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1、第24章圆知识体系复习,本章知识结构图,圆的基本性质,圆,圆的对称性,弧、弦圆心角之间的关系,同弧上的圆周角与圆心角的关系,与圆有关的位置关系,正多边形和圆,有关圆的计算,点和圆的位置关系,切线,直线和圆的位置关系,三角形的外接圆,三角形内切圆,等分圆,圆和圆的位置关系,弧长,扇形的面积,圆锥的侧面积和全面积,一.圆的基本概念:,1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.,2.有关概念:,(1)弦、直径(圆中最长的弦),(2)弧、优弧、劣弧、等弧,(3)弦心距,二.圆的基本性质,1.圆的对称性:,(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.,(2)圆是
2、中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.,2.垂径定理:,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,CD是圆O的直径,CDAB,AP=BP,3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:,(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.,(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.,(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.,COD=AOB,AB=CD,1、如图,已知O的半径OA长为5,弦AB的长8,OCAB于C,则OC的长为 _.,3,AC=BC,2：如图，圆O的弦AB8，DC2，
3、直径CEAB于D，求半径OC的长。,垂径,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.,3、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,4.圆周角:,定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.,性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.,圆周角的性质(2),ADB与AEB、ACB 是同弧所对的圆周角,ADB=AEB
4、=ACB,性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).,性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径.,AB是O的直径,ACB=900,圆周角的性质:,15,D,3.6,作圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线,2.如图，AB是O的直径,BD是 O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交O与点F.（1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么?（2）按角的大小分类,请你判断 ABC属于哪一类三角形，并说明理由.(05宜昌),1.在O中，弦AB所对的圆心角AOB=100，则弦AB所对的圆周角为_.（05年上海）,500或1300,3.如图在比赛中,甲带球向对方球门PQ进
5、攻,当他带球冲到A点时,同伴乙已经助攻冲到B点,此时甲是直接射门好,还是将球传给乙,让乙射门好?为什么?,P,Q,A,B,(2)点在圆上,(3)点在圆外,(1)点在圆内,如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:,点在圆内,点在圆上,点在圆外,dr,dr,dr,三.与圆有关的位置关系:,7.在Rt ABC中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作B，问：（1）A、C、D、E与B的位置关系如何？（2）AB、AC与B的位置关系如何？,2.如图,OA是O的半径,已知AB=OA,试探索当OAB的大小如何变化时点B在圆内?点B
6、在圆上?点B在圆外?,A,B,O,2.直线和圆的位置关系:,(1)相离:,(2)相切:,(3)相交:,一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个圆相离.,一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个圆相切.,一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这个圆相交.,(1)当直线与圆相离时dr;,(2)当直线与圆相切时d=r;,(3)当直线与圆相交时dr.,直线与圆位置关系的识别:,d,r,设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:,切线的识别方法,1.与圆有一个公共点的直线。,2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。,3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,A,l,OA是
7、半径,OA l,直线l是O的切线.,切线的性质:,(1)圆的切线垂直于经过切点的半径.,(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.,(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.,A,l,OA l,直线l是O的切线,切点为A,切线长定理：,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。,B,A,P,O,PA、PB为O的切线,PA=PB,APO=BPO,1.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D.试说明:AC是D的切线.,F,如图，AB在O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在O上,CAB=30.(1)CD是O的切
8、线吗？说明你的理由;(2)AC=_，请给出合理的解释.,只要连接OC，而后证明OC垂直CD,2.AB是O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并 说明你的理由.,不在同一直线上的三点确定一个圆.,三角形的外接圆与内切圆:,三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.,三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.,等边三角形的外心与内心重合.,特别的:,内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.,O,D,二、过三点的圆及外接圆,1.过一点的圆有_个2.过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在_ 上.3.过三点的圆有_个4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（
9、或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在三角形_ _，钝角三角形的外心在三角形_。,无数,无数,0或1,内,外,连结着两点的线段的垂直平分线,在斜边的中点上,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,3.如图,是某机械厂的一种零件平面图.(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).(2)若弦A
