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1、题型三 填空压轴之几何图形多解问题1. 已知正方形ABCD的边长为4，如果P是正方形对角线BD上一点，满足ABPCBP，若PCB为直角三角形，则BP的长为_2. 如图，在矩形ABCD中，AB8，AD6，E为AB边上一点，将BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当AEF为直角三角形时，BE_ 第2题图 第4题图3. 在矩形ABCD中，AB4，BC6，若点P在AD边上，连接PB、PC，BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为_4. 如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，点P、Q分别为直线AB、BC上的点，满足PDPQ，则当PDQ为等腰三角形时，AP的长为_5. 已知ABC中，tanB，BC6，过
2、点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BDCD21，则ABC面积的所有可能值为_6. 如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边AB为4，把它剪开两次拼成一个矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB平行，则矩形的周长为_第6题图 第7题图7. 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD8，MN为对角线BD的垂直平分线，以BD为底边作等腰三角形BPD，使得点P落在直线MN上，且PD5，则AP_8. 在RtABC中，A90，ABAC2，D是边AC上的动点，满足BD的垂直平分线交BC于点E，若CDE为直角三角形，则BE的长为_9. 如图，在四边形ABCD中，AABC90，AD1，BC3，E是边CD的中
3、点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，若BCD是等腰三角形，则四边形BDFC的面积为_ 第9题图 第10题图10. 如图，在矩形ABCD中，AB6，AD2，E是AB边上一点，AE2，F是直线CD上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，当点E、A、C三点在一条直线上时，DF的长度为_11. 已知在RtABC中，斜边AB5，BC3，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至ABC的位置，那么当点C落在直线AB上时，BB_12. ABC中，AB4，BC6，B60，将ABC沿射线BC方向平移得到ABC，使得BC4，连接AC，则ABC的周长为_13. 如图，在ABCD中，A60，AB3，点E、F
4、分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C，点D的对应点为D，若BD1，则AD的长为_ 第13题图 第14题图14. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形如图，在互补四边形纸片ABCD中，BABC，ADCD，AC90，ADC30.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为_15. 如图，在RtABC中，B90，BC2AB8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将EDC绕点C按顺时针方向旋转，当EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的
5、长为_第15题图参考答案1. 4或8【解析】由题可知，ABPCBP，点P一定处于正方形对角线BD上，共存在两种情况使PBC为直角三角形，(1)如解图，当CPPB时，有PC2PB2BC2.又CBP45，PBPC，BP4；(2)如解图，当P点与D点重合时PBC为直角三角形，BPBC8.第1题解图2. 3或6【解析】如解图，当AFE90时，设BEx，则EFx，AE8x，FCBC6，由勾股定理得AC10，AF1064，在RtAEF中，42x2(8x)2，解得x3，BE3；如解图，当AEF90时，四边形BCFE是正方形，BEBC6.综上所述，BE3或6.第2题解图3. 5或6【解析】如解图，当PBPC时
6、，点P是BC的中垂线与AD的交点，则APDPAD3，在RtABP中，由勾股定理可得PB5；如解图，当PBBC6时，BPC也是以PB为腰的等腰三角形综上所述，PB的长度为5或6.第3题解图4. 1或7 【解析】PDQ是等腰三角形，分三种情况：如解图，若点P在线段AB上，DPQ90，PDPQ，APDBPQ90，在矩形ABCD中，AB90，APDADP90，ADPBPQ，DAPPBQ(AAS)，PBAD3，AP431；如解图，若点P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于点Q，PDPQ，同理可证ADPBPQ，ADPB，APABAD347；当P在线段BA的延长线上时，显然不成立，故AP的长为1或7.
