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1、27.2.1二次函数 的图像与性质,一.目标展示,1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象；,2.能够借助画函数图象认识二次函数y=ax2的 图象和性质：图象的形状、开口方向、对称轴、顶点，函数的最值和增减性。,二.,复习回顾,（1）我们已经学习过一次函数、反比例函数，请大家概括我们认识这些函数的数学模型。,（2）我们常用什么方法画函数的图象？这种方法包含哪些步骤？,（3）你会用这种方法画二次函数y=x2的图象吗？,例1.画二次函数y=x2的图像。,解：(1)列表,(2)描点,(3)连线,以0为中心选取7个X值列表,画二次函数图象应注意：,1.列表中应考虑自变量取值的代表性；,2.连线是按自变
2、量由小到大的顺序用平滑的曲线顺次连结各点；,3.自变量取全体实数时图象向两侧无限伸展。,4.在同一坐标系中画出 y=-x2 的图象,y=x2,y=-x2,顶点坐标,二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。,这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,(2)、开口方向：当a大于0时，开口向上；当a小 于0时，开口向下。,二次函数y=ax2的图象的性质,(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。,a0,ao,即:直线x=0,当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小。,当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大。,当a0时，在
3、对称轴的左侧，y随着x的增大而增大。,当a0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。,(3)、增减性,a0,a0,y随x的增大而增大。,在对称轴的左恻(x0):图像从左 到右下降，,y随x的增大而减小；,在对称轴的右恻(x0):图像从左到右上升,当a0时,当a0时，,在对称轴的左恻(x0):图像从左到右上升，,y随x的增大而增大。,在对称轴的右恻(x0):图像从左到右下降，,y随x的增大而减小。,当 x=0 时,y最小值=o.,当 x=0 时,y最大值=o.,二次函数y=ax2的图象的性质,y=x2,y=-x2,y=2x2,y=-2x2,(2)比较所画四个函数图象，我们能发现什么？,a的绝对
4、值越大，抛物线离y轴越近，开口越窄a的绝对值越小，抛物线离y轴越远，开口越宽,答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y=-x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y=-ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 对称来画。,思考,小结：,（1）顶点都在原点;对称轴是y轴,（）当a0时，开口向上；当a0时，开口向下,（）当a0时，在对称轴的左恻(x0):y随x的增大而减小；在对称轴的右恻(x0):y随x的 增大而增大；在对称轴的右恻(x0):y随x的增大而减小。,二次函数y=ax2的图象性质与特点：,函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做x的二次函数,
5、函数y=kx2 的图象如图 所示：则k 0，在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，函数有最 值，是。,0,增大,减小,(0,0),大,0,试一试：,1、函数y=2x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；,2、函数y=-3x2的图象的开口，对称轴是，顶点是；在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；,3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是（）A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。C 对任一个实数y，有两个x和
6、它对应。D 对任意实数x，都有y0,x,y,o,A,4、二次函数的顶点坐标是，对称轴是，图像在轴的（顶点除外），开口方向向，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大。,5、抛物线，当时，随着的增大而减小，当时，函数有最值，此时。,6、根据二次函数的图像的性质，回答下列问题：（1）如果点P在抛物线上，那么点Q也在这条抛物线上吗？为什么？,（2）当时，设自变量，的对应值分别为，当时，必有吗？为什么？,1、已知y=(m+1)x 是二次函数且其 图象开口向下（1）求m的值和函数解析式。（2）x在何范围内，y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?,3、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律,4.函数y=ax2(a0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：(1)a与b的值；(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y=ax2的 y随x增大而增大？(4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形 的面积。,O,A,B,x,y,y=-2,先代入直线，得到交点再代入二次函数,5.求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的 交点坐标,y,x,O,求抛物线与直线的交点坐标的方法：两解析式联列方程组,
