五年级三大原理抽屉原理教师版.doc

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1、抽屉原理知识要点最不利原则所谓“最不利原则”是指完成某一项工作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。由此得到充分可靠的结论。抽屉原理 又称鸽巢原理或Dirichlet原理抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。第一抽屉原理：一、将多于件的物品任意放到个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于件；二、将多于件的物

2、品任意放到个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于件。第二抽屉原理：一、将少于件的物品任意放到个抽屉中，其中必有一个抽屉中没有物体。二、把个物体放入个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有个物体。平均值原理：如果个数的平均值为，那么其中至少有一个数不大于，也至少有一个不小于。运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题这里不仅“抽屉”与“苹果”需要恰当地设计与选取，而且有时还应构造出达到最佳状态的例子抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数0， 结论：至

3、少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法抽屉原理【例1】 数学兴趣小组共人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？【分析】 因为数学兴趣小组的人数超过了个人，而一年中只有个月份，根据抽屉原理一，他就可以得出以上结论了。【例2】 某小学有名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。【分析】 一年至多是天，把这些不同日期看作是抽屉，将名同学看作是物体，把个物体放在不超过个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于个，

4、也就是说这两个物体所代表的同学就是同一天的生日。【例3】 有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了道，妈妈说假期中他过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？【分析】 根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把道题看作是物品，因为知道每个抽屉都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于件，所以抽屉数一定小于，所以抽屉数至多是，也就是说假期最多有天。 【例4】 个小朋友等着老师派发苹果，老师拿着苹果箱对大家说：“你们其中至少有一个小朋友可以拿到不少于两个的苹果”，请问老师至少需要准备多少个苹果？【分析】 根据抽屉原理一，老师准备的苹果数必须比小朋友总人数多，因此至少

5、需要准备个苹果。【例5】 妈妈给小明买了个苹果，要求小明每天都要吃苹果，已知小明至少有一天吃了不止一个苹果，问小明最多能吃多少天？【分析】 根据抽屉原理知道，只有天数比苹果数少才能保证小明至少有一天可以吃不止一个苹果，那么小明最多可以吃天。【例6】 （第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动五年级初赛动手动脑题第3题）能否在行列的方格表的每个空格中分别填入这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？【分析】 不可能。因为每行每列每对角线上的和最小为，和最大为,共有个互不相同的数，而行、列和两条对角线上共有个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。【例7】 用数字填

6、满一个的方格表，如图所示，每个小方格只填其中一个数字，将每一个的正方格的四个数之和称为这个正方格的“标示数”。问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。【分析】 因为的正方格共有个，又因为用数字填入的正方格中，标示数只能是这种不同的情况，即有个抽屉，因为共有个标示数，所以根据抽屉原理，必定有两个标示数是相同的。【例8】 证明：任意个人中，至少有个人的属相相同。【分析】 把个属相看作是个抽屉，把个人看作是个苹果，因为，根据抽屉原理二，至少有一个抽屉有不少于个苹果，即相应的至少有个人是相同的属相。【例9】 一群人参加集体聚会，要想保证至少有个人

7、属相相同，那么参加聚会的人不得少于多少人？【分析】 如果把个属相看作是个抽屉，那么根据抽屉原理二，至少需要人参加聚会才可以保证有至少个人属相相同。【例10】 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色之分（摸球时看不见颜色），结果发现总有个人取出的球相同，由此可知，参加取球的至少有几个人？【分析】 取出两个球共有多少种不同的颜色呢？如果两种球颜色相同，那么共有种方法数，如果两种球颜色不同，则共有种方法数，所以取出两个球的方法数是种，即有个抽屉，根据抽屉原理可知，参加取球的至少有人。【例11】 一副扑克牌，共，问至少从中

8、摸出多少牌才能保证有牌的花色相同？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两牌，分别是大王和小王，然后再把四种花色各摸出四，此时一共摸出牌，如果再摸一就会出现至少有牌的花色相同，即至少需要摸出牌才可以保证至少有牌的花色相同。【例12】 一副的扑克牌，至少需要摸出多少，才可以保证所有花色的牌都有？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两王牌，然后挑选三种花色摸光，此时一共摸了牌，再摸一就可以保证所有花色的牌都有。【例13】 一副的扑克牌，至少需要摸出多少，才可以保证有梅花和红桃？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两王牌，然后摸出所有的方块和黑桃，共计牌，接着就是最关键也是最容易出错的地方，那就是什么是最坏