7、第4题解图5. 8或24【解析】如解图，BC6，BDCD21，BD4，在RtABD中，ADBDtanB4，SABCBCAD68；如解图，BC6，BDCD21，BD12，在RtABD中，ADBDtanB128，SABCBCAD6824.ABC面积的所有可能值为8或24.第5题解图6. 13或14【解析】分为两种情况：如解图，沿MN剪开，再沿CQ剪开(CDAB于点D，MN为ABC的中位线，CD交MN于点Q)，将CQN放在BFN的位置上，CQM放在AEM的位置上，由三角形面积公式得104CD，解得CD5，MN为ABC的中位线，CQDQCD2.5，矩形AEFB的周长为(2.54)213；如解图，沿NQ
8、、MT剪开(N、M分别为AC、BC中点，EQBA于点Q，FTAB于点T，CDAB于点D)，将AQN放在CEN的位置上，BTM放在CFM的位置上，由三角形面积公式得104CD，解得CD5，N为AC中点，CDEQ，AQDQ，同理BTDT，QTAB2，矩形EQTF的周长为(52)214.故答案为13或14.第6题解图7. 3或【解析】如解图，连接BM，DN，AN，得到四边形BNDM为菱形，BMMD，AMMDAMBMAD8，在RtABM中，设AMx，则BM8x，AB4，根据勾股定理得：x242(8x)2，解得x3，AM3，MD5.当PB和PD在BD上方时，点P与点M重合，则APAM3；当PB和PD在B
9、D下方时，点P与点N重合，由对称性得到PDNDBNMD5，在RtABN中，AB4，BN5，根据勾股定理得：AN，此时APAN.综上所述，AP的长为3或.第7题解图8. 1或2【解析】当CED90时，点D与点A重合，E是BC的中点，如解图.BCAB(2)2(1)，BEBC2(1)1；当CDE90时，如解图，A90，ABAC，C45，CDE是等腰直角三角形，CEDE，易得BEDE，CEBE，CEBEBEBE2(1)BE2.综上所述，若CDE为直角三角形，则BE的长为1或2.第8题解图9. 6或3【解析】AABC90，BCAD，CBEDFE，BECFED，CEDE，BECFED(AAS)，BEFE，
10、四边形BDFC是平行四边形，当BCBD3时，在RtABD中，AB2，S四边形BDFC326；当BCCD3时，如解图，过点C作CGAF于点G，则四边形ABCG是矩形，AGBC3，DGAGAD312，在RtCDG中，CG，S四边形BDFC33；BDCD时，BC边上的中线应与BC垂直，从而BC2AD2，矛盾，此时不成立故四边形BDFC面积为6或3.第9题解图10. 62或62【解析】如解图，F是线段CD上一动点，由翻折可知，FEAFEA，CDAB，CFEAEF，CFECEF，CECF，在RtBCE中，EC2，CFCE2，ABCD6，DFCDCF62；如解图，F是DC延长线上一点，由翻折可知，FEAF
11、EA，CDAB，CFEBEF，CFECEF，CECF，在RtBCE中，EC2，CFCE2，ABCD6，DFCDCF62，故答案为62或62. 图 图第10题解图11. 或3【解析】如解图，当点C在线段AB上时，AB5，BC3，在RtABC中，AC4，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至ABC的位置，AC4，BC1，BC3，BB；如解图，当点C在线段BA的延长线上时，AB5，BC3，AC4，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至ABC的位置，BC9，BC3，BB3.故长BB长为或3. 图 图第11题解图12. 12或84【解析】当点B在线段BC上，如解图，ABC沿射线BC方向平移得到ABC，ABAB4
12、，BCBC6，ABCABC60，BC4，ABBC，ABC为等边三角形，ABC的周长为12；当点B在线段BC的延长线上，如解图，作BHAC，ABC沿射线BC方向平移得到ABC，ABAB4，ABCABC60，BC4，ABBC，BCABAC，CHAH，而ABCBCABAC，BCA30，在RtBCH中，BCH30，BHCB2，CHBH2，AC2CH4，ABC的周长44484.故答案为12或84.第12题解图13. 4或8【解析】如解图，当点D在线段AB上时，ADABBD312，E是AD的中点，AEDE，由折叠的性质得EDED，EDAE，A60，AED是等边三角形，AEAD2，AD4.如解图，当点D在A
13、B的延长线上时，ADABBD4.同理可知AED是等边三角形，AEAD4，AD8. 图 图第13题解图14. 2或42【解析】如解图，作CEAB交BD于点E，延长CE交AD于点F，连接AE，过点B作BGAE于点G，BABC，此时的平行四边形ABCE为菱形，BADBCD90，ADC30，ABCF，CFD90，BCEBAEAEF30，设BGm，则BA2m，菱形ABCE的面积为4，2mm4，解得m(负值舍去)，AECEBA2，EFAEcos30，CF2，在RtCFD中，CD2CF42；如解图，作BEAD交CD于点E，作BFCD交AD于点F，根据折叠与裁剪可知BEBF，此时的平行四边形BEDF也是菱形，
14、BEFD，BECADC30，AC90，设BCn，则BE2n，CEn，菱形BEDF的面积为4，2nn4，解得n(负值舍去)，BC，DEBE2，CE，CDCEDE2，综上所述，CD的长为2或42.第14题解图15. 4或【解析】如解图，易得AC4，CD4，CDAD，AD8，ADBC，ABDC，B90，四边形ABCD是矩形，BDAC4；如解图，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，AC4，CD4，CDAD，AD8，点D、E分别是边BC、AC的中点，DEAB2，AEADDE826，CE2，ECDACB，ECADCB，又，ECADCB，BD，综上所述，BD的长为4或. 第15题解图 第15题解图
