一元二次方程(2013全章).ppt

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1、一元二次方程,22.1 一元二次方程,学习目标1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数2.灵活应用一元二次方程概念 解决有关问题3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题,一.复习1.什么叫方程？我们学过那些方程？2.什么叫一元一次方程？3.什么叫分式方程？4.什么叫方程的解?,问题一.有一块长100cm，宽50cm的铁皮，在它的四周各减去一个同样大的正方形，然后制作成一个无盖的底面积为3600cm2的盒子，切去的正方形的边长应为多少？,x,（100-2x),据题意得：（1002x)(502x)3600,整理得：x275x350=0（1）,（50-2x),x,

2、x,设切去的正方形边长为xcm,则盒底的长（1002x)cm宽为（502x)cm,3600cm2,?,问题(2)要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?,A,C,B,雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:,分析:,即,设雕像下部高xm,于是得方程,整理得,x,2-x,?,问题(3)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?,分析:,全部比赛共,47=28场,设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队

3、各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.,即,(x-1),这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？,特点:,都是整式方程;,只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,探究新知:,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程,一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,为什么要限制a0，b,c可以为零吗？,想一想,a x

4、2+b x+c=0,(a 0),二次项系数,一次项系数,常数项,?,例题讲解,例1判断下列方程是否为一元二次方程？（1）（2）（3）（4）,?,例题讲解,例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：,二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的,例题讲解,例题讲解,例题讲解,例方程（2a4）x2 2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？,解：当a2时是一元二次方程；当a2且b0时是一元一次方程；,1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a

5、 B.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0,2.当m为何值时,方程 是关于x的一元二次方程.,D,3.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：,练习27页1、2题28页1、2题,例4 已知关于x的一元二次方程(m1)x23x5m40有一根为2，求m。,分析：一根为2即x2,只需把x2代入原方程。,一元二次方程解的概念,方程解的定义是怎样的呢?,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根,A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,B,已知m、n都是方程 的根,试求的值,知识纵横,-1,1,2

6、,1.一元二次方程的概念,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,2、一元二次方程的一般形式,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把(a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。,3 一元二次方程的解(根),作业 34页5、6、7，8题,22.2.1 用降次解一元二次方程,直接开平方法，配方法,目标1、了解什么是配方法？2、会用配方法解一元二次方程3、能利用配方法解决相关问题.,问题1 一桶油漆可刷的面积为1500，李林用这桶 油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？,经检验，5和-5是方程

7、的根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm.,这种解法叫做什么?,直接开平方法,解方程,?思 考,把此方程“降次”，转化为两个一元一次方程,归纳,化成两个一元一次方程,练习 36页,问题 要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且 面积为16,场地的长和宽应各是多少?,解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积 为16,列方程,X(x+6)=16,怎样解?,以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?,像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.,例 解下列方程,（2）化二次项系数为1,（3）配方,（4）开平方,（5）写出方程的解,用配方法解一元二次方程

8、ax2+bx+c=0(a0)的步骤：,(1)移项,课堂练习:,P34.1 P42.2,作业 34页2题,42页3题,拓展空间,例1 用配方法解一元二次方程,同步练习,1.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k23k5的值必定大于零.,例 2(1)证明:无论x为何值 二次三项式 必是正数,(2)设m为任意实数,求代数式 的范围,练习,2 求代数式 的最小值,3 用22cm的铁丝围成一个矩形.(1)若矩形面积为30平方厘米,求矩形的相邻两边长.(2)能围成面积为32平方厘米的矩形吗?为什么?,22.2 用降次法解一元二次方程,三:公式法,目标1 掌握求根公式,并能灵活运用公式解一元二次方程及相关应

9、用问题2 理解并掌握根的判别式,求根公式,对于一元二次方程,当 方程的两根为:,例 解下列方程,练习37页1题,练习42页5题,解下列方程,四：因式分解法,问题 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地面的高度为(m)为:10 x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?,通过对方程进行变形,使左边分解成两个一次因式的积,右边为零,将二次方程降次,从而求出方程解的方法叫做因式分解法,练习：40页1题2题,例2：解下列关于x一元二次方程的方程,迁移,已知ABC的两边长为2,3另一边是方程x2-7x+10=0的根,则ABC的周长为()A

