八年级数学培优资料.docx

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1、目录目录 A C E D B B A C D E F 第第 1 讲讲全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定 考点方法破译 1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有 HL 法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪

2、些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5 证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典考题赏析【例】如图，ABEFDC,ABC90,ABCD，那么图中有全等三角形（）A5 对 B4 对 C3 对 D2 对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：ABEFDC,ABC90.DCB90.在ABC 和DCB 中 ABDCABCDCBBC

3、CBABCDCB（SAS）AD 在ABE 和DCE 中 ADAEDDECABDCABEDCEBECE 在 RtEFB 和 RtEFC 中 RtEFBRtEFC（HL）故选 C.【变式题组】01（天津）下列判断中错误的是（）A有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D有一边对应相等的两个等边三角形全等 02（丽水）已知命题：如图，点 A、D、B、E 在同一条直线上，且 ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题

4、，并加以证明.03(上海)已知线段 AC 与 BD 相交于点 O,连接 AB、DC，E 为 OB 的中点，F 为 OC 的中点，连接 EF（如图所示）.添加条件AD，OEFOFE，求证：ABDC；分别将“AD”记为，“OEFOFE”记为，“ABDC”记为，添加、，以为结论构成命题 1；添加条件、，以为结论构成命题 2.命题 1 是_命题，命题 2 是_命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例】已知 ABDC，AEDF，CFFB.求证：AFDE.【解法指导】想证 AFDE，首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形.AF 在AFB 和AEF 中，而 DE 在CDE 和DEF 中，因而只需证明ABF

5、DCE 或AEFDFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：FBCEFBEFCEEF，即 BECF 在ABE 和DCF 中,ABDCAEDFBECF ABEDCF（SSS）BC 在ABF 和DCE 中,ABDCBCBFCEABFDCEAFDE【变式题组】01如图，AD、BE 是锐角ABC 的高，相交于点 O，若 BOAC，BC7，CD2，则 AO 的长为（）A2 B3 C4 D5 02.如图，在ABC 中，ABAC，BAC90，AE 是过 A 点的一条直线，AECE 于 E，BDAE 于 D，DE4cm，CE2cm，则 BD_.03（北京）已知：如图，在ABC 中，ACB90

6、，CDAB 于点 D，点 E 在 AC 上，CEBC，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F.求证：ABFC.A E 第 1 题图 A B C D E B C D O 第 2 题图 A B C D O F E A C E F B D 【例】如图，ABCDEF，将ABC 和DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合，把DEF绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相交于点 O.当DEF 旋转至如图位置，点 B（E）、C、D 在同一直线上时，AFD 与DCA 的数量关系是_;当DEF 继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由_.【解法指导】AFDDCA AFDDCA 理由

7、如下：由ABCDEF，ABDE，BCEF,ABCDEF,BACEDFABCFBCDEFCBF,ABFDEC 在ABF 和DEC 中,ABDEABFDECBFEC ABFDECBAFDECBACBAFEDFEDC,FACCDFAODFACAFDCDFDCA AFDDCA【变式题组】01（绍兴）如图，D、E 分别为ABC 的 AC、BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点 C落在 AB 边上的点 P 处.若CDE48，则APD 等于（）A42 B48 C52 D58 02如图，RtABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（）AABCDEF BDEF90 CAC

8、DF DECCF B（E）O C F 图 F A B C D E F A B(E)C D D A 图 图 A F E C B D A B C D F E 03一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上.求证：ABED；若 PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例】（第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE 分别是ABC 的边 AC 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线，BPAC，点 Q 在 CE 上，CQAB.求证：APAQ；APAQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角

9、所在的两三角形全等.经观察，证APAQ,也就是证APD 和AQE，或APB 和QAC 全等,由已知条件 BPAC，CQAB，应该证APBQAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角12 即可.证 APAQ，即证PAQ90，PADQAC90就可以.证明：BD、CE 分别是ABC 的两边上的高，BDACEA90,1BAD90，2BAD90，12.在APB 和QAC 中,2ABQCBPCA1 APBQAC，APAQ APBQAC，PCAQ,PPAD90 CAQPAD90，APAQ【变式题组】01如图，已知 ABAE，BE，BAED，点 F 是 CD 的中点，求证：AFCD.02（湖州市竞赛试题）如图，