9、的情况。因为要保证有梅花和红桃，所以我们只需要不符合其中一个即可，比如摸到了梅花和红桃就是不符合要求的（想想看为什么红桃和梅花为什么不是最坏的情况？），但是如果再摸一就必定符合要求了，所以至少需要摸出。【例14】 布袋中有编号为的形状大小完全一样的小球个，其中编号为的小球有个，为了保证将取出的球组合出数字“”，问至少需要取出多少个球？【分析】 因为要求取出一个“”和三个“”，所以我们考虑最坏的情况，把编号为的所有的球全部取出来，即有个球，此时还是显然无法满足题目要求，这个时候再取出九个“”或者两个“”和一个“”，还是无法满足要求，如果再取一个就符合要求，即至少需要取出个球。【例15】 （第七届

10、中环杯五年级初赛）一只魔袋里装有种不同颜色的魔球各只，现在请你闭上眼睛到袋中去摸球，每次限摸只，要使摸出的球至少有三种颜色是不少于只的，那么至少要摸多少次？【分析】 这题是比较典型的最不利原则的题型，最坏的情况就是有两种颜色的魔球都取完了，其他种颜色的魔球都去了只，这时只有再取一只球就能凑足有三种颜色是不少于只，所以至少应该摸次。【例16】 请证明：在中任选个数，其中至少有不同的两组数，其和等于。【分析】 共个数分成组如下：，共个抽屉，从中任意选取个数，至少有个数来自前个抽屉，所以至少有个数取自某两个抽屉，而属于同一个抽屉的两个数的和是，所以问题得证。【例17】 从这个数中任意选取个数，证明：

11、必有一个数是另一个数的倍数。【分析】 把这个数分成组，看作是个抽屉，分别是，从这个抽屉中选取个数，则必定有两个数在同一个抽屉中，而同一个抽屉中的任意两个数都满足倍数关系，所以必有一个数是另一个数的倍数。【例18】 学校有个同学参加数学竞赛，已知将参赛同学任意分成四组，则必有一组的女生多于人，又知参赛者中任何人中必定有男生，求参赛的男生人数是多少？【分析】 因为参赛者中任何人中必定有男生，所以女生人数必定不超过人。另一方面，因为任意分成四组，必定有一组女生不少于人，所以女生人数多于人，于是女生人数是个，男生人数是个。【例19】 平面上给定个点，没有个点在一条直线上，证明：用这些点做顶点所组成的一

12、切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边是另外一个三角形的最小边。【分析】 首先我们先将每一个三角形的最大边染色成红色的，将其他所有没有染色的边染成蓝色的。设这六个点是，则在连出的五条线中必定有三条线颜色相同，假设颜色相同，如果三个点之间的两两连线有颜色与相同的，那么这两个点和点组成的三角形的边颜色就相同了，如果三个点之间的两两连线的颜色与都不相同，那么三点组成的三角形的颜色就相同了，也就是说在这六个点组成的三角形中必定存在同色三角形，因为这个三角形一定有最大边，所以这个同色三角形必定是红色三角形，那么这个三角形的最小边必定是红色，从而它必定是另外某一个三角形的最大边，也就是说这条边既是某个三

13、角形的最大边，也是某个三角形的最小边。【例20】 平面上有个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形证明：一定有一个三角形三边的颜色相同【分析】 从这个点钟任取一个点，把点与其它个点相连可以得到条线段，根据抽屉原理，其中同色的线段至少有条，不妨设为红色考虑这条线段的除点外的个端点：如果个点两两之间有条红色线段，那么就有个红色三角形符合条件；如果个点之间没有红色线段，也就是全为黄色和蓝色，由上面的例题可知，这个点中必有个点，它们之间的线段的颜色相同，那么这样的三角形就符合条件综上所述，一定存在一个三角形满足题目要求复杂的抽屉原理【例1】 幼儿园买来许多牛、马

14、、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【分析】 从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗个。把每一组搭配看作一个“抽屉”，共个抽屉根据抽屉原理，至少要有个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同。【例2】 体育用品的仓库里有许多的足球、篮球和排球，有个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿球的种类完全一样？【分析】 以拿球配组的方式为抽屉，每人拿一个或者两个球，所以抽屉有：足，篮，排，足足，篮篮，排排，足篮，足排，篮排共种情况，即有

