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1、抗旱方案的制定摘要在本问题中我们主要对抗旱方案的问题制定了一个优化模型，根据题目要求，我们可以制定多种方案，在这里我们只是针对其中的三种方案进行了讨论，第一种方案是只进行打井，第二种方案是只进行管道铺设，第三种方案是打井和管道铺设同时进行，在这里我们认为第三种方案为最优，并对其进行了模型的建立，先用matlab计算出20102014年四口井的产水量，在运用lingo进行优化求解，求出从2010年起三年的打井和铺设管道计划能使整个计划的总开支最节省且供水量达到最优，在求费用最优时我们引入了变量Wij，且其只能取0或1，0-1变量表示第i年打第j口井，总费用为打井费用和铺设管道的费用，目标函数m为
2、总的费用的最小值，即是求得的最优解，最后利用excel表格进行验证，得出本模型为最适模型。关键词：产水量 优化求解 总开支一、问题重述：我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足20mm是典型的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造的小蓄水池，用来屯积每逢下雨时获得的雨水，另一方面是利用村里现有的四口水井。由于近年来环境破坏，经常是一连数月滴雨不下，这些小蓄水池的功能完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产水量粗略统计数字。2009年以来，水井的水远远不能满足需要。为此政府从两方面考虑解决这一难题：一是地
3、质专家勘探找到了8个可供打井位置，因每个位置打井的费用和预计的年产水量不同，预计每口井的年产水量还会以平均每年10%的速率减少；二是通过铺设管道的方法从20公里外的地方把河水引入该村，铺设管道的费用为P=0.66Q0.51L(万元)，铺设管道需三年完成，且每年铺设管道的费用为万元的整数倍。1、若完成后每年能通过管道至少能提供100万吨水。2、政府从2010年开始连续三年每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支最节省（不
4、考虑小蓄水池的作用和利息的因素在内）。二、模型假设1、 假设该村的供水仅由井水和管道提供2、 不考虑其他因素影响管道三年建成且第四年开始供水3、 在所打井中实际供水量不低于预测供水量4、 表2的每口水井的年产水量会以固定的每年10%速率减少。三、符号说明：1、只能取0或1，0-1变量表示第年打第口井2、表示铺设管道的总费用3、表示前三年每年铺设管道的费用4、表示前三年每年铺设管道的长度5、表示管道的输水量6、表示铺设管道费用和打井给用之和四、模型的建立与求解：问题一、根据题意我们得出了多种方案：方案一：只进行打井，现有四口井则2009年的供水总量为52.5万吨，则根据题意可得到20102014
5、年的供水量（见附表），我们预测八口井2010年的供水总量为201万吨，从2010年开始第年的供水量为，求得第四年2013年的供水量万吨；第五年2014年的供水量万吨。可得到其供水量不符合题目的要求，故此方案不能采用。方案二：只进行管道的铺设，而管道铺设需要三年，在此期间村民用水只能靠这四口井，但它的供水量明显少于需要达到的供水量150、160、170万吨。（见附表）所以这个方案不符合要求，故不采用这一方案。方案三：打井和铺设管道同时进行利用表一分析得出2010-2014年各井的预产水量，用matlab进行一次或多次拟合。计算出现有四口井在2010年至2014年的产水量。（1）一号井的计算如下：
6、x=1:1:9;y=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7;A=polyfit(x,y,1)Z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,Z,r)A = -1.2017 33.4639图1 一号井拟合 x=10 11 12 13 14;y=-1.2017*x+33.4639y = 21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401得到的数据为：21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401。所以1号井的产水量为：21.4469 20.2452 19.0435 17.8418
7、 16.6401。（2）二号井计算如下： x=1:1:9;y=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;A=polyfit(x,y,3)Z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,Z,r)A = -0.0311 0.7966 -7.5771 28.2357图2 二号井拟合 x=10;11;12;13;14;y=-0.0311*x.3+0.7966*x.2-7.5771*x+28.2357y = 1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679 -7.0485得到的数据为：1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679
8、-7.0485。所以2号井的产水量为：1.0247 0 0 0 0。（3）三号井计算如下： x=1:1:9;y=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;A=polyfit(x,y,2)Z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,Z,r)A = 0.0012 -2.0969 30.0024图3 三号井拟合 x=10;11;12;13;14;y=0.0012*x.2-2.0969*x+30.0024y = 9.1534 7.0817 5.0124 2.9455 0.8810得到的数据为：9.1534 7.0817 5.0124 2.9
9、455 0.8810所以3号井的产水量为：9.1534 7.0817 5.0124 2.9455 0.8810 。（4）四号井计算如下： x=2:1:9;y=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;A=polyfit(x,y,1)Z=polyval(A,x)plot(x,y,k+,x,Z,r)A = -3.7048 45.5262Z = 38.1167 34.4119 30.7071 27.0024 23.2976 19.5929 15.8881 12.1833图4 四号井拟合 x=10;11;12;13;14;y=-3.7048*x+45.5262y
10、= 8.4782 4.7734 1.0686 -2.6362 -6.3410得到的数据为：8.4782 4.7734 1.0686 -2.6362 -6.3410。所以4号井的产水量为：8.4782 4.7734 1.0686 0 0。综上所述：四口井2010-2014年的预产水量分别为： 年份 产水量 井号 20102011201220132014一号井21.446920.245219.043517.841816.6401二号井1.02470000三号井9.15347.08175.01242.94550.8810四号井8.47824.77341.068600各年份总产水量40.103229.