10、在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MA 为 am，此时梯子的倾斜角为 75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm，梯子倾斜角为 45，这间房子的宽度是B F A C E N M P D D A C B F E E F B A B P D E C 第 1 题图 A C D G 第 2 题图 2 1 A B C P Q E F D（）A2abm B2abm Cbm Dam 03如图，已知五边形 ABCDE 中，ABCAED90，ABCDAEBCDE2，则五边形 ABCDE 的面积为_ 演练巩固反馈提高 01（海南）已知图中的两

11、个三角形全等，则 度数是（）A72 B60 C58 D50 02如图，ACBA/C/B/，BCB/30，则ACA/的度数是（）A20 B30 C35 D40 03（牡丹江）尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA、OB 于 C、D，再分别以点 C、D 为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 OP，由作法得OCPODP 的根据是（）ASAS BASA CAAS DSSS 04（江西）如图，已知 ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC 的是（）A.CBCD B.BACDAC C.BCADCA D.BD90 E 2 1 N A

12、 B D C 第 5 题图 A B C D E A B C D 第 4 题图 第 6 题图 M 第 3 题图 第 1 题图 C A O D B P 第 2 题图 A C A/B B/a c c a 50 b 72 58 A E C B A 75 C 45 B N M 第 2 题图 第 3 题图 D A E F B D C 05有两块不同大小的等腰直角三角板ABC 和BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当 A、B、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A.ABECBDB.ABECBD C.ABCEBD45D.ACBE 06如图，ABC 和共顶点 A，

13、ABAE，12，BE.BC 交 AD 于 M，DE 交 AC 于 N，小华说：“一定有ABCAED.”小明说：“ABMAEN.”那么（）A.小华、小明都对 B.小华、小明都不对 C.小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 07如图，已知 ACEC,BCCD,ABED,如果BCA119，ACD98,那么ECA 的度数是_.08如图，ABCADE，BC 延长线交 DE 于 F，B25,ACB105，DAC10，则DFB 的度数为_.09如图，在 RtABC 中，C90,DEAB 于 D,BCBD.AC3，那么 AEDE_ 10如图，BAAC,CDAB.BCDE，且 BCDE，若 AB2,CD6，则

14、 AE_.11如图,ABCD,ABCD.BC12cm，同时有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发，沿 CB 方向爬行，P 的速度是 0.1cm/s,Q 的速度是 0.2cm/s.求爬行时间 t 为多少时，APBQDC.12如图,ABC 中，BCA90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于 D.求证：AECD；若 AC12cm,求 BD 的长.13（吉林）如图，ABAC，ADBC 于点 D，AD 等于 AE，AB 平分DAE 交 DE 于点 F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14如图，将等腰直角三角板

15、 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，从另两个顶点 A、B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 D、E.找出图中的全等三角形，并加以证明；若 DEa，求梯形 DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15如图，ACBC,ADBD,ADBC，CEAB，DFAB，垂足分别是 E、F.求证：CEDF.16我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三D A C.Q P.B 第 10 题图 A B C D E 第 9 题图 E A B C D A B C D E F O C A E B D 第 7 题图 第 8 题图 D B A C E F A E B F D C B D E C l A A E F

16、 C D B 角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知ABC、A1B1C1均为锐角三角形，ABA1B1，BCB1C1，CC1.求证：ABCA1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）归纳与叙述：由可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级奥赛检测 01如图，在ABC 中，ABAC，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AEAF，BF、CE 相交于点 O，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，则图中全等三角形有（

17、）A4 对 B5 对 C6 对 D7 对 02如图，在ABC 中，ABAC，OCOD，下列结论中：ABDECE，连接DE,则 OE 平分AOB，正确的是（）A B C D 03如图，A 在 DE 上，F 在 AB 上，且 ACCE,1=2=3,则 DE 的长等于（）ADCB.BCC.ABD.AEAC 04下面有四个命题，其中真命题是（）A两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等 B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05在ABC 中，高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点,且 B

18、HAC，则ABC_.06如图，EB 交 AC 于点 M,交 FC 于点 D,AB 交 FC 于点 N，EF90，BC,AEAF.给出下列结论：12；BECF;ACNABM;CDDB，其中正确的结论有_.（填序号）07如图，AD 为在ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F,且有 BFAC，FDCD.求证：BEAC；若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08如图，D 为在ABC 的边 BC 上一点，且 CDAB，BDABAD，AE是 F 第 6 题图 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E B C F A D E C O A

