[高等教育]中值定理与导数的应用2终.doc

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1、4.求下列函数的最大值、最小值：（1）； （2） ； （3） ； （4）。知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上最值的基本方法是先求的点或者不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是在该闭区间上的最大值，最小的即是在该闭区间上的最小值。解：（1）在上令，得，； ，比较可得的最小值为，最大值为。（2） 在上，令，得，；，比较可得的最小值为，最大值为。（3）在上，得；，比较可得的最小值为，最大值为。（4）在上令，得； ，比较可得的最小值为，最大值为。5.求下列数列的最大项：（1） ； （2）。知识点：导数的应用。思路：求数列的最大项最小项问题可转化为求函

2、数在区间内的最值问题；若为在区间内的最小值点，则与中最小的一个为数列中的最小项；若为在区间内的最大值点，则与中最大的一个为数列中的最大项。解：设，则在区间内，令，得唯一驻点； 由，得，（或者说：当时，；当时，）为在区间内唯一的极大值点，也是最大值点；，且，当时，取得最大项。（2）设，则在区间内，令，得唯一驻点；当时，有，当时，有， 为在区间内唯一的极大值点，也是最大值点；，且，当时，取得最大项。6.从一个边长为的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？ 图3-5-6知识点：求最值问题。思路：根据题意建

3、立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，在某个区间内可导且只有一个驻点，且是函数的极值点，则当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值；在某个区间内可导且只有一个驻点，且在该区间上确实存在最值，则就是在该区间上的最值。解：设截去的小正方形的边长为，则根据题意，得，；令，得（舍去），；，可得，当一个边长为的正方形的四角上截去一块边长为的小方块，才能使盒子的容量最大。7.欲制造一个容积为的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解：设圆柱形容器的底为，高为，则表面积，又，得，令，得唯一的驻点；又由，知，为的极小值点，也是最小值点

4、；当，时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。8.从一块半径为的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图）容积为最大？解：设漏斗的半径为，高为，容积为，根据题意，得，从而有 ；令，得（舍去），（舍去），；漏斗的最大容积确实存在，即最大值确实存在，又的驻点唯一，时，取得最大值，即当切去圆心角为的扇形时，余下的部分卷成的漏斗容积最大。9.设有重量为的物体，置于水平面上，受力的作用而开始移动（见图），设磨擦系数，问力与水平线的交角为多少时，才可使力的大小为最小？解：根据题意，得，从而有， 即，令，则由，得在内唯一的驻点；，且力与水平线的交角时，才可使力的大小为最

5、小。10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点处挂一重量为的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图），如果杠杆的线密度为，求最省力的杆长。解：设杠杆长为，则根据题意和力的平衡关系，得，即；令，得唯一的驻点；最省力的杠杆长确实存在，当杠杆长时最省力。图3-5-8 图3-5-9 0.1m图3-5-10 图3-5-1111.光源的光线射到平面镜的哪一点再反射到点，光线所走的路径最短（见图）？解：设入射点为，则所走的路程令，得在区间内的唯一驻点，最短的距离确实存在，当入射点在上的点为时，光源的光线所走的路径最短；容易验证，此时入射角（记为）等于反射角（记为），即，此为著名的光的反射定律。12.甲船

6、以每小时里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北里处以每小时里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解：设两船的距离为，且经过小时两船距离最近，则根据题意得令，得在区间内唯一的驻点；两船最短的距离确实存在，时，取得最小值，即经过小时后两船距离最近。内容概要名称 主要内容（3.6）3.6 函数图形的描绘渐近线的概念：1）水平渐近线：若函数的定义域是无穷区间，且，则称直线为曲线的水平渐近线；2）铅直渐近线：若函数在处间断，且，则称直线为曲线的铅直渐近线；3）斜渐近线：设函数，若，则称为的斜渐近线，其中。注：若不存在，或虽然它存在但不存在，则不存在斜渐近线。函数图形描绘的步骤：1）确定函数的定

