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1、初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的.根公式是：x=.(b24ac0)2. 根的判别式 实系数方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是：b24ac0. 有理系数方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根的判定是：b24ac是完全平方式方程有有理数根.整系数方程x2+px+q=0有两个整数根p24q是整数的平方数.3. 设x1,x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么 ax12+bx1+c=0(a0，b24ac0)， ax22+bx2+c=0(a0， b24ac
2、0)； x1=，x2=(a0,b24ac0)； 韦达定理：x1+x2= , x1x2= (a0,b24ac0).4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0(a0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0x1=0 ， a+b+c=0x1=1 ， ab+c=0x1=1.二、例题例1. 已知：a,b,c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5 ：a24a+50，即（
3、a2）2+10，这是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一个是大于0.方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当120时，则1和2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)有一个公共根.求a,b的值.解：用因式分解法求得：方程的两个根是a和；方程两根是b和.由已知a1,b1且ab.公共根是a= 或b=.两个等式去分母后的结果是一样的.即aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=
4、3. a,b都是正整数，；或.解得；或.又解：设公共根为x0那么先消去二次项：（b1）（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.当x01时，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.当(abab2)0时，得(a1)(b1)=3解法同上.例3.已知：m,n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n的值. 解：方程两根差是同理方程两根差是依题意，得.两边平方得：m24n=n24m. （m
5、n）(m+n+4)=0mn，m+n+40，m+n4.例4.若a,b,c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根（m,n 是互质的整数）.那么a()2+b()+c=0,即an2+bmn+cm2=0.把m,n按奇数、偶数分类讨论，m,n互质，不可能同为偶数.当m,n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数奇数奇数奇数0；当m为奇数,n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数偶数奇数奇数0； 当m为偶数,n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数偶数偶数奇数0.综上所述不论m,n取什么整数，方程a()2+b()+c=0都不成立. 即假设方程有一个有理数根
6、是不成立的.当a,b,c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k1).证明：设矩形A的长为a,宽为b，矩形B的长为c,宽为d. 根据题意，得.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韦达定理的逆定理，得c,d 是方程z2(a+b)kz+abk=0的两个根. （a+b）k24abk（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab, a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab. 0.一定有c,d值满足题设的条件.即总存在一个矩形
7、B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k1).例6.k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=. 由x1是整数，得k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12. 由x2是整数，得k1=1, 2, 3, 6.它们的公共解是：得k=0,2,2,3,5.答：当k=0,2,2,3,5时，方程有两个整数解.根据韦达定理x1,x2,k都是整数，k=1，2.（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=2 时适
8、合.答：当k取2和2时，方程有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解： 5x2x=0的一个整数根是. 3x2+(3)x =0的一个整数根是. x2+(+1)x+=0的一个整数根是.2. 方程（1m）x2x1=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是.3. 已知方程x2(2m1)x4m+2=0的两个实数根的平方和等于5，则m=.4. 若x y ，且满足等式x2+2x5=0和y2+2y5=0.那么.（提示：x,y是方程z2+5z5=0的两个根.）5. 如果方程x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,q应满足的关系是：. 6. 若方程ax2+bx+c=0中a0,b0,
9、c0.那么两实数根的符号必是. 7. 如果方程mx22(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m5）x22mx+m=0实数根的个数是（）.(A)2 （B）1 （C）0 （D）不能确定8. 当a,b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？9.两个方程x2+kx1=0和x2xk=0有一个相同的实数根，则这个根是（）(A)2（B）2（C）1（D）110. 已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,b应满足的关系是：.11.已知：方程x2+bx+1=0与x2xb=0有一个公共根为m，求：m，b的值.12.已知：方程x2+a
10、x+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x2a2x+ab=0的两个实数根.试求a,b的值或取值范围.13.已知：方程ax2+bx+c=0(a0)的两根和等于s1，两根的平方和等于s2, 两根的立方和等于s3.求证：as3+bs2+cs1=0.14.求证：方程x22(m+1)x+2(m1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15.已知：a,b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,d是方程x2+nx+q=0的两个实数根.求证：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq)2.16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：. 17.如果方程（x1）(
11、x22x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是（）（A）0m1（B）m（C）m1（D）m118. 方程7x2(k+13)x+k2k2=0 (k是整数)的两个实数根为，且01，12，那么k的取值范围是( )（A）3k4 (B)-2k-1 (C) 3k4 或-2k-1（D）无解参考答案1.0，1，12.03.1（舍去2）4.5.9q=2p2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=0.5 9. C10. a+b+1=0, ab11.m=1，b=2 12. 13. 左边a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=14. 用反证法，设x10,x20,由韦达定理推出矛盾（m1）15.由韦达定理,把左边化为p,q16. x23x+2=0 17.C18.C