19、 E O B F C D 第 1 题图 B 第 2 题图 第 3 题图 A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D E A D E G C H B A E B D C ABD 的中线.求证：AC2AE.09如图，在凸四边形 ABCD 中，E 为ACD 内一点，满足 ACAD，ABAE,BAEBCE90,BACEAD.求证：CED90.10（沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点 E 落在 AB 上，DE所在直线交 AC 所在直线于点 F.求证：AFEFDE;若将图中DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角，且 060，其他条件不

20、变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；若将图中DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角，且 60180,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时 AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由。11（嵊州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC 中，AB5，AC13,求 BC 边上的中线 AD 的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到 E，使得 DEAD，再连接 BE，把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2AE8，则 1AD4

21、.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.问题解决：受到的启发，请你证明下面命题：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF.求证：BECFEF；问题拓展：如图，在四边形 ABDC 中，BC180，DBDC，BDC=120，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系，并加以证明.12（北京）如图，已知ABC.请你在 BC 边上分别取两点

22、D、E（BC 的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明：ABACADAE.13如图，ABAD，ACAE，BADCAE180.AHAH 于 H，HA 的延长线交 DE 于 G.求证：GDGE.14 已知，四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，BABC，ABC120，MBN60,MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD、DC（或它们的延长线）于 E、F.当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 1，易证：AECFA B E D C A F D F C B E D A C B E A C B

23、 图 图 图 A B E F C D A E B F C D C B A EF；（不需证明）当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，如图 2 和图 3 中这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE、CF、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.D A B C F N E M D 图 1 A B C F N E M D A B C F N E M 图 2 图 3 4321NMABODP EDA BC21F EDA BC第第 2 讲角平分线的性质与判定讲角平分线的性质与判定 考点方法破译 1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线

24、的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典考题赏析【例】如图，已知 OD 平分AOB，在 OA、OB 边上截取 OAOB，PMBD，PNAD.求证：PMPN【解法指导】由于 PMBD，PNAD.欲证 PMPN 只需34，证34，只需3 和4 所在的OBD 与OAD 全等即可.证明：OD 平分AOB12 在OBD 与OAD 中，12OBOAODOD OBDOAD 34PMBD，PNAD 所以 PMPN【变式题组】01如图，CP、BP 分别平分ABC 的外角BCM、CBN.求证：点 P 在BAC 的平分线上.02如图，BD 平

25、分ABC，ABBC，点 P 是 BD 延长线上的一点，PMAD，PNCD.求证：PMPN【例】（天津竞赛题）如图，已知四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于点 E，且 AE12(ABAD)，如果D120，求B 的度数【解法指导】由已知12，CEAB，联想到可作 CFAD 于 F，得 CECF，AFAE，又由 AE12(ABAD)得 DFEB，于是可证CFDCEB，则BCDF60.或者在AE 上截取 AMAD 从而构造全等三角形.解：过点 C 作 CFAD 于点 F.AC 平分BAD，CEAB，点 C 是 AC 上一点，CECF 在 RtCFA 和 RtCEA 中，CFCEACAC

26、RtACFRtACEAFAE 又AE12(AEBEAFDF)，2AEAEAFBEDF，BEDF CFAD，CEAB，FCEB90 在CEB 和CFD 中，CECFFCEBDFBE，CEBCFD BCDF 又ADC120，CDF60，即B60.DCAB321FEDCABDECABDFEBAC第第2题图题图DBCAEP第第4题图题图EFBDAC【变式题组】01如图，在ABC 中，CD 平分ACB，AC5，BC3.求ACDCBDSS 02(河北竞赛)在四边形 ABCD 中，已知 ABa，ADb.且 BCDC，对角线AC平分BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有BD180，请画图并证明你的结论.【例

27、】如图，在ABC 中，BAC90,ABAC，BE 平分ABC，CEBE.求证：CE12BD【解法指导】由于 BE 平分ABC，因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而构造全等三角形.证明：延长 CE 交 BA 的延长线于 F，12，BEBE，BEFBEC BEFBEC(ASA)CEEF，CE12CF1F3F90，13 在ABD 和ACF 中，13ABACBADCAF ，ABDACF BDCFCE12BD【变式题组】01如图，已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB、DBA，CD 过点 E，求证：ABACBD.02如图，在ABC 中，B60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的