15、个抽屉，则：，于是至少有个同学所拿球的种类是一样的。【例3】 （第九届中环杯五年级）能否在行列的方格表的每个空格中分别填入这三个数中的任何一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同？为什么？【分析】 不可能。因为每行每列每对角线上的和最小为，和最大为,共有个互不相同的数，而行、列和两条对角线上共有个和，根据抽屉原理，必定有两个和是相等的。【例4】 在边长为米的正方形中，任意放个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过平方米。【分析】 将大正方形分成个边长为的小正方形，则把个小正方形看作是抽屉，有，从而必定有个点处于同一个抽屉，也就是这四个点在同一个小正方形里面，由于每个

16、小正方形面积都不超过平方米，所以这四个点组成的四边形的面积也必定不超过平方米。【例5】 在边长为米的正方形中，任意放个每三点都不共线的点，求证：必定有三个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过平方米。【分析】 把正方形分成等分成四个边长为的小正方形，因为，那么根据抽屉原理必定有三个点处在同一个小正方形里面，我们来证明这三个点所组成的三角形的面积不超过小正方形面积的一半。如图所示，如果三角形有一条边与小正方形的边平行，那么这个以这个边为底，作三角形的高，显然底和高都不超过小正方形的边长，从而面积必定不超过小正方形面积的一半；如果三角形任意一条边都不与小正方形的边平行，那么过其中一个顶点作边的平行线

17、，与顶点所对应的边交于一点，以这两点连线所在线段为底，三角形分成两个同底的三角形，它们的高加起来不超过正方形的边长，而这个底也不超过正方形的边长，所以其面积必定不超过正方形面积的一半。由此我们知道三角形的面积不超过平方米。【例6】 从这个数中任意选取个数，证明：必有一个数是另一个数的倍数。【分析】 把这个数分成组，看作是个抽屉，分别是，从这个抽屉中选取个数，则必定有两个数在同一个抽屉中，而同一个抽屉中的任意两个数都满足倍数关系，所以必有一个数是另一个数的倍数。【例7】 从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?【分

18、析】 （方法一）直接从1开始选1，3，4，5，7，9，11，12，这样可以选出8个数； 而从2开始选2，3，5，7，8，9，11，12，这样也是可以选出8个数 3包含在组，因此只用考虑这两种情况即可 所以，在满足题意情况下，最多可以选出8个数（ 方法二）我们知道选多少个奇数均满足，有1，3，5，7，9，11均为奇数，并且有偶数中4的倍数，但不是8的倍数的也满足，有4，12是这样的数所以，在满足题意情况下最多可以选出8个数【例8】 （全国小学数学奥林匹克初赛）从1，3，5，7，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【分析】 （方法一）因为均是奇数，所以如

19、果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍. 333：99，于是从35开始，199的奇数中没有一个是3599的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，99这些奇数即可 共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数 （方法二）利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组 (1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，(97)共33组 前11组，每组任意两个数都存在倍数关系，所以

20、每组最多只能选择一个数 即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数12n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，33n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数)。【例9】 甲、乙二人分别为一个正方形的条棱涂红、绿种颜色。首先，甲任选条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外条棱并涂上绿色；接着

21、甲将剩下的条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的条棱全部涂上红色？【分析】 如图将条棱按照两两互相异面垂直的条棱分为一组，共分成组：第一组：（、）；第二组：（、）；第三组：（、）；第四组：（、）。无论甲第一次将哪条棱涂红，由抽屉原理知组中必有一组的条棱全未涂红，而乙只要将这组中的条棱涂绿，甲就无法将某一面的条棱全部涂红了。【例10】 在一个礼堂中有名学生，如果他们中的每个人都与其中的人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何人中都一定有人不相识（假定相识是互相的）注意到题中的说法“可能出现”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所

22、说的结论即可。将礼堂中的人记为、；将人分为组：第一组：（、）；第二组：（、）；第三组：（、），将组学生作为个抽屉，分别记为、；并约定中的学生所认识的人只在、中，同时，、中的学生所认识的人也分别只在、和、中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。因为礼堂中任意人可看做个苹果，放入、三个抽屉中，必有人在同一抽屉，即必有人来自同一组，那么他们认识的人只在另组中，因此他们人不相识。【例11】 位小朋友围着一圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一纸条，上面分别写着这位小朋友的名字。开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动桌子，一定能使至少两个小朋友恰好对

