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1、二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四
2、种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。图1练习. 已知，求函数的最值。 图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 图1图2图8例3. 已知，当时，求的最大值 。二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动
3、的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4. 已知，且，求函数的最值。解 。图3例5. (1) 求在区间-1,2上的最大值。(2) 求函数在上的最大值。 4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6. 已知，求的最小值。 二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。 例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 三、巩固训练1函数在上的最小
4、值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 ,3 （C） ,3 （D）, 32函数在区间 上的最小值是 （） 23函数的最值为 （）最大值为8，最小值为0不存在最小值，最大值为8 （C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值4若函数的取值范围是_5已知函数上的最大值是1，则实数a的值为 6如果实数满足，那么有 （ ） (A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无最大值，最小值为 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为7已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8若，那么的最小值为_9设是方程的两个实根，则的最小值_10设求函数的最小值的解析式。11已知，在区间上的最大值为，求的最小值。12.（2009江苏卷）设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
