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1、中考集锦24（2013哈尔滨，24，6分）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O，已知AB=8米，设抛物线解析式为y=ax2-4(1)求a的值；(2)点C(-1,m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD、BC、BD，求BCD的面积【答案】解：(1)AB=8，由抛物线的对称性可知OB=4，B(4,0)，0=16a-4，a=(2)过点C作CEAB于E，过点D作DFAB于F，a=，y=x2-4.令x=-1，m=(-1)2-4=-,C(-1, -).点C关于原点对称点为D，D(1
2、，)，CE=DF=，SBCD=SBOD+SBOC=OBDF+OBCE=4+4=15BCD的面积为15平方米24（10分）（2013佛山）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面
3、积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2；（3）如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），PP=1，阴影部分的面积等于平行四边形AAPP的面积，平行四边形AAPP的面积=12=2，阴影部分的面积=2点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键27. （2011吉林，27，
4、10分）如图，将抛物线l1：yx2平移得到抛物线l2，且l2经过点O（0，0）和点A（4，0）l2的顶点为点B，它的对称轴与l1相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S解答下列问题：（1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴、顶点坐标（2）求点C的坐标，并直接写出S的值（3）在直线AC上是否存在点P，使得SPOAS？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【参考公式：抛物线yax2bxc的对称轴是x ，顶点坐标是（ ，）】【答案】解：（1）设l2的函数解析式为yx2bxc 解得yx24xyx24x（x2）24l2的对称轴是直线x2、顶点坐标B（2，4）（2）当x2时，yx24C点坐
5、标是（2，4）S8（3）存在设直线AC为ykxn把A（4，0），C（2，4）代入得 解得y2x8SPOAS 且S8SPOA8=4设POA的高为hSPOAOAh=2h=4h=2点P在x轴上方时当y=2时，2x8=2得x=5点P（5，2）点P在x轴下方时当y=2时，2x8=2得x=3点P（3，2）综上所述，满足条件的点有两个，分别是P1（5，2），P2（3，2）。25.有一副直角三角板,在三角板ABC中,BAC=90,AB=AC=6,在三角板DEF中,FDE=90,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,
6、将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动. (1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则EMC=_度；(2)如题25图（3），在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=,两块三角板重叠部分面积为,求与的函数解析式,并求出对应的取值范围.25. 解：（1）15；（2）在RtCFA中,AC=6,ACF=E=30,FC=6(3)如图(4),设过点M作MNAB于点N,则MNDE,NMB=B=45,NB=NM,NF=NB-FB=MN-xMNDEFMNFED,即，当时,如图(4) ,设D
7、E与BC相交于点G ,则DG=DB=4+x即;题25图(4)当时,如图(5),即;题25图(5)当时, 如图(6) 设AC与EF交于点H，AF=6x，AHF=E=30AH=综上所述，当时，当，当时，23（2013福建省三明市，23，14分）(本题满分14分）如图，ABC的顶点坐标分别为A(6，0)，B(4，0)，C(0，8)，把ABC沿直线BC翻折，点A的对应点为D，抛物线yax210axc经过点C，顶点M在直线BC上(1)证明四边形ABDC是菱形，并求点D的坐标；（4分）(2)求抛物线的对称轴和函数表达式；（5分）(3)在抛物线上是否存在点P，使得PBD与PCD的面积相等？若存在，直接写出点
8、P的坐标；若不存在，请说明理由（5分）OBMACDx y（第23题） xyO-4-3-2-11234-4-3-2-11234xyO-4-3-2-11234-4-3-2-11234 23-2-5-41x-35678910OBMACD y（第23题）-4-3-212345679101112【答案】解：(1)证明：A(6,0)，B(4,0)，C(0,8)，AB6410，AC10ABAC由翻折可知，ABBD，ACCDA BBDACCD四边形ABDC是菱形，CDAB又C(0,8)，点D的坐标是(10,8)(2)yax210axc， 对称轴为直线 设M的坐标为（5，n），直线BC的表达式为ykxb， y2
9、x8，点M在y2x8上n2582M（5，2） 又yax210axc经过点C和M，抛物线的对称轴和函数表达式为yx24x8(3)存在，P1（，），P2（5，38）22（6分）（2013牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质3718684分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x3；（2）首先求出A、B两点坐标，再算出A
10、B的长，再设P（m，n），根据ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），解得，二次函数的解析式为y=x2+2x3；（2）当y=0时，x2+2x3=0，解得：x1=3，x2=1；A（1，0），B（3，0），AB=4，设P（m，n），ABP的面积为10，AB|n|=10，解得：n=5，当n=5时，m2+2m3=5，解得：m=4或2，P（4，5）（2，5）；当n=5时，m2+2m3=5，方程无解，故P（4，5）（2，5）；点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐
11、标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式23.如图7-1，直线AB过点A（，0），B（0，），且（其中0，0）。（1）为何值时，OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图7-2，在（1）的条件下，函数的图像与直线AB相交于C、D两点，若，求的值。（3）在（2）的条件下，将OCD以每秒1个单位的速度沿轴的正方向平移，如图7-3，设它与OAB的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间（秒）的函数关系式（010）。解析：26（12分）（2013玉林）如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）（1）求点B，C的
