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1、 抽象函数教学专题探讨抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数对应法则的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，抓住局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外也可寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。本文我们将对抽象函数的教学作出探讨。 一、抽象函数定义域 函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是使学生明
2、白括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集。例1.已知函数的定义域是，求的定义域. 分析：先求的范围为M，则的范围也是M，再根据的范围求定义域。 解: 的定义域是，即,。 函数中.即 ，故函数的定义域为.例2、已知函数的定义域是，的定义域为 。 分析：分别求与的定义域，再取交集。 解：由已知，有 ，即 函数的定义域由确定 函数的定义域为二、 抽象函数的值域及解析式问题例3、若函数的值域为，求函数的值域。 解析：解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定。 函数中定义域与对应法则与函数的
3、 定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也 为。 总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不 会改变。例4、已知函数是定义在R上的奇函数, 是定义在R上的偶函数,且,求的解析式。 解:由为奇函数, 为偶函数，且 所以 ，即 +得：。三、抽象函数的单调性例5、设是定义在上的增函数，满足，解不等式。分析：解决不等式问题通常都是利用函数单调性来解决，此处可先带领学生回顾单调性定义及其逆用推论。（1） 若对于的定义域I内的某个区间D上，任取，如果时，则称函数在区间D内单调递增；如果时，则称函数在区间D内单调递减；(此定义用于解决单调性的定义法判断、证明)（2）若对于的定义域I内的某个区间D上
4、，任取，如果在区间D内单调递增，则当时，；如果函数在区间D内单调递减，则当时，；（可用此解决函数的值域或比较数的大小等题型）(3)若对于的定义域I内的某个区间D上，任取，如果在区间D内单调递增，则当时，；如果函数在区间D内单调递减，则当时，；（可用此结论脱去“”“解决定义域I内的函数不等式）以上三点可总结为增函数中函数值的不等号方向和自变量不等号方向相同，减函数中函数值的不等号方向和自变量不等号方向相反。解决本题中的函数不等式问题，先引导学生利用单调性解题，引导中强调单调性是定义域内的局部性质。由于函数单调性已知故提问学生怎样构建类似于这样的两个函数值的大小关系，不等式中有没有直接的大小关系?
5、没有怎样转化?提问实数2能否转化为某个自变量的函数值？题中反映抽象函数的函数特征的式子（自变量函数值的和等于自变量和的函数值）能否将不等式转化为只有两个函数值的大小关系？解：， ，又，得 函数是定义在上的增函数 得，例6、已知定义在上的奇函数满足：；对任意的，均有；对任意的，均有；（1）试求的值；（2）求证：在上是单调递增；（3）已知对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：（1）抽象函数解析式未知，求只能针对函数特征的 式子赋值出才能求，故可对 中令，可得出。 （2）证明抽象函数单调性；引导学生回顾单调性的定义法证明过程，提问此时函数解析式未知作差后能否变形？题目条件里有没有或能不能转化
6、到类似的函数值之差的形式。 引导学生移项得出差的形式 ，观察三个自变量的关系， 故而在上任取， ，进而得出 ，即，故命题得证。 （3）利用单调性解不等式；解不等式优先想到利用函数单调性脱去“”。 由（2）知函数在上是单调递增，故接下来只需将2改写成某个自变量的函数值。由，对函数赋值令知，不等式转化为 ，得出自变量关系的恒成立问题。最终解出的范围。四、抽象函数的奇偶性例7已知的定义域为，且对任意实数满足。求证是偶函数。 分析：证明函数奇偶性关键是证明对于定义域内任意的自变量都有，而抽象函数的特征式中含有两个变量和，要通过赋值消去一个变量才能转化为形式证明奇偶性。 证明： 令时，； 令时，； 令时
7、， 故可知，。是偶函数。 例8、设是定义在R上的偶函数，且，则的值为_ 分析：求，而函数解析式未给出，此时只有充分挖掘函数特征式引导学生得出 =，转化为求同理转化为求 以及。 解：取，则， 得。=1， =0.5.例9、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 (A) 0 (B) (C) 1 (D) 分析：条件可转化为，可用 上面的思路令一步步转化为求，。 解：令，则； 令，则。 ； 令，则，故； 令，则，故。 所以=0.选A.五、抽象函数的对称性和周期性 函数的对称性包含函数自身与两不同函数之间两方面的对称，本文仅对函数自身对称作出探讨。而抽象函数的对称性中又能推
8、到出周期性结论。例题引入：若函数对一切实数都有 ，则（ A ） 引导学生从数形结合角度得出二次函数中是函数的对称轴， 式中自变量2加上或减去任意实数都有函数值相等，即图象上点，其中 ；再根据图象得出选项。定理1：若函数定义域为，图像关于直线对称的充要条件是 也可以写成， ； 说明：定理可通过点的对称来证明，此处从略； 特别的，函数的图像关于轴对称的充要条件是 ，此时函数为偶函数.定理2：若函数定义域为，图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 也可以写成或 . 说明：函数的图像关于原点对称的充要条件是 若函数定义域为，且满足条件： （为常数），则函数的图象关于点对称。 定理教学时关键是从数学
9、结合的角度，借助点的对称点还在函数 图象上，由特殊到一般来研究函数自身对称情况。对称轴方程中 如果两个括号内自变量相加能消去未知数，则对称轴为其加后 和的一半。中心对称中既有横坐标的对称还有纵坐标的对称。周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。若是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且2|是它的一个周期。， 对于这四类关键是先变形为等于什么，在向后递推转化为形式比如，研究的周期，再向后递推得出，代回上式，得出： ，故是周期函数，且周期为
10、。函数的对称性与周期性性质1 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期 函数，且。性质2、若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为 周期函数，且。性质3若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数 必为周期函数，且。证明：性质1、关于直线对称，由对称轴方程有： 同理可得， 所以函数周期为。 性质2、关于点中心对称，则有， 即同理可得 所以函数周期为。 性质3、关于点中心对称，则有； 关于直线轴对称得到 ，向后递推可知 ， 所以。三个性质的记忆可借助特殊的周期函数图象中相邻的对称轴间隔，相邻的对称中心间隔，相邻的对称中心和对称轴间隔。例10、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) 是奇函数 (D) 是奇函数解：与都是奇函数。，。 函数关于点(1,0)及点（-1，0）对称，且它又是周期T=21-(-1)=4的周期函数。 ,即。 是奇函数。故选D例11、设函数对任意实数满足， 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间上， 故图象与轴至少有2个交点. 而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.第 10 页