23、准自己的名字。【分析】 沿顺时针方向转动桌子，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过次转动，一定可以使每位小朋友恰好对准自己名字的纸条一次，因为小朋友有个，这说明至少有两个小朋友在某次转动恰好都对着自己的名字，结论得证。【例12】 （第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）8个学生解8道题目 (1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出 (2)如果每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立试构造一个例子说明这点.【分析】 (1)先设每道题被一人解出称为一次，那么8道题目至少共解出58=40次，分到8个学生身上，至少有一个学生解出

24、了5次或5次以上题目，即这个学生至少解出5道题，称这个学生为A，我们讨论以下4种可能： 第一种可能：若A只解出5道题，则另3道题应由其他7个人解出，而3道题至少共被解出35=15次，分到7个学生身上，至少有一名同学解出了3次或3次以上的题目(15=27+1，由抽屉原则便知)由于只有3道题，那么这3道题被一名学生全部解出，记这名同学为B那么，每道题至少被A、B两名同学中某人解出 第二种可能：若A解出6道题，则另2道题应由另7人解出，而2道题至少共被解出25=10次，分到7个同学身上，至少有一名同学解出2次或2次以上的题目(10=17+3，由抽屉原则便知)与l第一种可能I同理，这两道题必被一名学生

25、全部解出，记这名同学为C那么，每道题目至少被A、C学生中一人解出第三种可能：若A解出7道题目，则另一题必由另一人解出，记此人为D那么，每道题目至少被A、D两名学生中一人解出第四种可能：若A解出8道题目，则随意找一名学生，记为E，那么，每道题目至少被A、E两名学生中一人解出，所以问题(1)得证 (2)类似问题(1)中的想法，题目共被解出84=32次，可以使每名学生都解出4次，那么每人解出4道题 随便找一名学生，必有4道未被他解出，这4道题共被7名同学解出44=16次，由于16=27+2，可以使每名同学解出题目不超过3道，这样就无法找到两名学生，使每道题目至少被其中一人解出 具体构造如下表，其中汉

26、字代表题号，数字代表学生，打代表该位置对应的题目被该位置对应的学生解出【例13】 在米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于米？【分析】 如果在路段的某个端点植树一棵，然后每隔米植树一棵显然一共就植树棵，而这是不满足要求有两棵树之间距离小于米的。但是如果将路段分成段，第一段长度是米，后面段的长度都是米，那么把棵树值在这段上，必定有棵树在同一段中，这两棵树的距离就是小于米的，从而至少需要植树棵才可以满足要求。【例14】 在长度是厘米的线段上任意取个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于厘米？【分析】 把长度厘米的线段等分，那么每段线段的长度是厘米（见下图）将每

27、段线段看成是一个“抽屉”，一共有个抽屉现在将这个点放到这个抽屉中去根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于厘米所以，在长度是厘米的线段上任意取个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于厘米【例15】 四个人聚会，每人各带了件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。【分析】 将这四个人用个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连上一条线。由于每人送出件礼品，共有条线，由于四个点每两点之间连一条线，总共也只有条线，这说明必有两组两点之间连过条线，这两组两点对也就是代表互赠过

28、礼品的。【例16】 证明：在任意的个人中必有个人，他们或者相互认识，或者相互不认识【分析】 把这个人看作个点，每两点之间连一条线段，两人相互认识的话将线段涂红色，两人不认识的话将线段涂上蓝色，那么只需证明其中有一个同色三角形即可从这个点中随意选取一点，从点引出的条线段，根据抽屉原理，必有条的颜色相同，不妨设有条线段为红色，它们另外一个端点分别为、，那么这三点中只要有两点比如说、之间的线段是红色，那么、点组成红色三角形；如果、三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样、点组成蓝色三角形，也符合条件所以结论成立【例17】 任意给个整数，其中必定有个数，它们的和是的倍数。【分析】 设这个数为，由上