7、义域，求出函数的一阶导数和二阶导数；2）求出和的全部零点，的间断点，和不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间；3）确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点；4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势；5）算出和的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画出函数大致图形。习题3-61.求下列曲线的渐近线：（1）； （2） ； （3） 。知识点：渐近线的概念。思路：求出函数定义域；在间断点处或无穷大时，讨论的极限情况，用以求出的水平渐近线和垂直渐近线；讨论、无穷大时的极限，用以求出斜渐近线

8、。解：（1）的定义域为；，为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。（2） 的定义域为；，为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。（3）的定义域为；，函数不存在铅直渐近线及水平渐近线，而，为函数的斜渐近线。2.描绘下列函数的图形：（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）。知识点：函数的性质及导数的应用。思路：根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标，描绘函数图形。解：（1）1）的定义域为；2）令，得驻点；时不存在；无解；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：不存在不存在不存在不存在不存在极大值点不存在4

9、），为铅直渐近线，为水平渐近线，容易验证，函数没有斜渐近线；5）根据以上讨论，可描绘出函数的图形如下：图3-6-2-1注：也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在内的情况，描绘出此区间上函数图形，然后再利用图像的对称性，将函数图形补充完整。（2）1）的定义域为；2）令，得驻点；令，得，；3）为奇函数，在内列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：极大点拐点4），为水平渐近线，容易验证，函数没有斜渐近线；5）根据以上讨论和函数的奇偶性，可描绘出该函数的图形如下：011/2.图3-6-2-2（3）1）的定义域为；2）令，得驻点，；时，不存在；无解；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：不存在不存在极

10、大点不存在极小点4），为铅直渐近线，容易验证，函数没有水平渐近线；而，为斜渐近线。又5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：1350图3-6-2-3（4） 1）的定义域为；2）令，得驻点；时，不存在；在上无解；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：不存在不存在极大值点4）容易验证，函数没有渐近线。又5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：0图3-6-2-4（5）1）的定义域为；2）令，得驻点；令，得；3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：极大值点拐点4），为铅直渐近线，为水平渐近线；函数无斜渐近线。 5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：0图3-6-2-5内容概要名称

11、主要内容(3.7)3.7 曲率弧微分计算公式：，其中为弧函数，其性质为单调增加。曲率计算公式：设曲线方程为，具有二阶导数，则曲线在点处的曲率计算公式为。1） 曲率圆与曲率半径：设曲线在点处的曲率为，在点处的曲线的法线上，在凹的一侧取点，使得。以为圆心，为半径的圆成为曲线在点处的曲率圆。曲率圆的圆心称为曲线在点处的曲率圆心。曲率圆的半径称为曲线在点处的曲率半径。2） 在点处的曲率圆的圆心记为，则其计算公式为：。习题3-71.求曲线的最大曲率。知识点：曲率的计算公式及最值的应用。思路：根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于的曲率函数，然后求该函数的最大值，便得原来函数的最大

12、曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。解：，得函数在处的曲率为，下面求的最大值：由，得；舍去当时，；当时，当时，在内取得极大值，也是在内的最大值，即曲线的最大曲率为。2.求抛物线在点处的曲率和曲率半径。知识点：曲率和曲率半径的计算公式。思路：利用曲率及曲率半径的公式即可。解：，函数在处的曲率和曲率半径分别为，将分别代入、中，得曲率和曲率半径为，。3.计算摆线在处的曲率。解： ，； 在处的曲率为。4.曲线弧上的哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。知识点：同1。思路：同1。解：，得函数在处的曲率半径为，和的单调性一致，可通过求的最值得到的最值得唯一的驻点；当时，；当时，；当时，也是在内取得