12、坐标；（2）判断CDB的形状并说明理由；（3）将COB沿x轴向右平移t个单位长度（0t3）得到QPEQPE与CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围考点：二次函数综合题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；（2）分别求出CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定CDB为直角三角形；（3）COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：（I）当0t时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；（II）当t3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形解答：解：（1）点A（1，0）在抛物线y=（x1）2+c上，0=（11）
13、2+c，得c=4，抛物线解析式为：y=（x1）2+4，令x=0，得y=3，C（0，3）；令y=0，得x=1或x=3，B（3，0）（2）CDB为直角三角形理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）如答图1所示，过点D作DMx轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OBOM=2过点C作CNDM于点N，则CN=1，DN=DMMN=DMOC=1在RtOBC中，由勾股定理得：BC=；在RtCND中，由勾股定理得：CD=；在RtBMD中，由勾股定理得：BD=BC2+CD2=BD2，CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，B（3，0），C（0，3），解得k=1，
14、b=3，y=x+3，直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，直线QE的解析式为：y=（xt）+3=x+3+t；设直线BD的解析式为y=mx+m，B（3，0），D（1，4），解得：m=2，n=6，y=2x+6连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）在COB向右平移的过程中：（I）当0t时，如答图2所示：设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3t设QE与BD的交点为F，则：，解得，F（3t，2t）S=SQPESPBKSFBE=PEPQPBPKBEyF=33（3t）2t2t=t2+3t；（II）当t3时，如答图3所示：设PQ分别与BC、BD交于点K、点JCQ=t，KQ=t，
15、PK=PB=3t直线BD解析式为y=2x+6，令x=t，得y=62t，J（t，62t）S=SPBJSPBK=PBPJPBPK=（3t）（62t）（3t）2=t23t+综上所述，S与t的函数关系式为：S=点评：本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点难点在于第（3）问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系23（2013黑龙江龙东地区农垦、森工，23，6分） 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1，0)和B(3，0)两点，交y轴于点E（1）求此抛物线的解
16、析式（2）若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求DEF的面积【答案】解：（1）抛物线经过A(1，0)、B(3，0) b=2，c=3 y=x22x3 （2）根据题意得： 解得： D（4，5） 对于直线y=x+1，当x=0时，y=l；F（0，1）对于y= x22x3，当x=0时，y=3；F（0，3）EF=4 过点D作DMy轴于点M28（2013黑龙江龙东地区农垦、森工，28，10分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边AB在x轴上，ACB=90，原点O是斜边AB的中点,直角边AC、BC的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个根(ACBC)，将RtABC沿
17、着AE折叠，使点C落在x轴上的点D处。（1）求点D的坐标（2）求折痕AE所在直线的解析式（3）若点P是射线AE上一个动点，在坐标平面内，是否存在一点M，使得以P、E、D、M为顶点，DE为底的直角梯形面积为8？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。【答案】解：（1）x214x+48=0 解得：x1=6，x2=8ACBC，AC=6，BC=8 .在RtABC中，AB=10，AD=AC=6，AO=AB=5，D(1，0).（2）在RtBED中，EDB=90，在RtABC中，C =90EBD=ABC，BEDBAC.ED=3E（1，3） 设yAE=kx+b，可得，解得：yAE=x+答：直线AE的
18、解析式为yAE=x+（3）存在M1（） M2（-3，0） 23.（2013年齐齐哈尔本小题满分6分）如图，已知二次函数 的图象经过点A（4，0）、B（1，3）、C（3，3）.（1） 求此二次函数的解析式.（2） 设此二次函数的对称为直线L，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线L的对称点为M，点M关于轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值.第23题图24（12分）（2013鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，1），线段M1N1平移至线段MN处（注：M1与M，N1与N分别为对应点）（1）若M（2，5），请直接写出N点坐标（2）在（1）问的条件下，点
19、N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：，求m的值（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将ABP沿边PE折叠，APE与PBE重叠部分的面积恰好为此时的ABP面积的，求此时BP的长度考点：二次函数综合题3718684专题：综合题分析：（1）首先根据点M的移动方向和单位得到点N的平移方向和单位，然后按照平移方向和单位进行移动即可；（2）将点N的坐标代入函数的解析式即可求得k值
20、；（3）配方后确定点B、A、E的坐标，根据CO：OF=2：用m表示出线段CO、FO和BF的长，利用SBEC=SEBF+SBFC=得到有关m的方程求得m的值即可；（4）分当BPEAPE时、当BPE=APE时、当BPEAPE时三种情况分类讨论即可解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点M到点M可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，故点N的坐标为（55，1+3），即（0，2）N（0，2）；（2）N（0，2）在抛物线y=x2+x+k上k=2抛物线的解析式为y=x2+x+2 （3）y=x2+x+2=（x+2）2B（2，0）、A（0，2）、E（，1）CO：OF=2：CO=m，FO=m，B
21、F=2+mSBEC=SEBF+SBFC=（2+m）（m+1）=整理得：m2+m=0m=1或0 m0m=1 （4）在RtABO中，tanABO=ABO=30，AB=2AO=4当BPEAPE时，连接A1B则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，EHP是重叠部分E为AB中点，SAEP=SBEP=SABPSEHP=SABP=SEHP=SBHP=SABPA1H=HP，EH=HB=1四边形A1BPE为平行四边形BP=A1E=AE=2即BP=2 当BPE=APE时，重叠部分面积为ABP面积的一半，不符合题意；当BPEAPE时则对折后如图3，A1为对折后A的所落点EHP是重叠部分E为AB中点，SAEP=SBE