29、面的证明知道五个数中必定有三个数的和是的倍数，不妨设为；同理在中必定有三个数的和是的倍数，不妨设；同理在中必定有三个数的和是的倍数，不妨设，又因为在中必定有两个数的奇偶性相同，不妨设奇偶性相同，那么是的倍数，即的和是的倍数。一课一练【练习1】 （希望杯真题）一个口袋里分别有红、黄、黑球、个，为使取出的球中有个同色，则至少要取小球多少个？【分析】 如果要保证取到个同色的球，至少要取(个)。【练习2】 有一个布袋里面有种不同颜色的球，每种球都有个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有个小球的颜色相同？【分析】 种颜色看作个抽屉，要保证一个抽屉中至少有个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有

30、个“苹果”，共有，再取一个就能满足要求，所以一次至少要取出个小球，才能保证其中至少有个小球的颜色相同。【练习3】 有一个布袋中有个相同的小球，其上编上的各有个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有个小球的相同？【分析】 考虑最坏的情况：每种编号的小球刚好取了个，那么最多可以取个小球，如果再取一个，必定就有个小球相同了，因此至少需要取出个球才可以保证其中至少有个小球的相同。【练习4】 从双不同手套中任意拿出只，证明必定有两只可以成为一双。【分析】 把双手套看作是个抽屉，只手套放在个抽屉中，必定有两只放在同一个抽屉，所以这两只就是可以成为一双的。或者用反证法，如果没有可以成双的手套，那

31、么最多只能拿出只不同的手套，与条件矛盾，所以必定有成双的手套。【练习5】 某班名同学是在月份出生，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？【分析】 五月份共有天，如果把天看作是个抽屉，把个小朋友看作是个苹果，把个苹果放在个抽屉，那么根据抽屉原理一，至少有一个抽屉里至少放了两个苹果，因此至少有名同学是同一天出生的。【练习6】 如果要求某次聚会上不得有个或个以上的人属相相同，那么参加聚会的人数最多是多少？【分析】 一方面，根据抽屉原理二，如果个人参加聚会，因为，那么至少有个人属相相同，所以参加聚会的人数不得超过人；另一方面，如果参加聚会的个人，刚好每种属相有人是符合聚会要求的，所以人参加聚会是没有问题

32、的。综上所述，参加聚会的人数最多是人。【练习7】 学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本，那么至少多少个学生中一定会有两个学生所借的图书属于同一种？【分析】 从三种图书里面任意借两本图书的种类数是，所以至少个学生借书，可以保证至少有两个学生所借的图书属于同一种。【练习8】 某次选拔考试，共有名同学参加，小明说：“至少有名同学来自同一个学校”，如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加这次选拔考试？【分析】 这道题目的难点在于不知道抽屉有多少个，如果我们采用顺向思维，就需要设有个抽屉，并且，其中是余数，并且大于，因为，所以当有个学校参加考试的时候，小明的说法就是正确的

33、。同时如果学校数目超过个，那么是可以使每个学校有不超过名同学参加考试的，因此是参加学校的最大数目。【练习9】 老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得分，不做得分，做错得分老师说：“可以肯定全班同学中至少有名同学各题的得分都相同”那么，这个班至少有多少名同学？【分析】 以同学做两道题的得分情况为“抽屉”，由于两道题各有三种得分情况，所以共有种得分情况，那么共有个抽屉，学生数量即“苹果”数为：(人)。【练习10】 证明：在任意的四个自然数中，其中必有两个数，它们的差能被整除。【分析】 这类问题属于按照剩余类构造抽屉的问题。因为任何整数除以，其余数只有可能是三种情形，我们将这三种情形看作是三个“抽

34、屉”，一个整数除以的余数属于哪种情形，就将这个整数归在哪个“抽屉”里，根据抽屉原理一，把四个自然数放在三个抽屉中，至少有一个抽屉里面放了不止一个数，也就是说这两个数除以的余数是相同的，这两个数的差必定能被整除。【练习11】 数学兴趣小组共人，有一个同学在某一天对大家宣布一个猜想：“我们中间必定有两个人生日处在同一个月份”，你知道他是怎么知道的吗？【分析】 因为数学兴趣小组的人数超过了个人，而一年中只有个月份，根据抽屉原理一，他就可以得出以上结论了。【练习12】 某小学有名学生，证明其中必定有两名学生是同一天的生日。【分析】 一年至多是天，把这些不同日期看作是抽屉，将名同学看作是物体，把个物体放