13、极小值，也是在内的最小值，即曲线弧在处的曲率半径最小，且该点处的曲率半径为。注：此题也可通过求曲率的最大值点和最大值得到结果。5.求曲线在处的曲率。解： ，； 曲线在处的曲率为。6.汽车连同载重共，在抛物线拱桥上行驶，速度为，桥的跨度为，拱的矢高为，求汽车越过桥顶时对桥的压力。知识点：曲率在物理中的应用。思路：根据题意，利用数学知识，结合物理问题，建立数学模型。解：取桥顶为原点，垂直向下为轴正向，则抛物线方程为，从而桥端点坐标为在抛物线上，；，顶点处抛物线的曲率半径；利用物理知识，得顶点处汽车的离心力，得汽车越过桥顶时对桥的压力为。7.求曲线在其与轴的交点处的曲率圆方程。知识点：曲率圆的概念和

14、计算公式。思路：先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方程。解： 与轴的交点为， ，曲率圆的半径为；又由渐屈线方程的参数方程得，即曲率圆的圆心为，从而曲线在其与轴的交点处的曲率圆方程为。8.求曲线的渐屈线方程。知识点：渐屈线的概念。思路：根据渐屈线的参数方程公式求方程。解： 由，得，；，即所求渐屈线的参数方程为：（为参数）。总习题三1.证明下列不等式：（1） 设，证明：；（2）设，证明：。知识点：拉格朗日中值定理。思路：关键是寻找，用公式，当确定了的范围，即可定的范围，从而证明结论。证明：设 ，易见在连续，在可导，且， 由拉格朗日中值定理可知，至少

15、存在一使 即，又 ，故 。2.设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。知识点：零点定理，罗尔中值定理或者单调性的应用。思路：从结论出发构造辅助函数，利用零点定理证明存在性，利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性；或者是利用单调性证明唯一性。证明：1）存在性。设，易见函数在上连续，且 ，由零点定理可知，至少存在一点，使 ，即。2）唯一性。假设存在另一点，使，则在上连续，在相应开区间内可导，且，由罗尔定理可知，至少存在某，使，从而，这与矛盾，故有且仅有一个数，使。3.若时，可微函数有，则方程在内（）（A） 无实根； （B） 有且仅有一实根； （C） 有且仅有二实根； （D）至少

16、有二实根。知识点：极限的保号性，零点定理，罗尔中值定理。思路：根据保号性及零点定理，可得在内有零点，再两次利用中值定理便得结论。解：由得根据保号性，知，当时，有从而有，取，则有；同理，由可知，当时，有，取，则有；由零点定理，至少有一点，使；易知，在、在上连续，在、内可导，由罗尔中值定理，知至少有一点、，使得，；故选（D）。4.设于上连续，于内可导，求证：存在，使得知识点：罗尔定理思路：设置辅助函数，使其满足罗尔定理。解：设，则在上连续，在内可导， 且，即；由罗尔定理，至少存在一，即，又，故。注：辅助函数可通过如下推导获得：设5.设在上连续，在可导，且，试证：对任意给定的正数在内存在不同的，使。

17、知识点：拉格朗日中值定理。思路：证明在至少存在不相等的，满足某种关系式，一般不构造辅助函数，而是依据结论中各部分的特点分别利用微分中值定理。证明：显然，；又由在上连续，且，根据介值定理，至少存在一点，使；易知在、上满足拉格朗日中值定理，从而存在，分别使 （1）； （2），将（1）（2）两式相加，消去即得。6.设在上连续，在内可导，证明：在内存在点和，使。知识点：同5。思路：同5。证明：易知，、在上满足柯西中值定理，从而，使得 （1）又由朗格朗日中值定理知，使得 （2）由（1）（2）两式相比得即。7.证明多项式在上不可能有两个零点。知识点：罗尔中值定理。思路：反证法。解：假设在上有两个零点，不妨

