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1、JP.ZXXK.COM,学科网精品频道全力推荐专题02函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1 .若函数Ar)为偶函数，则於)=式园)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论.2 .以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围， 是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问 题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1设函数r)=ln(l+x)- R则使得(x)X2-D成立的K的取值范围是()A.(1, 1)B.(-8, )u(1, )【答案】A 【分析】发现函数Kr)为偶函数，直接利用/工)= 川刈，将“变量化止”，
2、转化为研究函数函数於)在(0, +oo)上单调性，逆用单调性脱了.【解析】易知函数7U)的定义域为R,且於)为偶函数.当工力0时，:幻=M(I +幻一1 +/,易知此时H)单调递增.1所以小)X2-l)7(kl)X2-l),所以m2-l,解得， 2 ,则实数X的取值范围为.【答案】(-1,3)【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令F(X) =/)-l = e -e,易知产3是奇函数且在R上单调递增由心 1) + /(4_犬)2 得/(I-D = TfQDT即 F(4-x2)-F(2x-1)由
3、 FM 是奇函数得一厂(2x-1)= F(l-2x),故 F(4-x2)F(1- 2x)由尸(X)在R I二单调递增，得4-Wl-2,即d-2x-3v,解得一lx3,故实数X的取值范围为(一1,3).2T I例4已知函数/(X) =匕/二，若/(2x-2)(2-+2),则实数X的取值范围是()A. -2,-lB. l,+oo)C. RD. (o,-21,-hx)【答案】D2-X 1【解析】函数r ；=2TXT,故f()关于直线x = l对称，且在1, +)上单 21减，函数八幻的图象如下：f (2x-2).(x2-x + 2),且fr + Z = /+(恒成立，.,. 2x 2 1, xx +
4、 2 - 1 t 即 12x 31 x x 1 33当.一时，不等式化为：2x-X x2-x+l,即 x2-3x + 4.0,解得 xR,即 X.一；223当x一时，不等式化为：3-2,fr + ,即x2+x-2.0,解得用，一2或x.l,即23R, -2或 1 X 2iog3r) + f(3k)g3Ll)logj按照“左右形式相当，一边一个变 3量”的原则，移项变形为/(31og3-1)2IogJ-/(1 21呜) 易知/() = 3=3T是奇函数，故进一步变为f(3iog3f-l) + (31og3fT)(21og3fT) + (21og3fT)(#),故下步需构造函数尸(X) = f(x
5、)+x,转化为研究尸(X) =/(x)+x的单调性，而产(X) =/(x) +X单增，故(#)可化为l0g3f 0 , p31og3f-l21og3r-l,解之【巩固训练】1 .若函数/(x)=xln(x+J + f)为偶函数,则实数二2 .设函数x) = ln(l + W)-占y,则使得力/成立的X的取值范围是().A. (l,+)B. (-,-l)U(l,+oo)C. (-U)D. (-1,O)U(OJ)3 .己知函数/。) = 一2,则满足f(2-5x) + f0的实数X的取值范围是.4 .已知函数/(X) = xx+3x+l ,若/() + (a2-2)v2 ,则实数。的取值范围YI
6、I %*5 .己知函数/(幻=(),则实数4的取值范围是2xX , % 0(1A ( l6 .己知函数g(x) = e*-6一，/(力=空(尤)，若 =/ ln-J, Z? = / 0.24 , c = (5l2),则、b、C的大小关系为()A. bac B. cbac. bcaD. ab0的解集为().A.,+8I 2020B. (-2020, )D.JP.ZXXK.COM4舟用力句，让4M文若舄！学科网精品频道全力推荐7 r29.已知函数/(x) = x2-T- +1.若存在m(1,4)使得不等式/(4-7)3 + 1/(+3m)2成立，则实数。的取值范围是. (-,7)8. (-, 7
7、C. (-oo,8)D. (-,8【答案与提示】1 .【答案】1【解析】g(x)=In 卜+Jo + f)奇函数,g(0)=in 右=0, a = l.2 .【答案】B【解析】/(x)偶函数，且在(0,+)单增，/(x)“l)转化为冈1,解得%1或x0转化为2-5x + 6(),解得 2x3,4 .【答案】(-2,1)【解析】设g() = +3x,则g(x)奇函数,且单增，而/(x) = g(x) + l,由/() + /(a? - 2) 2 得 /一2)-1V 1 - fa)即 g-2)v -g() = g(-a),故a2-2/得2-/a.-20时，g(x) = ex-exO,任取% ，一百
8、涉，ve，所以，/1一行司 /2 ef ,g(%)g(z), %g(%)g(),即/(%)(w),JP.ZXXK.COM= 0n3),学科网精品频道全力推荐所以，函数y = (x)在(0,+e)上单调递增，a = fHn = f00.2昊0.2 = 1山355则/ 2 03)(512), Z即8OG=k,所以J77T+0,所以尸(%)的定义域为RF(-x) = 2020r + Iog2020 px2+l- , - 2020v= 2020t +Iog2020-2020yx2+x(JX2 +1 - ) ( y2 + + 人)= 2020r+Iog2020 -=2020LVx2+1 +1_= 202
9、0-v-log2020 (x2 +1 +x)-2020 =-F(x), 所以尸(X)为奇函数，F(O) = O.当X0时，y = 2020 = -202(*,y = log2020(7W+x)都为增函数, 所以当0时，F(X)递增，所以F(X)在K上为增函数.由/(2x+l) + /(x+1)20,得f(2xl)-1f01 O 即 F(2x+1)+/(x+l)O,所以2x+l+x+l0,解得4一.(2)所以不等式的解集为,+8 .故选：CI 3 )9 .【答案】C【解析】人上入篙+? J占上2JP.ZXXK.COM,学科网精品频道全力推荐 _ 1设g(X)= /()-l = Y3二，则g(X)
10、为定义在R的奇函数3+1所以f(x)关于点(0,1)对称又 g()=f7+f.3r-l3rl=2x3x- 21n3x23x d 3 + 1 3r+l所以当40时，g(x)0, g(x)在(0,e)上单增故g(x)在(-,+)上也单增 因为 /(4- ma) + f(n2 + 3m) 2 可化为 /(4 - ma) -f (rn2 3m) +1所以 g(4 ma) -g(m2 + 3m)因为 g(x)为 R 的奇函数，g(4-ma) -g(m2 + 3m) = g(-m2 -3m)所以 4 一Za -m2 - 3m4 又因为存在(1,4)使得不等式4-ma -m2 -3m成立，分参得am-F3m4易得m + - + 37,8),所以0v8,故选C m
