：()由题意,得A(1,0), C1：y=x2-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=令f (x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2, 则由题意得, 即又P2(x2,0)在C1上, 2=x22 -7x2+b1解得x2=3, b1=14. 故C1方程为y=x2-7x+14.()设P(x,y)是C1上任意一点,则|AnP|=令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,由题意得,即=0,又,(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n1),即(1+
8、2n+1)xn+1- xn+2 n an =0, (*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1. 当n=1时,x1=1,等式成立. 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*)又ak=-2-4k-,.即当n=k+1,时等式成立.由知,等式对nN+成立,xn是等差数列.【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段【文】已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列解析（I）证明： 是以为首项，2为公比的等比数列（
9、II）解：由（I）得（III）证明： ，得即，得 即 是等差数列自我提升1.设数列的前n项和为，令，称为数列，的“理想数”，已知数列，的“理想数”为2004，那么数列2， ，的“理想数”为（A）(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008 2. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于nN*满足以下运算性质：(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) *2 = 3(2n *2)则2n*2用含n的代数式表示为 3n-1_3. 若数列an满足若，则的值为（ B ）(A) (B) (C) (D) 4. 弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面
10、体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)（A）0颗 （B）4颗 （C）5颗 （D）11颗5. 一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（ C）（A）P(3)=3 （B）P(5)=1 （C）P(101)=21 （D）P(103)0为常数，x1=1, x2=2.（1）设an=xn+1xn，求数列a n的通项公式；（2）设f ()=x n，当变化时，求f ()的取值范围.解析（1）
11、由题得 an是首项为1，公比为的等比数列，当0时 (文) 设曲线与一次函数yf（x）的图象关于直线 yx对称，若f (-1)=0，且点 在曲线上，又a1= a2（1）求曲线C所对应的函数解析式；（2）求数列a nd的通项公式解析：（1）yx-1 (2) a n（n1）！8（理）过P（1，0）做曲线C：y=xk(x?(0,+?),k?N+，k1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、Qn的横坐标为an，求证：（）数列an是等比数列；（）；（）解：（）若切点是，则切线方程为当时，切线过点
12、P（1，0）即得当时，切线过点即得数列是首项为，公比为的等比数列. 6分（）（）记，则两式相减（文）已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列，其中（1）求与的关系式； （2）求证：是一等比数列.解析：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，则，于是 （2）记，则，因为，因此数列是等比数列2007年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题 第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的请将答案代号填在答题卷的相应位置上1已知点A（1，0）、B（1，3），向量
13、，若，则实数k的值为A2 B1 C1 D22设，则下列关系中正确的是A B C D3已知圆被直线所截得的弦长为，则实数a的值为A0或4 B1或3 C2或6 D1或34已知为平面，命题p：若，则；命题q：若上不共线的三点到的距离相等，则对以上两个命题，下列结论中正确的是A命题“p且q”为真B命题“p或”为假C命题“p或q”为假D命题“”且“”为假5设，且，则等于A B C D6椭圆的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是A B C D 7已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为A BC D8设x，y满足约束条件则的取值范围为A B C D9如图
14、，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且， ，若，则点在平面内的轨迹是A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分10已知满足方程，则的最大值是A4 B2 C D第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 请将答案填在答题卷的相应位置上11等差数列有如下性质：若是等差数列，则数列也是等差数列类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则数列_也是等比数列12已知集合，若，则m所能取的一切值构成的集合为 13在ABC中，若，则_ 14在四面体ABCD中，已知ABCD5，ACBD5，ADBC6则四面体ABCD的体积为 ；四面体ABCD外接球的
15、面积为 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.15（本小题满分12分）已知向量，函数 （）求函数的最小值以及取得最小值时的值； （）求函数的单调递增区间16（本小题满分12分）箱中装有12张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为的卡片反面标的数字是（卡片正反面用颜色区分）（）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；（）如果同时取出两张卡片，试求他们反面数字相同的概率17（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BCa，又PA平面ABCD，PA4 （）若在边BC上存在一点Q，使PQQD，求a的取值
16、范围；（）当边BC上存在唯一点Q，使PQQD时，求二面角APDQ的余弦值18（本小题满分14分）已知函数（，）（）求函数的极值；（）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围19（本小题满分14分）已知点（x，y）在椭圆C：（的第一象限上运动（）求点的轨迹的方程；（）若把轨迹的方程表达式记为，且在内有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围20（本小题满分14分）已知正项数列的前项和，（）求数列的通项公式；（）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；（）求证：参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 1B 2A
17、3D 4C 5D 6C 7A 8D 9B 10C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 第14题的第一个空2分，第二个空3分11 12 13 14；，三、解答题：1512 2分 4分 6分（）当，即时，函数取最小值，函数的最小值是 9分（）当，即，时，函数单调递增，故函数的单调递增区间为（） 12分16（）由不等式，得或 3分由于，所以1，2，3，7，8，9，10，11，12即共有9张卡片正面数字不大于反面数字，故所求的概率为答：正面数字不大于反面数字的概率为 6分（）设取出的是第号卡片和号卡片（），则有8分即，由，得 10分故符合条件的取法为1，8；2，7；3，6；4，5故所求的
18、概率为 答：反面数字相同的概率为 12分17解法1：（）如图，连，由于PA平面ABCD，则由PQQD，必有 2分设，则，在中，有在中，有 4分在中，有即，即故的取值范围为 6分（）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQQD 8分过Q作QMCD交AD于M，则QMADPA平面ABCD，PAQMQM平面PAD过M作MNPD于N，连结NQ，则QNPDMNQ是二面角APDQ的平面角 10分在等腰直角三角形中，可求得，又，进而 12分故二面角APDQ的余弦值为 14分解法2：（）以为x、y、z轴建立如图的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P
19、（0，0，4）， 2分设Q（t，2，0）（），则 （t，2，4），（ta，2，0） 4分 PQQD，0即故的取值范围为 6分（）由（）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQQD此时Q（2，2，0），D（4，0，0） 8分设是平面的法向量，由，得取，则是平面的一个法向量 10分而是平面的一个法向量，12分由二面角APDQ的余弦值为 14分18当 2分令，得，或且， 6分（）当时，当变化时，、的变化情况如下表：000 8分 当时，在处，函数有极大值；在处，函数有极小值 10分（）要使函数有三个不同的零点，必须 12分解得当时，函数有三个不同的零点 14分19（）设点（，）是轨迹上的动点， 2分=，点（x，y）在椭圆C: （的第一象限上运动，则0，0 故所求的轨迹方程是（，） 6分（）由轨迹方程是（0，0），得（x0） 所以，当且仅当，即时，有最大值 10分如果在开区间内有最大值，只有 12分此时， 解得椭圆C的离心率的取值范围是 14分20（）时，或由于是正项数列，所以当时， 整理，得由于是正项数列，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 从而，当时也满足（） 4分（）由（）知对于上的凹函数，有根据定理，得6分整理，得令，得 8分，即 10分（），12分又由（），得（或） 14分