28、平分线，AD、CE 相交于点 F.请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系，并说明理由；求证：AECDAC.演练巩固反馈提高 01如图，在 RtABC 中，C90，BD 平分ABC 交 AC 于 D，若 CDn，ABm，则ABD 的面积是（）A13mn B12mn Cmn D2mn 02如图，已知 ABAC，BECE，下面四个结论：BPCP；ADBC；AE 平分BAC；PBCPCB.其中正确的结论个数有（）个 A 1 B2 C3 D4 03如图，在ABC 中，P、Q 分别是 BC、AC 上的点，作 PRAB，PSAC，垂足分别是 R、S.若 AQPQ，PRPS，下列结论：ASAR；PQAR；B

29、RPCSP.其中正确的是（）A B C D 04如图，ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分别是 E、F，则下列四个结论中：AD 上任意一点到B、C的距离相等；AD 上任意一点到 AB、AC 的距离相等；ADBC 且 BDCD；BDECDF.其中正确的是（）FBDE CA第4题图FGEPABCD第5题图EODBACGPFEDCBAA B C D 05如图，在 RtABC 中，ACB90，CAB30，ACB 的平分线与ABC 的外角平分线交于 E 点，则AEB 的度数为（）A50 B45 C40 D35 06如图，P 是ABC 内一点，PDAB 于 D，PEBC 于

30、E，PFAC 于 F，且 PDPEPF，给出下列结论：ADAF；ABECACBE；BCCFABAF；点 P 是ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（）A B C D 07如图，点 P 是ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A点 P 到ABC 三边的距离相等 B点 P 在ABC 的平分线上 CP 与B 的关系是：P12B90 DP 与B 的关系是：B12P 08如图，BD 平分ABC，CD 平分ACE，BD 与 CD 相交于 D.给出下列结论：点 D 到 AB、AC 的距离相等；BAC2BDC；DADC；DB 平分ADC.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个

31、 D4 个 09如图，ABC 中，C90AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于 E，下列结论中：AD平分CDE；BACBDE；DE 平分ADB；ABACBE.其中正确的个数有（）A3 个 B2 个 C1 个 D4 个 10如图，已知 BQ 是ABC 的内角平分线，CQ 是ACB 的外角平分线，由 Q 出发，作点 Q到 BC、AC 和 AB 的垂线 QM、QN 和 QK，垂足分别为 M、N、K，则 QM、QN、QK 的关系是_ 11如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DBDC.求证：BECF 12如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于点

32、E，DFAC于点 F.求证：ADEF.培优升级奥赛检测 01如图，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）A一处 B二处 C三处 D四处 02已知 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，若 BC32，且 BD:CD9:7，则 D 到 AB 边的距离为（）A18 B16 C14 D12 03如图，ABC 中，C90，AD 是ABC 的平分线，有一个动点 P 从 A 向 B 运动.已知：DC3cm，DB4cm，AD8cm.DP 的长为 x(cm)，那么 x 的范围是_ 04如图，已知 ABCD，PEA

33、B，PFBD，PG CD，垂足分别为 E、F、G，且 PFPGPE，则 BPD_ 05 如图，已知 ABCD，O 为CAB、ACD的平分线的交点，OEAC，且 OE2，则两平行线AB、CD间的距离等于_ 06如图，AD 平分BAC，EFAD，垂足为 P，EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G.求证：G12(ACBB)PDABC07如图,在ABC 中,ABAC,AD 是BAC 的平分线,P 为 AC 上任意一点.求证:ABACDBDC 08如图，在ABC 中，BAC60，ACB40，P、Q 分别在 BC、AC上，并且 AP、BQ 分别为BAC、ABC 的角平分线上.求证：BQAQABBP

34、第第 3 讲轴对称及轴对称变换讲轴对称及轴对称变换 考点方法破译 1轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：位置关系垂直；数量关系平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

35、垂直平分线上.3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.经典考题赏析【例】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打 3 个洞，则纸片展开后是（）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选 D.【变式题组】01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）02（荆州）如图，将矩形纸片 ABCD 沿虚线 EF 折叠，使点 A 落在点 G 上，点 D 落在点 H上；然后再沿虚线 GH 折叠，使 B 落在点 E 上，点 C 落在点 F 上，叠完后，剪一个直径在