10、 7或10 B 10 C 7 D 以上都不正确已知(a2+b2)(a2+b2-1)=2,则a2+b2的值为()A 2.-1 B-2.1 C 1 D 23 已知x2-2xy-3y2=0(xy0)则 的值为_,五 解法综合,2:若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0则此三角形的周长为_ 3:已知满足=_,4 x是什么数时，的值和 的值相等？,练习 48页1题,例 用适当的方法解方程(x-1)(x+1)=,6 实数x满足(x2-2x+2)(x2-2x-2)=21则x2-2x=()A 5,-5 B 5 C-5 D 以上都不是,5.已知直角三角形的三边为连续整数，求它的周长和面积,阅读下面材料

11、后，解方程：解：当时x0,原方程可化为因式分解得 则x+1=0或 x-2=0 得（舍去）当时，x0原方程可化为 因式分解得 则x+2=0或x-1=0 得（舍去）综上：原方程的解为解方程：,我们知道：对于任何实数，x20，x 2+10；0，+0；模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数，均有：0；（2）不论为何实数，多项式 的值总大于 的值。,六 一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程ax2+bx+c=0配方后都可化为,b2-4ac能确定方程根的的情况,我们称b2-4ac叫做根的判别式,用“”表示,即=b2-4ac,根的判别式与根的的情况:,例 1:不解方程,判断下列关于x的方程解的情况,x

12、2=x-1(2)y(y-6)=1(3),练习：若0是关于x的方程 的解，求实数m的值，不解方程并判断此方程解的情况。,例2 证明关于x的一元二次方程 必有实数根,例4 已知关于x的一元二次方程kx2-(2k-1)x+k=0,(1)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.(2)有两个相等的实数根,求k的取值(3)无实数根,求k的取值范围.(4)有实数根,求k的取值范围.,变式：若去掉上题的一元二次，又如何解答,2.已知关于x的方程m2x2+(2m-1)x+1=0有实数根,求m的取值范围.,同步练习,若关x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围为（）A.k4,且k1 B.k4,且k1 C.k4

13、 D.k4,3 已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,a为何非负整数时,(1)方程只有一个实数根,(2)方程有两个相等的实数根,(3)方程有两个不相等的实数根,例5：若4x2-(k+2)x+k-1是一个完全平方式,求k的值,同步：若(2m-1)x2-2(m+1)x+4是一个完全平方式,求m的值,例 6：已知关于x的方程x2-（3k1）x2k2 2k0（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根.（2）若等腰三角形ABC的一边a6，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求ABC的周长。,同步：已知关于x的方程x2-（k2）x2k0（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有

14、实数根.（2）若等腰三角形ABC的一边a1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求ABC的周长。,若函数 自变量取值范围是一切实数,则m的取值范围是_,已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个实数根,求m的最小整数值.,一元二次方程根与系数的关系,一 观察：,应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：根的判别式:二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.,例1:1 已知x1,x2是方程2x2-5x=2两根，不解方程，求下列各式的值（1）（2）（3）,2.对于方程x2-x+2=0下列说法正确的是()A B C D 此方程无实根,3已知2+是x24x+k=0

15、的一根，求另一根和k的值。,4.已知a,b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则a2+ab+2a=,提高：1.已知x1,x2是方程x2+3x+1=0的两个实数根，则x13+8 x2+20=,2.在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错了q，解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?,例2：若关于x的方程x2+(k-1)x+k=0的两实数根的平方和为6,求k的值,练习1.已知 是关于的一元二次方程 的两个不相等的实数根,且满足 则m的值是（）A.3或-1 B.3 C.1 D.3或1,2.关于x的方程4x2+(a2-3a-10)x+4a=0的两根互为相反数,