18、设，易知在上连续，在上可导，且，由罗尔定理，至少存在一，使得 ，即 ，但，矛盾。故多项式在上不可能有两个零点。8.设可导，试证的两个零点之间一定有函数的零点。知识点：拉格朗日中值定理。思路：对于证明至少有一点，使得，一般从结论出发，构造辅助函数，然后根据具体的条件使用零点定理，证明；或者使用罗尔中值定理，证明。 ，故可构造辅助函数证明：设的两个零点，不妨设，再令，易知，在上连续，在内可导，又，从而，由罗尔中值定理知，至少有一点，使得，又，从而有，结论成立。9.设，证明方程在内至少有一个实根。知识点：罗尔中值定理。思路：构造辅助函数，证明辅助函数有驻点。证明：设，易知在上连续，在上可导，且，由罗

19、尔中值定理知，至少存在，使得 ，又，故 在内至少有一个实根。10.设在上处处有，且，证明在内方程仅有一实根。知识点：零点定理及其函数的单调性。思路：利用零点定理，或者证明有实根；再利用函数单调性证明根唯一。证明：由泰勒公式得：；在上处处有，从而；取，则有，又，由零点定理知，使得，根的存在性成立；下证唯一性：在上处处有，在上单调递减，从而在上，有，在上严格单调递减，从而仅有一实根。11.设在上具有二阶导数，且.若，证明：至少存在一点，使得。知识点：罗尔中值定理。思路：证明至少存在一点，使得的命题，可考虑连续次使用罗尔中值定理。证明：由题意可知在上连续，在上可导，且 ，由罗尔定理，至少存在，使得

20、；又，由题意在上连续，在上可导， 且，即 ，由罗尔定理，至少存在，使得。12.设函数在上可导，且，则在内存在一点，使得。知识点：费马引理。思路：可导的极值点必为驻点，所以证明在内存在极值点即可。证明：，不妨设，；，由极限的保号性知，当时，有，即有： （1）同理由知，当时，有，即有 （2）易知，在上连续，从而在上必有最值，且由（1）（2）知，的最小值点必在内取得，设为，则由费马引理知，结论成立。13.用洛必达法则求下列极限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 。知识点：洛必达法则。思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未

21、定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解：（1）。（2）。（3）。（4）（5）方法一：方法二： 又，故 。（6）。14.设，求。知识点：拉格朗日中值定理。思路：结论中含有函数改变量，可联想到利用中值定理求得结论。解： 由朗格朗日中值定理得，（介于与之间），从而有 。15.当与为何值时，。知识点：极限和洛必达法则。思路：根据题意和已有的结论得关于与等式，求得与的值。解：由题意知，在该式左边应用洛必达法则可得 ，上

22、式成立，必须 ，故，代入上式后，左边再应用洛必达法则，得，从而有，。16.设，由拉格朗日中值定理得：使得，证明： 。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据已知条件，求出的表达式，再利用求极限的方法求出极限。证明：由题意知，。17.设在的某个邻域内有二阶导数，且，求。知识点：导数的定义。思路：求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求出各阶导数值。解： 由，可得，从而；在的某个邻域内有二阶导数，有，从而有；再由，知，从而有。18.求的三阶麦克劳林公式。知识点：麦克劳林公式。思路：利用公式直接展开。解：，从而得的三阶麦克劳林公式为。19.证明：。证明：设，则，从而有。20.设，证明

23、：。知识点：麦克劳林公式的应用。思路：泰勒公式（麦克劳林公式）可以应用于证明不等式；将函数展开到适当的形式，然后利用已知条件和结论得到结果。证明：由麦克劳林公式，得，从而有；，又，有，结论成立。21.证明不等式：。知识点：导数的应用。思路：拉格朗日中值定理，函数单调性，泰勒公式等都是常用的证明不等式的方法；根据此题特点，可以用拉格朗日中值定理或函数单调性的判定定理。证明：方法一： 令 ，则易知在上连续；当时，有，由拉格朗日中值定理，易知，即有： ；又有即： ；从而由知，当时，有，即，结论成立。方法二：令 ，则易知在上连续当时，有严格单调降，得证22.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1） ；

