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1、专题八 三角形和四边形,在近几年中考中，涌现了大量以三角形、四边形为素材或背景，或设置有关两三角形全等、相似，或有关特殊三角形、四边形形状的性质及判定，或借助一定的图形变换(折叠、平移、旋转、剪拼等)与动态操作，酝酿与构建相关图形的某种状态与结论，进行相关计算、作图、证明或探究，这对于培养与训练空间观念、动手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用,解决这类问题的关键应把握三角形、四边形的性质与特征，加强相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合从动态、变换操作的角度，运用分类讨论思想分析与解决有关两个三角形(全等或相似)、特殊
2、三角形、特殊四边形，进一步体会三角形与四边形之间相互转化、相互依存的内在关系，从而提高学数学、用数学的能力与素养在解决此类问题时要注意：平移、对称、旋转等只是改变了图形的位置，而没在改变图形的形状与大小,与三角形、四边形有关的计算、证明,例1：(2013 年黑龙江绥化)已知，在ABC 中，BAC90，ABC45，点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B，C 重合)以 AD 为边做正方形 ADEF，连接 CF.,(1)如图Z8-1(1)，当点D在线段BC 上时，求证：CFCD,BC；,(2)如图 Z8-1(2)，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出 CF，BC
3、，CD 三条线段之间的关系；,(3)如图 Z8-1(3)，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A，F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变请直接写出 CF，BC，CD 三条线段之间的关系；,若正方形 ADEF 的边长为 2点 O，连接 OC，求 OC 的长度,，对角线 AE，DF 相交于,(1),(2),(3),图Z8-1,思路分析：由于ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明BADCAF，从而证得CFBD，把这种全等(或相似、平行、垂直、倍分等)的关系类比应用于后续问题，是解动态几何问题的常用方法,(1)证明：BAC90，ABC45，ACBABC45.ABAC.,四边形A
4、DEF 是正方形，ADAF，DAF90.BAD90DAC，CAF90DAC，BADCAF.BADCAF.BDCF.BDCDBC，CFCDBC.,(2)解：CFCDBC.(3)解：CDCFBC.,BAC90，ABC45，ACBABC45.ABAC.,四边形 ADEF 是正方形，ADAF.DAF90.BAD90BAF，CAF90BAF，,BADCAF.BADCAF.ACFABD.ABC45，ABD135.ACFABD135.,FCD90.FCD 为直角三角形,名师点评：题目中首先提供某种特殊情形下的结论，然后将其进行拓展、延伸到一般情况，进一步探究相关结论，解答此类问题的关键是在于由特殊到一般、由
5、简单到复杂的思维方式，这类试题不仅结论可以类比，而且思维方法、证明过程也可通过类比得出,与三角形、四边形有关的操作探究题,例2：(2013 年湖南娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用 2 块完全相同的且含60角的直角三角板ABC 与AFE按如图Z8-2(1)所示位置放置，现将RtAEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角(090)，如图Z8-2(2)，AE 与 BC 交于点M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P.,(1)求证：AMAN；,(2)当旋转角30时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边,形？并说明理由,(1),(2),图Z8-2思路分析：(1)要证 AMAN，只需
6、证明其所在的ABM 与AFN 全等(2)探究四边形 ABPF 的形状，须抓住旋转角30，结合直角三角形中的 60，30，90进行思考四边形的形状,(1)证明：EAC90，NAFEAC90，NAF.,又BF，ABAF，ABMAFN(AAS)AMAN.,(2)解：四边形ABPF 是菱形理由如下：30，EAF90，BAF120.,又BF60，,BBAF60120180，FBAF60,+120180.,AF BC，AB EF.,四边形 ABPF 是平行四边形又ABAF，ABPF 是菱形,名师点评：探究四边形的形状要熟练掌握特殊四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形)的判定方法，关键是挖掘背景图形中所含的条件,