16、则a=_,3 已知x1,x2 是关于x的一元二次方程 的两个实数根,且-x1-x2=115(1)求k的值;（2）求+8的值。,例3：(1)求一个一元二次方程，使它的两根分别是4，-7(2)已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数。,2.已知2m2-5m-1=0,已知m2-2m=1,n2-2n=1求,同类尝试,例4：已知一元二次方程x210 x+21+a=0。(1)当a为何值时，方程有一正、一负两个根?(2)当a为何值时，方程有两个正根?(3)此 方程会有两个负根吗?为什么?,归纳：一元二次方程根的分布,同步：已知一元二次方程mx22mx+m-1=0,当m为何值时，方程有一正、一负两个根?,

17、24页变式训练2,已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,(1)当x1:x2=1:1时,b2=4ac,(2)当x1:x2=1:2时,探索a、b、c所满足的关系式并证明你的结论.(3)当x1:x2=m:n时,探索a、b、c所满足的关系式(不要求证明),实际问题与一元二次方程,解一元一次方程应用题的一般步骤？,一、复习,第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；,第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；,第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程；,第四步：解这个方程，求出未知数的值；,第五步：在检查求得的答数是否符合应用

18、题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。,有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?,分析,1,第一轮传染后,1+x,第二轮传染后,1+x+x(1+x),解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.,开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人,用代数式表示,第二轮后共有_人患了流感.,(x+1),1+x+x(1+x),1+x+x(1+x)=121,解方程,得,答:平均一个人传染了_个人.,10,-12,(不合题意,舍去),10,通过对这个问题的探究,你

19、对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?,如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?,121+12110=1331人,你能快速写出吗?,1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?,主干,支干,支干,小分支,小分支,小分支,小分支,x,x,x,1,解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+xx=91,即,解得,x1=9,x2=10(不合题意,舍去),答:每个支干长出9个小分支.,2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?,3.要组织一场篮

20、球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?,4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?,探究2,两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?,分析:甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数

21、),解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本为 5000(1-x)2 元,依题意得,解方程,得,答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.,算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?,比较:两种药品成本的年平均下降率,22.5%,(相同),小结,类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式,若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为,其中增长取+,降低取,例.2003年2月27日广州日报报道：2002年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市面

22、积的百分比）为4.65，尚未达到国家A级标准因此，市政府决定加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8以上若要达到最低目标8，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）,解：设广州市总面积为1，广州市自然保护区面积年平均增长率为x，根据题意，得 14.65%(1x)218%(1x)21.720 1x1.312 x1 0.312=31.2%,x2 2.312(不合题意,舍去)答：要达到最低目标，自然保护区面积的年平均增长率应为31.2%,1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720

23、 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.,B,3.美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。某城市近几年来通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2001年底的绿地面积为_ 公顷，比2000年底增加了 公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是 _年；,60,4,2000,解：设2002

24、年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得 60(1x)272.6(1x)2=1.21 1x=1.1 x1=0.1=10%,x2=2.1(不合题意,舍去)答：2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率为10%,（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率。,4.某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：(1)填写完成下表：这20个家庭的年平均收入为_万元；(2)样本中的中位数是_万元，众数是_万元；(3)在平均数、中位数两

25、数中，_更能反映这个地区家庭的年收入水平.(4)要想这20个家庭的年平均收入在2年后达到2.5万元,则每年的平均增长率是多少?,1,1,2,3,4,5,3,1,1.6,1.2,1.3,中位数,解：设年平均增长率为x，根据题意，得1.6(1x)22.5(1x)2=1x=1.25 x1=0.25=25%,x2=2.25(不合题意,舍去)答：每年的年平均增长率为25%,5、某农户1997年承包荒山若干亩，投资7800元改造后种果树2000棵，其成活率为90%。在今年(注：今年指2000年)夏季全部结果时，随意摘下10棵果树的水果，称得重量如下：(单位：千克)8，9，12，13，8，9，11，10，1