11、79225.124520.787317.5211表3 四口井2010-2014年的预产水量（万吨）问题二、模型建立问题一中我们已经算出出现有四口井在2010年至2014年的产水量，为保证能达到需水要求我们的做一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。也就是一个优化规划，我们可以用LINGO9.0软件进行优化规划求解。求出费用的最少，一共打几口井提供多少水量以及打井费用为多少，管道的供水量为多少以及管道费用多少。由题目的要求，在这里我们引入0-1变量。只能取0或1，0-1变量表示第年打第口井，总费用为打井费用和铺设管道费用，目标函数为总的费用的最小值。0 表示不打
12、此井wij=（i=1,2，5. j=1,2,8）1 表示打此井依据上面的两个条件，我们建立以下目标函数Z上的线性表达式和约束条件，得到了以下的标准形式目标函数：Min=+;约束条件：L1+L2+L3=20;P1=0.66*Q0.51*L1;s.t. P2=0.66*Q0.51*L2;P3=0.66*Q0.51*L3;Q=100;5*W11+7*W12+5*W13+4*W14+6*W15+5*W16+5*W17+3*W18+P1=60;5*W21+7*W22+5*W23+4*W24+6*W25+5*W26+5*W27+3*W28+P1=60;5*W31+7*W32+5*W33+4*W34+6*W
13、35+5*W36+5*W37+3*W38+P3=60;5*W41+7*W42+5*W43+4*W44+6*W45+5*W46+5*W47+3*W48=60;5*W51+7*W52+5*W53+4*W54+6*W55+5*W56+5*W57+3*W58=150;s.t. ( 25*W11+36*W12+32*W13+15*W14+31*W15+28*W16+22*W17+12*W18 )*0.9+42.282=160;( 25*W11+36*W12+32*W13+15*W14+31*W15+28*W16+22*W17+12*W18)*0.92+38.0538=170;( 25*W11+36*W1
14、2+32*W13+15*W14+31*W15+28*W16+22*W17+12*W18 )*0.93+34.2484+Q=180;( 25*W11+36*W12632*W13+15*W14+31*W15+28*W16+22*W17+12*W18)*0.94+30.8236+Q=190;在lingo（见附表）中求解得：由图得到：w11 = 1，w12 = 1,w13 = 1, w15 = 1,w16 = 1 ，w18=1 . Q = 100.0000 , L1 =3.7028 , L2 = 8.1487 , L3 = 8.1487. P1 =25.59023 , P2 = 56.31606 ,
15、P3 = 56.31606 .M = 168.6975结果分析：由于每年铺设管道的费用必须为整数，所以取值为： P1=26 P2=56, P3=56 .因此铺设管道的总费用为P=138万元。总共打1、 2、3 、5 、6 号井的总费用为5+7+5+6+5+3=31万元。所以M=138+31=169万元。模型检验：经过分析验证：本模型的规划在2010-2014年中总产水量符合本题的要求，如下表年20102011201220132014原有量46.9842.28238.053834.2484230.82358打井产量164147.6132.84119.556107.6004铺管道000100100
16、总产水量210.98189.882170.8938253.8044238.424符合符合符合符合符合表4 2010-2014年中总产水量检验（万吨）该村打井和铺设管道费用如下表：年数费用 打井铺管P年总费用总费用M20103126571692011565620125656表5 打井和铺设管道费用（万元）则本模型20102012年中费用均不超过60万，符合要求。所以本模型是对题目做出的最优模型。我们将其推广到2020年，保证该村从2015至2020年这五年间每年至少获得200万吨水。如下表年201520162017201820192020原有量27.7412224.967122.4703920.