36、BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例 2】（襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将ABC 向右平移两个单位长度得到ABC，则与点 B关于 x 轴对称的点的坐标是（）A（0，1）B（1，1）C（2，1）D（1，1）【解法指导】在ABC 中，点 B 的坐标为（1，1），将ABC向右平移两个单位长度得到ABC，由点的坐标平移规律可得B（12，1），即 B（1，1）.由关于 x 轴对称的点的坐标的规律可得点 B关于 x 轴对称的点的坐标是（1，1），故应选 D.【变式题组】01若点 P（2，3）与点 Q（a，b）关于 x 轴对称，则 a、b 的值分别是（）A2，3B2，3C2，3D2

37、，3 02在直角坐标系中，已知点 P（3，2），点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点，将点 Q 向右平移 4 个单位得到点 R，则点 R 的坐标是_.03（荆州）已知点 P（a1，2a1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则 a 的取值范围为_.【例 3】如图，将一个直角三角形纸片 ABC（ACB90），沿线段 CD 折叠，使点 B 落在 B1处，若ACB170，则ACD（）A30B20C15D10【解法指导】由折叠知BCDB1CD.设ACDx，则BCDB1CDACB1ACD70 x.又ACDBCDACB，即 x（70 x）90，故 x10.故选 D.【变式题组】01（东营）如图，把一个长方形

38、纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D、C的位置.若EFB65，则AED等于（）A70B65C50D25 02如图，ABC 中，A30，以 BE 为边，将此三角形对折，其次，又以 BA 为边，再一次对折，C 点落在 BE 上，此时CDB82，则原三角形中B_.03（江苏）观察与发现：小明将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A 的直线折叠，使得AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图）.小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.实践与运用：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B

39、 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D处，折痕为 EG（如图）；再展平纸片（如图）.求图中的大小.【例 4】如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，EF 是 AD 的垂直平分线，E 为垂足，EF 交 BC 的延长线于点 F，求证：BCAF【解法指导】EF 是 AD 的中垂线，则可得AEFDEF，EAFEDF从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可 证明：EF 是 AD 的中垂线，AEDE，AEFDEF，EFEF，AEFDEF，243，3B1，24B1，12，B4【变式题组】01如图，点 D

40、 在ABC 的 BC 边上，且 BCBDAD，则点 D 在_的垂直平分线上 02如图，ABC 中，ABC90，C15，DEAC 于 E，且 AEEC，若 AB3cm，则 DC_cm 03如图，ABC 中，BAC126，DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线，则EAG_ 04.ABC 中，ABAC，AB 边的垂直平分线交 AC 于 F，若 AB12cm，BCF 的周长为 20cm，则ABC 的周长是_cm【例 5】（眉山）如图，在 33 的正方形格点图中，有格点ABC 和DEF，且ABC和DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的DEF【解法指导】在正方形格点图中，如果已

41、知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴 若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的DEF 如图所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的DEF如图所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的DEF 如图所示【变式题组】01（泰州）如图，在 22 的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格点图中所有与ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有_个 02（绍兴）如图甲，正方形被划分成 16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；涂黑部分成轴对称图形 如图乙是一种涂法

42、，请在图 13 中分别设计另外三种涂法（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）【例 6】如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，若牧童从 A 处出发牵牛到河岸 CD 处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？【解法指导】所求问题可转化为 CD 上取一点 M，使其 AMBM 为最小；本题利用轴对称知识进行解答 解:先作点 A 关于直线 CD 的对称点 A，连接 AB 交 CD 于点M，则点 M 为所求，下面证明此时的 AMBM 最小 证明：在 CD 上任取与 M 不重合的点 M，AA关于 CD 对称，CD 为线段 AA的中垂线，AMAM，MAM,在AMB 中

43、，有 ABAMBM，AMBMAMBM，AMBMAMBM，即 AMBM 最小【变式题组】01（山西）设直线 l 是一条河，P、Q 两地相距 8 千米，P、Q 两地到 l 地距离分别为 2 千米、5 千米，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站向 P、Q 两地供水现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）02若点 A、B 是锐角MON 内两点，请在 OM、ON 上确定点 C、点 D，使四边形 ABCD 周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点 演练巩固反馈提高 01（黄冈）如图，ABC 与ABC关于直线 l 对称，且A78，C48，则B 的度数是（）A48