24、（2）。知识点： 泰勒公式的应用。思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。解：（1）由泰勒公式得 有。（2）由泰勒公式得 ，从而。23.求一个二次多项式，使式中代表时比高阶的无穷小。知识点：泰勒公式的应用。思路：将函数的麦克劳林公式展开，再根据已知条件即得结果。解：由麦克劳林公式得：，再由可知。24.求下列函数的单调区间：（1）； （2）； （3）。知识点：导数的应用。思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列

25、表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1）的定义域为；令，得驻点为；不可导点为，。列表讨论如下：由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。（2），令，得，；当时，当时，；的单增区间为，单减区间为。（3）由知，；当时，令，得，并且当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；当时，令，得；并且当时，函数单调递增，当时，函数单调递减；综上可知，函数的增区间为，函数的减区间为。25.证明下列不等式：（1）当时，； （2）当时，。知识点：函数单调性的应用。思路：利用函数单调性是证明不等式常用的方法。证明：（1）令，则在内连续，可导， ，在上严格单增；从而，即，结论成立。（2）令，则在内连续，可导，且仅在可数的

26、孤立点处成立，在上严格单增，从而，即；令，则在内连续，可导，且，从而在上严格单增，从而，即；综上可知，结论成立。26.设证明：。知识点：导数的应用。思路：可以将看作变量，利用函数单调性证得结论。证明：设，则，在内严格单调递增，从而有在内严格单调递增，当时，有，即有，结论成立。27.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1） ； （2） ； （3） 。知识点：导数的应用。思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。解：（1）的定义域

27、为，令，得；当时，当时，的凸区间为，凹区间为，拐点为。（2）的定义域为，令，得；当时，当时，的凸区间为，凹区间为，拐点为。（3） 的定义域为，为不存在的点；当时，当时，的凹区间为，凸区间为，拐点为。28.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：（1） ； （2）。知识点：函数凹凸性的概念。证明：（1）令，在内是凹的。利用凹函数的定义，有，从而有，结论成立。（2）令，由，可知在内是凸的；又，由凸函数的定义知，即，结论成立。（也可用单调性证明）29.设在处有极值，试确定系数，并求出的所有极值点及拐点。知识点：导数的应用。思路：根据题意，得关于的关系式，确定的值；利用一阶导数符号判断函数的单调性和极值（可

28、导的驻点还有第二充分条件）；利用二阶导数的符号求函数的凹凸和拐点。解：，根据题意有，即有，解得，从而；令，得；当或者时，当时，从而知，为极大值点，为极小值点；令，得；当时，当时，从而知为拐点。30.求下列函数的极值：（1） ；（2） ； （3） 。知识点：极值的充分条件。思路：求的点或者不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。解：（1）的定义域为，令，得；当时，当时，在处取得极大值为。（2）的定义域为，令，得，又，从而在处取得极小值为。（3） 的定义域为，没有极值点。31

29、.研究函数的极值。思路：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求极值。解： ，定义域为， ，令，得驻点；在处，有，在处不可导，同理，在也处不可导；易知，当时，当时，在处取得极大值为；当时，当时，在处取得极小值为；当时，当时，在处取得极大值为。32.求下列函数的最大值、最小值：（1）； （2） 。知识点：导数的应用。解：（1），令，得；，在区间上的最大值为，最小值为。（2） ，令，得唯一驻点；当时，有，当时，有， 为在区间内唯一的极大值点，从而在区间内的最大值为，没有最小值。33.设，求的最大值。知识点：导数的应用。思路：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求最值。

30、解：，；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，在定义域上的最大值即为在上的最大值；令，得，又，且，函数在定义域上的最大值为。34. 求数列的最小项的项数及该项的数值。知识点：导数的应用。思路：求数列的最大项最小项问题可转化为求函数在区间内的最值问题；若为在区间内的最值点，则与其中之一为数列中的最值项。解：设，则在区间内，令，得唯一驻点； 当时，当时，为在区间内唯一的极小值点，也是最小值点；当时，取得最小项，且该项的数值为。35. 证明：。知识点：导数的应用。思路：求函数在闭区间上的最大值和最小值。证明：设，则，令，得；当时，当时，在处取得极小值，又，在上的最小值为，最大值为，从而有。36.