17、2233518.2010116.38091打井产量96.8403687.1563278.4406970.5966263.5369657.18326铺管道100100100100100100总产水量224.5816212.1234200.9111190.82181.738173.5642符合符合符合不符不符不符表6 2015至2020年的预测产水量（万吨）在推广中我们得出本模型只适用到2017年，从2018年开始需进行重新规划才能使它达到预期效果。 五、模型的评价本模型中将铺设管道和打井同时应用，在保证供水量达到最大的同时也使得整个计划的总支出达到最少，为政府节省了不必要的支出；最后我们也进行了
18、验证。但在本模型中没有考虑雨水的积蓄，使得雨水资源得不到充分的利用，这与实际生活联系的不够紧密，实际生活中应该将其充分的利用，合理调配水资源，尽量减少生活用水用于生产上，而又能让雨水积蓄的水资源得到合理充分的利用既能保证正常的生产又能减少对生活用水的破坏。六、参考文献1 杨启帆.方道元.数学建模M.杭州：浙江大学出版社，1999年.2 姜启源.谢金星.数学建模M.北京：高等教育出版社，2003年.3 李 涛.贺勇军.应用数学篇M.北京：电子工业出版社，2000年.4 白凤山等.数学建模(上册)M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003年.附表表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）年份产水量编
19、号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 10个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产水2536321531282212问题二、在LINGO9.0软件中输入下面数据，并运行（程序代码）：Min = 5*w11+7*w1
20、2+5*w13+4*w14+6*w15+5*w16+5*w17+3*w18+p1+5*w21+7*w22+5*w23+4*w24+6*w25+5*w26+5*w27+3*w28+p2+5*w31+7*w32+5*w33+4*w34+6*w35+5*w36+5*w37+3*w38+p3+5*w41+7*w42+5*w43+4*w44+6*w45+5*w46+5*w47+3*w48+5*w51+7*w52+5*w53+4*w54+6*w55+5*w56+5*w57+3*w58;l1+l2+l3=20;p1=0.66*Q0.51*l1;p2=0.66*Q0.51*l2;p3=0.66*Q0.51*l
21、3;Q=100;5*w11+7*w12+5*w13+4*w14+6*w15+5*w16+5*w17+3*w18+p1=60;5*w21+7*w22+5*w23+4*w24+6*w25+5*w26+5*w27+3*w28+p2=60;5*w31+7*w32+5*w33+4*w34+6*w35+5*w36+5*w37+3*w38+p3=60;5*w41+7*w42+5*w43+4*w44+6*w45+5*w46+5*w47+3*w48 =60;5*w51+7*w52+5*w53+4*w54+6*w55+5*w56+5*w57+3*w58 =60;w11+w21+w31+w41+w51=1;w12+
22、w22+w32+w42+w52=1;w13+w23+w33+w43+w53=1;w14+w24+w34+w44+w54=1;w15+w25+w35+w45+w55=1;w16+w26+w36+w46+w56=1;w17+w27+w37+w47+w57=1;w18+w28+w38+w48+w58=150;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9+ 42.282=160;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9*0.9+38.0538
23、=170;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9*0.9*0.9+34.2484+Q=180;(25*w11+36*w12+32*w13+15*w14+31*w15+28*w16+22*w17+12*w18)*0.9*0.9*0.9*0.9+ 30.8236 +Q=190;end结果如下所示Local optimal solution found. Objective value: 168.6975 Total solver iterations: 44 Variable Value Reduced Cost
24、W11 1.000000 0.000000 W12 1.000000 0.000000 W13 1.000000 0.000000 W14 0.000000 0.5909091 W15 1.000000 0.000000 W16 1.000000 0.000000 W17 0.000000 0.000000 W18 1.000000 0.000000 P1 25.58933 0.000000 W21 0.000000 5.681818 W22 0.000000 8.181818 W23 0.000000 7.272727 W24 0.000000 4.000000 W25 0.000000 7
25、.045455 W26 0.000000 6.363636 W27 0.000000 5.000000 W28 0.000000 3.000000 P2 56.31582 0.000000 W31 0.000000 5.681818 W32 0.000000 8.181818 W33 0.000000 7.272727 W34 0.000000 4.000000 W35 0.000000 7.045455 W36 0.000000 6.363636 W37 0.000000 5.000000 W38 0.000000 3.000000 P3 56.31582 0.000000 W41 0.00
26、0000 5.681818 W42 0.000000 8.181818 W43 0.000000 7.272727 W44 0.000000 4.000000 W45 0.000000 7.045455 W46 0.000000 6.363636 W47 0.000000 5.000000 W48 0.000000 3.000000 W51 0.000000 5.681818 W52 0.000000 8.181818 W53 0.000000 7.272727 W54 0.000000 4.000000 W55 0.000000 7.045455 W56 0.000000 6.363636
27、W57 0.000000 5.000000 W58 0.000000 3.000000 L1 3.702670 0.000000 L2 8.148665 0.000000 L3 8.148665 0.000000 Q 100.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 168.6975 -1.000000 2 0.000000 -6.911048 3 -0.5012167E-05 -1.000000 4 -0.1996237E-05 -1.000000 5 -0.1996237E-05 -1.000000 6 0.000000 -0.7049
28、269 7 3.934179 0.000000 8 3.684179 0.000000 9 3.684179 0.000000 10 60.00000 0.000000 11 60.00000 0.000000 12 0.000000 0.6818182 13 0.000000 1.181818 14 0.000000 2.272727 15 1.000000 0.000000 16 0.000000 1.045455 17 0.000000 1.363636 18 0.5047026 0.000000 19 1.000000 0.000000 20 59.87654 0.000000 21 28.88889 0.000000 22 0.000000 -0.2805836 23 72.99998 0.000000 24 47.70002 0.000000