22、P=SABPSEHP=SABPSEBH=SEHP=SABPBH=HP，EH=HA1=1又BE=EA=2EHAP，AP=2在APB中，ABP=30，AB=4，AP=2APB=90，BP=，综合知：BP=2或；点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大27（10吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(2，0)，直线AB交x轴于点A(1，0)(1)求直线AB的解析式；(2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；OAGBDCEHxyF(3)
23、过点E作x轴的平行线EF交AB于点F将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得SPAGSPEH若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由25（09试考）如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分别为（0，1）、（2，4）点P从点A出发，沿ABC以每秒1个单位的速度运动，到点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和抛物线经过A、C两点过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R设点P的运动时间为t（秒），PQR的面积为S（平方单位） （1）求抛物线对应的函数关系式（2分） （2）分别求t
24、=1和t=4时，点Q的坐标（3分） （3）当05时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值（5分）【参考公式：抛物线的顶点坐标为，】28. （2011吉林，28，10分）如图，梯形ABCD中，ADBC，BAD90，CEAD于点E，AD8，BC4，AB5，从初始时刻开始，动点P、Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1/s，动点P沿AB CE的方向运动，到点E停止；动点Q沿B C E D的方向运动，到点D停止设运动时间为xs，PAQ的面积为y2（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题：（1）当x2s时，y 2；当xs时，y 2（2）当5x14时，求y与x之间的函数关系式（3）当动
25、点P在线段BC上运动时，求出使y S梯形ABCD的x的值（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值【答案】解：（1）2，9（2）25（2012吉林）如图，在ABC中，A=90，AB=2cm，AC=4cm动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QFBC，交AC于点F设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2（1）当t=_s时，点P与点Q重合；（2）当t=_s时，点D在QF上；（3）当
26、点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式25（10分）（2013郴州）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形3718684分析：（1）根据等边对等角可得A=C，然后根据两
27、直线平行，同位角相等求出CPE=A，从而得到CPE=C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据SPCE，SAPF，SABC，再根据S=SABCSPCESAPF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答解答：（1）证明：AB=BC，A=C，PEAB，CPE=A，CPE=C，PCE是等腰三角形；（2）解：PCE是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k，EM=CMtanC=k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于BH=AH
28、tanA=8k=4k，而EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=816=64，S=SABCSPCESAPF，=64x2（8x）2，=2x2+16x，配方得，S=2（x4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点24（2013湖南岳阳，24，10分）如图，已知以E（3,0）为圆心，以5为半径的与x轴交于A，B两点
29、，与y轴交于C点，抛物线经过A，B，C三点，顶点为F（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知M为抛物线上的一动点（不与C点重合），试探究：使得以A，B，M为顶点的三角形面积与的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；若探究中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与的位置关系，并说明理由 图1 图2【答案】28（12分）如图，在 ABC中， C=90，BC=3，AB=5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动
30、时间为秒（1）当=7时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为s平方单位求s与之间的函数关系式；当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积解：（1）在直角ABC中，AC=4，则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+54.5=7.5根据题意得：（t4.5）+2（t4.5）=7.5，解得：t=7（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒则当0t
31、2时，若PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3t=2t，解得：t=1当2t3时，若PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）则Q在PC的中垂线上，作QHAC，则QH=PCAQHABC，在直角AQH中，AQ=2t4，则QH=AQ=PC=BCBP=3t，（2t4）=3t，解得：t=；（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t3，BQ=2t9，即AQ=5（2t9）=142t同（2）可得：PCQ中，PC边上的高是：（142t），故s=（2t9）（142t）=（t2+10t2）故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点（如图2）沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，PD一定是AC的中垂线则AP=AC=2，PD=BC=，则SAPD=APPD=2=AQ=142t=1425=4则PC边上的高是：AQ=4=则SPCQ=PC=2=故答案是：7