44、B54C74D78 02（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为 AB，再以 AB 的中点 O 为顶点把平角AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A正三角形 B正方形 C正五边形 D正六边形 03图 1 是四边形纸片 ABCD，其中B120，D50，若将其右下角向内折出PCR，恰使 CPAB，RCAD，如图 2 所示，则C（）A80B85C95D110 04 如图，阴影部分组成的图案既是关于 x 轴成轴对称的图形又是关于 y 轴成轴对称的图形，若点 A 的坐标是（1，3），则点 M 和

45、点 N 的坐标分别是（）AM（1，3），N（1，3）BM（1，3），N（1，3）CM（1，3），N（1，3）DM（1，3），N（1，3）05点 P 关于 x 轴对称的对称点 P的坐标是（3，5），则点 P 关于 y 轴对称的对称点的坐标是（）A（3，5）B（5，3）C（3，5）D（5，3）06已知 M（1a，2a2）关于 y 轴对称的点在第二象限，则 a 的取值范围是（）A1a1B1a1Ca1Da1 07（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是_ 08（贵阳）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，则图中阴影部分的面积为_cm2.09已知点 A（2a3b，2）和 B（8，3a2b）关于 x 轴对

46、称，则 ab_.10 如图，在ABC 中，OE、OF 分别是 AB、AC 中垂线，且ABO20，ABC45，求BAC 和ACB 的度数 11如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的 4 个顶点，A、B 是桌面上的两个球，怎样击打 A 球，才能使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球？请画出 A 球经过的路线，并写出作法 12如图，P 为ABC 的平分线与 AC 的垂直平分线的交点，PMBC 于M，PNBA 的延长线于 N求证：ANMC 13（荆州）有如图“”的 8 张纸条，用每 4 张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为 2 个，且使每个正方形图

47、案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图（画出的两个图案不能全等）培优升级奥赛检测 01（浙江竞赛试题）如图，直线 l1与直线 l2相交，60，点 P 在内（不在 l1l2上）小明用下面的方法作 P 的对称点：先以 l1为对称轴作点 P 关于 l1的对称点 P1,再以 l2为对称轴作P1关于 l2的对称点 P2，然后再以 l1为对称轴作 P2关于 l1的对称点 P3，以 l2为对称轴作 P3关于 l2的对称点 P4，如此继续，得到一系列 P1、P2、P3Pn与 P 重合，则 n 的最小值是（）A5B6C7D8 02在平面直角坐标系中，直线 l 过点 M（3，0），且平行于 y 轴 如果ABC

48、三个顶点的坐标分别是 A（2，0），B（1，0），C（1，2），ABC关于y轴的对称图形A1B1C1，A1B1C1关于直线l的对称图形是A2B2C2，写出A2B2C2的三个顶点的坐标；如果点 P 的坐标是（a，0），其中 a0，点 P 关于 y 轴的对称点是点 P1，点 P1关于直线 l 的对称点是 P2，求 PP2的长 03（荆州）某住宅小区拟栽种 12 棵风景树，若想栽成 6 行，每行 4 棵，且 6 行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案 04（宜昌）已知：如图，AF 平分BAC，BCAF，垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称

49、，PB 分别与线段 CF、AF 相交于 P、M 求证：ABCD；若BAC2MPC，请你判断F 与MCD 的数量关系，并说明理由 05在ABC 中，BAC90，点 A 关于 BC 边的对称点为A，点 B 关于 AC 边的对称点为 B，点 C 关于 AB 边的对称点为 C，若 SABC1，求 SABC 06（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线 l，在直线 l 两边各放一粒围棋子 A、B，使线段 AB长 a 厘米，并关于直线 l 对称，在图中 P1处有一粒跳棋子，P1距 A 点 b 厘米、与直线 l的距离 C 厘米，按以下程序起跳

50、：第 1 次，从 P1点以 A 为对称中心跳至 P2点；第 2 次，从 P2点以 l 为对称轴跳至 P3点；第 3 次，从 P3点以 B 为对称中心跳至 P4点；第 4 次，从 P4以 l 为对称轴跳至 P1点；画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）棋子按上述程序跳跃 2011 次后停下，假设 a8，b6，c3，计算这时它与 A 的距离是多少？07（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B 两点的坐标分别为 A（2，3），B（4，1）若 P（p，0）是 x 轴上的一个动点，则当 p_时，PAB 的周长最短；若 C（a，0），D（a3，0）是 x 轴上的两个动点，则当 a