31、某商店每年销售某种商品件，每次购进的手续费为元，而每件的库存费为元/年，若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商店应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少？知识点：导数的应用。思路：根据题意，建立函数模型，求函数的最值。解：设商店分批购进商品，则所用手续费为元，因为商品均匀销售，所以商店的库存量为件，库存费为元，从而手续费和库存费总和函数为；令，得；又，为的极小值点，也为最小值点；从而可知，商店应分批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少。37. 以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只小船则一日能

32、来回10次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？知识点：同36。思路：同36。解：设每日来回次，每次拖只小船，每只小船运货为，则每日的运货总量为，又根据题意（小船增多的只数与来回减少的次数成正比）可得， ，从而得每日运货总量函数为，令，得；又，为的极大值点，也为最大值点，又时，每日来回12次，每次拖6只小船能使运货总量达到最大。38.求笛卡尔曲线的斜渐近线。知识点：斜渐近线的概念。思路：利用结论：为的斜渐近线解：笛卡尔曲线的参数方程为，所求斜渐近线为。39求曲线在点处的曲率及曲率半径。知识点：曲率和曲率半径的计算公式。思路：利用曲率

33、及曲率半径的公式即可。解： ，曲线在点处的曲率及曲率半径分别为，。40.证明曲线在点处的曲率半径为。解：，曲线在点处的曲率半径。41.求内摆线的曲率半径和曲率圆心坐标。知识点：曲率半径和曲率圆的概念。思路：利用曲率半径和曲率圆中心公式。解：内摆线的参数方程为，的曲率半径为；令曲率圆的圆心为，则有，即曲率圆的圆心为。课外习题与解答1、求下列极限(1)、（1998）解：令，则。(2)、（1997）解：。(3)、（1999）解：（4）、解：, , ,从而。2、设在区间内，。试证明函数分别在区间和内是单调增加的。证明：令，则，再令，则，当时，当时，；在内单调递减，在内单调递增，由，可得，从而，均有；有

34、，在和内单调递增，结论成立。3、设在上可导，若为内一定点，且，。证明在上必有。证明： 在上可导，当时，有，单调增；当时，有，单调降，又，在上必有4、（1999）试证：当时，。证明： 令，则，在内单调递增；又，当时，从而；当时，从而，综上可知，当时，。5、（1996）设由方程所确定。求的驻点，并判定其是否为极值点。解：对方程两边求关于的导数，得，解得，令，得；将代入，得是方程的解，解得驻点；由，得，又，为的极小值点。6、设抛物线上点（）处的法线交该抛物线的另一点为，求线段的最短长度。解：设，则在点处，法线的斜率，而切线的斜率为，有，即；从而线段的长度；令，得，且易验证为极小点，也为最小点，故可得

35、的最短长度为。7、设在连续。试证。证明：根据已知条件，得，结论成立。8、在0，1上具有二阶连续导数，且满足及，证明对一切有成立。证明：，由泰勒公式，可得 （介于与之间） （介于与之间） ， 由-，得，又，有，且，从而有，结论成立。9、设函数在区间上具有三阶连续导数，且，证明存在一点，使。证明：，由泰勒公式得（介于与之间）分别令和，并结合已知条件得（介于与之间） （介于与之间） 由-，得在区间上具有三阶连续导数，在上连续，从而由介值定理知，至少有一点，使得；再由最值定理知，至少有一点使得在处取得上的最大值，从而有，结论成立。10、（1996）设在上具有二阶连续导数，求证：。证明：，由泰勒公式，得，又，从而可得。