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1、等差数列第一课时等差数列的概念、通项公式,在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：,（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）,2062,主持人问:最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？天文学家陈丹说:2062年左右。,相差76,新课引入,通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。,8844.43米,9,-24,(2)28,21.5,15,8.5,2,-24.,减少6.5,观察与思考：下面的几个数列：（1）1，3，5，7，9，11，（2）3，6，9，12，15，18，（3）1，1，1，1
2、，1，1，1，（4）3，0，3，6，9，12，,问题：这些数列有何特点？,特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数,对于数列（1），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于2;,对于数列（2），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于3;,对于数列（3），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于0;,对于数列（4），从第2项开始，每一项与前一项的差都等于-3.,新知探究一等差数列的概念,一、等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.,如果等差数列 的首项是，公差是，
3、那么根据等差数列的定义可以得到以下结论：,数列 为等差数列,判断标准,对等差数列的定义的理解,1如果一个数列，不是从第2项起，而是 从第3项起或第4项起，每一项与它前一 项的差是同一个常数，那么这个数列不 是等差数列 2一个数列从第2项起，每一项与它前一 项的差尽管等于常数，这个数列也不一 定是等差数列，因为这些常数不一定相 同当这些常数不同时，此数列不是等 差数列,对等差数列的定义的理解,3求公差时，要注意相邻两项相减的顺序 d=an+1-an或d=an-an-1(n2)后-前 4.要判断一个数列是不是等差数列，只要 看对于任意正整数n，an-an-1，是不是通 一个常数，切记不可通过计算a
4、2-a1,a3-a2 等有限的几个式子的值后，发现它一个 常数，就得出该数列为等差数列的结论,5.常数列一定是等差数列6.等差数列公差d的讨论3种,例1、判断下面数列是否为等差数列.,（2）不是.因为从第2项起后项与前项的差是：1，2，3，4，5，是常数，但不是同一常数.,（3）是.因为从第2项起后项与前项的差都是0，符 合等差数列的定义.,例2、观察下列数列是否是等差数列,例3、数列a，2a，3a，4a，是等差数列（）若anan+1=3(nN*)，则an是公差为3 的等差数列。（）若a2a1=a3a2,则数列an是等差数 列（）,小结：证明一个数列是等差数列的方法是：,思考1：既然（1）是等
5、差数列，请你动手求数列（1）的第2004项,做笔记,思考3：求等差数列10，8，6，4的第20项？2004项？思路是什么？,思考4：能否从思考1的角度出发，考虑思考2的具体做法？,思考2：思考1是什么类型的问题？已知什么？求的是什么？,思考5：问题转化为如何求等差数列的通项公式,问题：已知等差数列an的首项为a1，公差为d，求an,解法一：由等差数列的定义可知：a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,则 a2=a1d a3=a2d=（a1d）d=a12d a4=a3d=（a12d）d=a13d,由此可知：an=a1（n1）d当n=1时,a1=a1（11）d=a1 等式成立这表明当n N*时，
6、an=a1（n1）d成立。,新知探究二等差数列的通项公式,解法二：等差数列 an 的首项是 a1,公差是d，如：,那麽，则由定义得：a2-a1=d(1)a3-a2=d(2)a4-a3=d(3)a5-a4=d(4)、an-a n-1=d,分析：如果把左边由（1）式到最后一个式子，共_个式子相加，则有：,n-1,等号左边为：an-a1,等号右边为：(n-1)d,所以：an-a1=(n-1)d,即 an=a1+(n-1)d,当n=1时，上式两边都等于 a1。nN*，公式成立。,等差数列的通项公式是:,an=a1+(n-1)d,简单应用,等差数列中a1=1,d=2an=,关键求出a1和d,1+（n-1
7、）2=2n-1,简单应用,通项公式中有几个量？,a1,d,an，n的含义？,已知其中三个量就可以求出第四个,知3求1,二.思考,2.如果在a与b的中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A应该满足什么条件？,分析：,由a,A,b成等差数列得：,成等差数列.,反之，若,即a,A,b成等差数列.,由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.,等差中项：,在等差数列an中，若mnpq,则amanapaq.,等差中项：,数列：1，3，5，7，9，11，
8、13,a2a4a1a5,a4a6a3a7,5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.,（一）求通项an,若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1,d=2,则,an=1+(n1)2=2n1,已知等差数列8，5，2，求 an及a20(第20项)。,解：a1=8,d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,练习：已知等差数列3，7，11，则 an=_ a4=_ a10=_,an=a1+(n1)d(nN*),4n-1,15,39,典例精讲,求等差数列 10，8，6，4，的第20项和第2004项。,分析：根据a1=1
9、0，d=-2，先求出通项公式an，再求出a20,解：a1=10,d=8-10=-2，n=20 由an=a1+(n-1)d 得 a20=a1+(n-1)d=10+(20-1)(-2)=-28,(二)求首项a1,例如：已知a20=49,d=3 则，,由a20=a1+(201)(3),得a1=8,练习：a4=15 d=3 则a1=_,6,an=a1+(n1)d(nN*),(三)求项数n,例如：已知等差数列8，5，2问49是第几项?,解：a1=8,d=3,则 an=8+(n1)(3),49=8+(n1)(3),得 n=20。,an=a1+(n1)d(nN*),问400是不是等差数列5，9，13，的项？
10、如果是，是第几项？,解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 400=5+(n1)(4)成立,所以400不是这个数列的项,an=a1+(n1)d(nN*),解：a1=-5,d=-9-(-5)=-4 an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1-401=-4n-1 n=100-401是该数列的第100项。,分析：根据a1=-5，d=-4，先求出通项公式an，再把 401代入，然后看是否存在正整数n。,-401是不是等差数列 5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？,解2：这些三位数为100，101，102，999可组成首 项a1=100，公
11、差d=1，末项为an=999的等差数列。由 an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1 n=999100+1=900,练习：10 100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.20 在正整数集合中，有多少个三位数？30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？,解1：第15项,(四)求公差d,例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。,分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。,由题意知 a1=33,a12=110,n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110
12、=33+(12-1)d 解得 d=7,从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。,总结：在 an=a1+(n1)d nN*中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。,那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？,an=a1+(n1)d(nN*),即这个等差数列的首项是2，公差是3.,例1、在等差数列 中，已知 求首项 与公差d.,解：由题意可知,解得：,注：,等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 中，an,a1,n，d 这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量，知三求一.,解：由题意可得 a1+5d=12(1)a1+17d=36(2),an=2+(n-1)2=2n,a1=2 d=2,此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。,变式、在等差数列an中，已知a6=12，a18=36,求通项an。,分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d 中，可得两个方程，都含a1与d两个未知 数组成方程组，可解出a1与d。,*,评注：,