26、2，8根据样本平均数估计该农户今年水果的总产量是多少？此水果在市场每千克售1.3元，在水果园每千克售1.1元，该农户用农用车将水果拉到市场出售，平均每天出售1000千克，需8人帮助，每人每天付工资25元.若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果，选择哪种出售方式合理？为什么？该农户加强果园管理，力争到2002年三年合计纯收入达到57000元，求2001年、2002年平均每年的增长率是多少？(纯收入=总收入-总支出),解:(1)样本平均数为,总产量=200090%10=18000(千克),(2)在果园出售的利润是1.1180007800=12000(元),在市场出售的利润是1.31800078

27、00(180001000)825=12000(元),所以两种出售方式相同,选择哪一种都可以;,(3)设2001年、2002年平均每年的增长率是x,得,x1=0.50=50%,x2=3.5(不合题意,舍去),答：2001年、2002年平均每年的增长率是50%,小结,1、平均增长（降低）率公式,2、注意：（1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法,学无止境,迎难而上,1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg,2003年平均每公顷产8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.,2.某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%,

28、平均每次降息的百分率是多少(精确到0.01%)?,3甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.乙或丙,复习：列方程解应用题有哪些步骤 对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。,实际问题与一元二次方程(二),面积、体积问题,一、复习引入,1直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形

29、的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式是什么？,要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?,分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7,解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得,解得,故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:,探究3,要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩

30、形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?,分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7,解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得,解方程得,(以下同学们自己完成),方程的哪个根合乎实际意义?为什么?,例1.学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（

31、2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.,解:(1),方案1：长为 米，宽为7米;,方案2：长为16米，宽为4米;,方案3：长=宽=8米;,注：本题方案有无数种,（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.,由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.,x(16-x)=63+2，,x2-16x+65=0，,此方程无实数解.,在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米,1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,

32、求它的长与宽;若不能,请说明理由.,练习：,解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,即,x2-10 x+30=0,这里a=1,b=10,c=30,此方程无解.,用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.,例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.,补充例题与练习,解:(1)如图，设道路的宽为x米，则,化简得，,其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.,图(1)中道路的宽为

33、1米.,则横向的路面面积为，,分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。,解法一、如图，设道路的宽为x米，,32x 米2,纵向的路面面积为。,20 x 米2,注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2,所列的方程是不是,？,所以正确的方程是：,化简得，,其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：,=100(米2),答：所求道路的宽为2米。,解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）,横向路面，,如图，设路宽为x米，,32x米2,纵向路面

34、面积为。,20 x米2,草坪矩形的长（横向）为，,草坪矩形的宽（纵向）。,相等关系是：草坪长草坪宽=540米2,(20-x)米,（32-x)米,即,化简得：,再往下的计算、格式书写与解法1相同。,练习：,1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?,解:设道路宽为x米，,则,化简得，,其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.,答:道路的宽为1米.,2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246

35、m2,求小路的宽度.,解:设小路宽为x米，,则,化简得，,答:小路的宽为3米.,某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？,例3.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？,【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24

36、x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3024-3x10得14/3x8x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米,练习：,1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?,解:设苗圃的一边长为xm,则,化简得，,答:应围成一个边长为9米的正方形.,例4某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？,补充例题与练习,分析：因为渠深

37、最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模,解：（1）设渠深为xm,则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m,依题意，得：,整理，得：5x2+6x-8=0,解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）,上口宽为2.8m，渠底为1.2m,答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道,1在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【】Ax2+130 x-1400=0 Bx

38、2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=0,B,2 有一张长方形的桌子，长6尺,宽3尺,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到01尺）,行程问题,如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰(1）小岛D和小岛F相距多少海里?（2）已知军舰的

39、速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）,分析：（1）因为依题意可知ABC是等腰直角三角形，DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在RtDEF中，由勾股定理即可求,鲜花为你盛开，你一定行！,O,N,如图，红点从O出发，以3米/秒的速度向东前进，经过t秒后，红点离O的距离ON=.,（1）,3t,|40-3t|,N,N,鲜花为你盛开，你一定行！,O,N,M,北,东,如图，蓝、红两点同时从O点出发，红点以3米/秒的速度向东前

