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1、3.1数系的扩充和复数的概念,毕达哥拉斯（约公元前560480年）,“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉,计数的需要,正整数,零,自然数,远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用手指或石子数个数，历经漫长的岁月，创造了正整数1、2、3、4、5、正整数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地,古代印度人最早使用了“0”公元5世纪时，“0”已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用“0”。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0”的一些好处和说明，就被教皇召去，砍去了双手,中国是世界上最早认识应用负数的国家.
2、早在2000多年前的九章算术中,就有正数和负数的记载.公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入,解决了在自然数集中不够减的矛盾,自然数集,整数,负整数,自然数,正整数,零,整 数 集,分 数 的 出 现,随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！自然数、分数和零，通称为算术数。自然数也称为正整数,分数的引入,解决了在整数集中
3、不能整除的矛盾,整数,负整数,自然数,正整数,零,分数,有理数,有理数集,关于无理数的发现 2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,将他扔入了大海.,希伯斯发现的这类数,被称为无理数.,毕达哥拉斯 约公元前560480年,无理数的引入 解决了开方开不尽的矛盾,无理数,实数,实 数 集,【问题1】在自然数
4、集中方程 有解吗?,【问题2】在整数集中方程 有解吗?,【问题3】在整数集中方程 有解吗?,【问题4】在有理数集中方程 有解吗?,【问题4】在有理数集中方程 有解吗?,没有实数根,现在我们要进行数系的再 一次扩充就是要解决这个 问题，怎么解决？,1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了”,能作为“数”吗？,它表示什么意义？,历史回顾,1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”,(R.Descartes,1596-1661),笛卡尔,?,虚数,?,(1)形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,通常用字母 z 表示.,(
5、3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.,2复数的概念,实部,虚部,其中 称为虚数单位.,(2),1新数 i 叫做虚数单位,并规定：（1）i 2 1；（2）实数可以与 i 进行四则运算,在进 行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.,例题讲解,例1.写出下列复数的实部与虚部.,解:4的实部为 4,虚部为 0;,2-3i的实部为 2,虚部为-3;,0的实部为 0,虚部为 0;,的实部为,虚部为;,的实部为 5,虚部为;,6i的实部为 0,虚部为 6。,三、复数的分类,复数a+bi,如图所示：,虚数集,实数集,纯虚数集,数学建构,例1.请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪
6、些是纯虚数.,解:实数有;虚数有;纯虚数有.,4，0,例题讲解,例2 实数m取什么值时，复数 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数,解:（1）当，即 时，复数z 是实数,（2）当，即 时，复数z 是虚数,例题讲解,如何定义两个复数相等？,反之,也成立.,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,则,想一想,例3:已知,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,与,转化（复数问题实数化）,解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组,解得:,求实数,探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。,两个实数可以比较大小,实数与虚数不可以比较大小,虚数与虚数不可以比较大小,1.数系的扩充；,回顾反思,