35、在不超过个抽屉里面，至少有一个抽屉的物品不少于个，也就是说这两个物体所代表的同学就是同一天的生日。【练习13】 有个小朋友特别勤奋，在暑假里每天都会做奥数题，已知他一共做了道，妈妈说假期中他过生日那天不止做了一道数学题。问他这个假期最多有多少天？【分析】 根据抽屉原理，如果假期里面的每天看作是抽屉，把道题看作是物品，因为知道每个抽屉都有物品并且某个抽屉中放的物品不少于件，所以抽屉数一定小于，所以抽屉数至多是，也就是说假期最多有天。 【练习14】 新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五种颜色之分（摸球时看不见颜色），结果发

36、现总有个人取出的球相同，由此可知，参加取球的至少有几个人？【分析】 取出两个球共有多少种不同的颜色呢？如果两种球颜色相同，那么共有种方法数，如果两种球颜色不同，则共有种方法数，所以取出两个球的方法数是种，即有个抽屉，根据抽屉原理可知，参加取球的至少有人。【练习15】 一副扑克牌，共，问至少从中摸出多少牌才能保证有牌的花色相同？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两牌，分别是大王和小王，然后再把四种花色各摸出四，此时一共摸出牌，如果再摸一就会出现至少有牌的花色相同，即至少需要摸出牌才可以保证至少有牌的花色相同。【练习16】 一副的扑克牌，至少需要摸出多少，才可以保证所有花色的牌都有？【分析】 从最

37、坏的情况考虑：先摸出两王牌，然后挑选三种花色摸光，此时一共摸了牌，再摸一就可以保证所有花色的牌都有。【练习17】 一副的扑克牌，至少需要摸出多少，才可以保证有梅花和红桃？【分析】 从最坏的情况考虑：先摸出两王牌，然后摸出所有的方块和黑桃，共计牌，接着就是最关键也是最容易出错的地方，那就是什么是最坏的情况。因为要保证有梅花和红桃，所以我们只需要不符合其中一个即可，比如摸到了梅花和红桃就是不符合要求的（想想看为什么红桃和梅花为什么不是最坏的情况？），但是如果再摸一就必定符合要求了，所以至少需要摸出。【练习18】 有一个布袋里面有种不同颜色的球，每种球都有个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其

38、中至少有个小球的颜色相同？【分析】 种颜色看作个抽屉，要保证一个抽屉中至少有个苹果，最“坏”的情况是每个抽屉里有个“苹果”，共有，再取一个就能满足要求，所以一次至少要取出个小球，才能保证其中至少有个小球的颜色相同。【练习19】 从1，2，3，1988，1989这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？【分析】 1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25， 这些数中任何两个数的差都不为4，这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数 有19898=2485，所以最多可以选2484+4=996个数 评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再

39、找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个.【练习20】 从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【分析】 1，3，6，8，11，13，16，18，21， 这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第1、3个数 19935=3983.所以最多可以选3982+2=798个数 评注：当然还可以是1，4，6，9，11，14，16，19，21， 这些数满足条件，是每5个连续的数中选择第1、4个数但是此时最多只能选出3982+l=797个数【练习21】 证明：在任意的四个自然数中，其中必有两个数，它们的差能被整除。【练习22

40、】 学校有个同学参加数学竞赛，已知将参赛同学任意分成四组，则必有一组的女生多于人，又知参赛者中任何人中必定有男生，求参赛的男生人数是多少？【分析】 因为参赛者中任何人中必定有男生，所以女生人数必定不超过人。另一方面，因为任意分成四组，必定有一组女生不少于人，所以女生人数多于人，于是女生人数是个，男生人数是个。【练习23】 证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数【分析】 因为两个不同的两位数相减得到的差不可能为三位或三位以上的数如果这个差是1l的倍数，那么一定有这个差的个位与十位数字相同 两个数的差除以1l的余数有0、1、2、3、10这11种情况将这11种情况视为11个抽屉 将12个数视为12个苹果，那么必定有两个苹果在同一抽屉，也就是说有两个数除以11的余数相同，那么它们的差一定是11的倍数 而两个两位数的差一定是一个两位数，如果这个差是11的倍数，那么就有个数与十位数字相等问题得证