40、进，蓝点以2米/秒的速度向北前进，经过t秒后，两点的距离MN 是（代数式表示）,（3）,（4）,BO=30米，CO=40米，蓝从B点，红从C点同时出发，其他条件不变，经过t秒后，两点的距离MN的距离是（代数式表示）,O,N,M,北,东,B,C,O,N,M,北,东,O,N,M,北,东,B,C,B,C,BO=30米，CO=40米，蓝从B点，红从C点同时出发，其他条件不变，经过t秒后，两点的距离MN的距离是（代数式表示）,一轮船以20 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以10 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。

41、当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。,（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？,C1,B1,（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？,(3)如果把航速改为30km/h，结果怎样？,一轮船以20 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以10 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。,A,B1,C1,B,练习：,如图，斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.

42、5m，BC=2.5m，若A端沿垂直于地面的方向AC下滑1m，问B端将沿CB方向移动多少m？,A,B,C,练习：,如图，斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m，BC=2.5m，若A端沿垂直于地面的方向AC下滑1m，问B端将沿CB方向移动多少m？,A,B,C,A,B,例 一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车,(1)从刹车到停车用了多少时间?2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?.（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?,一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车,(1)从刹车到停

43、车用了多少时间?,分析：1）从刹车到停车所用的路程是25m,如果知道从刹车到停车的平均车速，那么根据：路程=速度时间，便可求出所求的时间为使问题简单化，不妨假设车速从20m/s到0随时间均匀变化的，这段时间内的平均速度为最大速度与最小速度的平均值，其平均速度为=(20+0)2=10m/s，,解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=(20+0)2=10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是2510=2.5（s）,一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行25m后停车,(1)从刹车到停车用了多少时间?,分析：（2）很明显，刚要刹车时车速

44、为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可,一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况，紧急 刹车后汽车又滑行25m后停车（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?,解：（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20从刹车到停车每秒平均车速减少值是 202.5=8（m/s）,一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况，紧急 刹车后汽车又滑行25m后停车（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?,分析：（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs由于平均每秒减少车速已从上题求

45、出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度时间，便可求出x的值,一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急 刹车后汽车又滑行25m后停车（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?,解：（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s,则这段路程内的平均车速为20+(20-8x)2=（20-4x）m/s,所以x（20-4x）=15 整理得:4x2-20 x+15=0 解方程:得x=x14.08（不合，舍去），x20.9（s）答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s,1一个小球以5

46、m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动10m后小球停下来.（1）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?,练习:,解:（1）小球滚动的平均速度=(5+0)2=2.5（m/s）小球滚动的时间：102.5=4（s）,(2)平均每秒小球的运动速度减少为(5+0)2.5=2（m/s）,(3)设小球滚动到5m时约用了xs，这时速度为（5-2x）m/s,则这段路程内的平均速度为【5+(5-2x)】2=（5-x）m/s,所以x（5-x）=5 整理得：x2-5x+5=0 解方程：得x=x13.6（不合，舍去），x21.4（

47、s）答：刹车后汽车行驶到5m时约用1.4s,利润问题,例：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若每千克50元销售,一个月能售出500kg，销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题(1)当销售单价定为每千克55元时,计算销售量和月销售利润.(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式,（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?,分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少510kg（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）

48、销售量500-10（x-50）（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少,解：（1）销售量：500-510=450（kg）；销售利润：450（55-40）=45015=6750元（2）y=（x-40）500-10（x-50）=-10 x2+1400 x-40000（3）由于水产品不超过1000040=250kg，定价为x元，则（x-40）500-10（x-50）=8000 解得：x1=80，x2=60 当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg250kg，（舍去）,同步：1某商场礼品柜台春节期间

49、购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?,分析：总利润=每件平均利润总件数设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+100）解：设每张贺年卡应降价x元 则（0.3-x）（500+）=120 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元,2.某水果批发商场销售一批高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下

50、，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现该商场保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？,3.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品？每件商品的售价是多少元？,作业：1某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，请你帮助商场算一算，每件衬