10、B=80cm,AB的中点C到AB的距离是20cm,求该零件所在的半径长.,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.3.O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,4.如图，O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若A+C=110度，则FPE=_度,C,5如图，已知ABC的三边长分别为AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，O是ABC的内切圆，切点分别是E、F、G，则AE=，BF=
11、，CG=。,7如图，M与x 轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，求圆心M的坐标,6.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.,圆与圆的位置关系:,外离,外切,相交,内切,内含,dR+r,d=R+r,d=R-r,dR-r,R-rdR+r,1.如图，O1和O2内切于点T，O2的弦TA，TB分别交O1于C，D，连接AB，CD求证：AB/CD,
12、典型例题:,1.如图,O的直径AB=12,以OA为直径的O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的切线交OC于点E,交AB于F.,E,O1,O,D,C,B,A,F,(2)猜想DF与OC的位置关系,并说明理由.,(1)说明D是AC的中点.,(3)若DF=4,求OF的长.,2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点P作圆O的切线交AD于点F,切点为E.,D,C,B,A,F,P,O,E,(1)求四边形CDFP的周长.,(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式.,Q,三.正多边形:,2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,.中心：一个正多
13、边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距,O,3 正多边形和圆,（1）.有关概念（2）.常用的方法（3）.正多边形的作图,E,F,C,D,.,边心距r,半径R,中心角,O,边,O,A,B,C,R,d,a,1.圆的周长和面积公式,2.弧长的计算公式,3.扇形的面积公式,或,四.圆中的有关计算:,周长C=2r,面积s=r2,4.圆柱的展开图:,r,h,S侧=2r h,S全=2r h+2 r2,5.圆锥的展开图:,底面,侧面,a,a,h,r,S侧=r a,S全=r a+
14、r2,1、扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求扇形的面积和周长.,2、如图,当半径为30cm的转动轮转过120时,传送带上的物体A平移的距离为_.,A,3：如图，把RtABC的斜边放在直线 上，按顺时针方向转动一次,使它转到 的位置。若BC=1,A=300。求点A运动到A位置时，点A经过的路线长。,4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制成圆锥形玩具，已知C=90度，AC=BC=4cm，使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其他边相切，设计裁剪的方案图，直接写出扇形的半径长。,O,5、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_.,240,6、圆锥的母线为5cm，底面
15、半径为3cm，则圆锥的表面积为_,24cm2,7、已知：在RtABC,求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。,分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。,8：如图，在RtABC中，ACB=900。,(1)分别以AC，BC为轴旋转一周所得的圆锥相同吗?,(2)以AB为轴旋转一周得到怎样的几何体？,(3)若AB=5，BC=4，你能求出题(2)中几何体的表面积吗？,9.如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？,B,常见的基本图形及
16、结论:,1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则:,AC=BD,若大圆的弦切小圆于C,则,O,AC=BC,两圆之间的环形面积,S=AB2,2.如图,以等腰ABC的腰AB为直径作O交底边BC于点D,则:,O,C,B,A,D,点D是BC的中点.,O,P,B,A,D,C,3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则:,(1)PCD的周长=2PA,(2)COD=900-APB,E,D,F,E,D,F,E,4.如图,ABC各边分别切圆O于点D、E、F.,(1)DEF=900-A,(3)S ABC=(a+b+c)r,(2)
17、BOC=900+A,5.在Rt ABC中,ACB是直角,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则:,内切圆半径r=,6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均为切线,则:,(1)DC=AD+BC,(2)DOC=900,O,B,D,C,A,E,3已知：AB为O的直径，P为AB弧的中点（1）若O与O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交O于点C、D，连接CD，则PCD是 三角形；（2）若O与O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交O于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答：,问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.,问题一：判断PEF的形状，并证明你的结论；,
18、5.已知O1、O2，相交与A，B两点，两圆的半径分别是 和，公共弦的长AB=6，求O1 O2和 O1 A O2,B,A,.,.,O1,O2,D,6.某电机长生产一批直径分别为10cm和20cm的圆形硅钢片,现在有宽度为20cm的硅钢片,现设计了两种裁料方法:,1.如图（一），把两种规格的圆钢片分开排料：,2.如图（二）把2片小的和1片大的圆钢片间隔起来排料：,问题1.上述问题主要反映了有关圆的位置关系是_问题2.比较两种不同的方案，通过计算说明哪一种排料方法更节约用料？,专题一：与圆有关的辅助线的作法：,辅助线，莫乱添，规律方法记心间；圆半径，不起眼，角的计算常要连，构成等腰解疑难；,切点和圆
19、心，连结要领先；遇到直径想直角，灵活应用才方便。,弦与弦心距，亲密紧相连；,2、已知O1与O2相交于C、D，O1 O2的延长线和O1交于A，AC、AD分别与O2相交于点E、F。求证：CE=DF,4、如图，O1、O2外切于P，AB与O1、O2切于A、B，CP为O2的内公切线并交AB于C，求证：O1CO2C。,B,1,2,A,C,O,O,P,第1部分 圆的基本性质,第2部分 与圆有关的位置关系,本章安排复习内容,第3部分 正多边形和圆,第4部分 弧长和面积的计算,第5部分 有关作图,对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：,d+h=r,经验点拔,垂径定理的应用,A,B,.,.,C,O1,O2,要记住这个模型，他的结论有很多的应用,ABC叫做切点三角形,熟练掌握以下的结论,r,r,记住：在具体计算时往往用到的是面积法和方程思想,三.正多边形:,2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角,4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距,O,
