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1、第十讲:特殊四面体及其性质一四面体性质1四面体的射影定理：如果设四面体ABCD的顶点A在平面BCD上的射影为O，ABC的面积为S1，ADC的面积为S2，BCD的面积为S3，ABD的面积为S4，二面角A-BC-D为1-3，二面角A-DC-B为2-3，二面角A-BD-C为3-4，二面角C-AB-D为1-4，二面角C-AD-B为2-4，二面角B-AC-D为1-2，则S1 = S2cos1-2 + S3cos1-3 + S4cos1-4S2 = S1cos1-2 + S3cos2-3 + S4cos2-4ABDCOS1S2S3S4S3 = S1cos1-3 + S2cos2-3 + S4cos3-4S
2、4 = S1cos1-4 + S2cos2-4 + S3cos3-42性质2(类似余弦定理)S12 = S22 + S32 +S42 - 2S2S3 cos2-3 - 2S2S4 cos2-4 - 2S3S4 cos3-4S22 = S12 + S32 +S42 - 2S1S3 cos1-3 - 2S1S4 cos1-4 - 2S3S4 cos3-4 S32 = S12 + S22 +S42 - 2S1S2 cos1-2 - 2S1S4 cos1-4 - 2S2S4 cos2-4S42 = S12 + S22 +S32 - 2S1S2 cos1-2 - 2S1S3 cos1-3 - 2S2S3
3、 cos2-3特别地，当cos1-2 = cos1-4 = cos2-4 = 0，即二面角C-AB-D、 C-AD-B、B-AC-D均为直二面角（也就是AB、AC、BC两两垂直）时，有S32 = S12 + S22 +S42，证明：S32 = S3S1cos1-3 + S3S2cos2-3 + S3S4cos3-4 = S1 S3cos1-3 + S2 S3cos2-3 + S3 S4cos3-4 = S1（S1 - S2cos1-2 + S4cos1-4）+S2（S2 - S1cos1-2 + S4cos2-4）+ S4（S4 - S1cos1-4 + S2cos2-4） = S12 + S
4、22 +S42 - 2S1S2 cos1-2 - 2S1S4 cos1-4 - 2S2S4 cos2-43. 任意四面体都有内切球及外接球。二正四面体及其性质1.定义:所有棱长相等的四面体.它可由正方体截去四个三棱锥后得到。2. 正四面体与正方体的关系正四面体可由正方体截去四个三棱锥后得到.若设正方体的棱长为,正四面体的棱长为，则正四面体内接于一正方体，且a=3.性质:设正四面体的棱长为，则这个正四面体的(1)全面积S全= ； (2)体积V=；(3)对棱中点连线段的长d= ；(此线段为对棱的距离，即为外解正方体的面对角线长;若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径);(4)相邻
5、两面所成的二面角=; (5)对棱互相垂直。(6)侧棱与底面所成的角为=; (7)外接球半径R= ；(8)内切球半径r= . 其中r :R=1:3.(9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高).利用上述结论可迅速解决如下各题: 例1.正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果 E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等( ) (90年全国高考试题)(A) 90 （B）60 （C）45 （D）30 分析：本题若仔细观察已知条件，易知S-ABC为正四面体。而一正四面体必可补成正方体（如图2)，显然，EF在正方体的两底面的中心连线上，与正方体的侧棱SD平行
6、，由ASD=45，知选(C).例2.棱长为2的正四面体的体积为_.(98年上海高考题)本题若直接计算,有一定的难度与计算量,若利用上述习题结论,将其补成正方体,可取得事半功倍之效.解: 将该正四面体补成正方体,由正四面体的棱长为2,易知正方体的棱长为.故V正方体=()3=2 V正四面体=V正方体= 。例3.一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积为_. (2000年全国高中数学竞赛试题)本题所给的参考答案较复杂,若能把正四面体补成正方体，然后再利用正四面体的棱切球半径等于正方体的内切球半径解决,就会有意想不到的解题功效.解:(如图)将正四面体补成正方体,由上述结论可
7、知正四面体的棱切球即为正方体的内切球. 正四面体的棱长为a; 正方体的棱长为a;正方体的内切球半径 r=a .V棱切球=r3=(a)3=a3 .例4.如图S-ABC 是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是_.(2000年春季高考题)分析：连接SE、SF延长分别交AB、BC 于G、H，易知EF=GH=AB，故只需求出正四面体的棱长即可，本题若直接由体积求棱长有一定的难度，若根据习题结论，先把正四面体补成正方体，则V正方体=3V正四面体=216，故正方体的棱为6，而正四面体的棱长为6，所以EF=AB=2. 例5.正三棱锥A- BCD得侧棱长与底面边长相等,顶点A、B、C
8、、D在同一个球面上，CC1和DD1是该球得直径，则平面ABC与平面AC1D1所成角的正弦值为_.(第十一届“希望杯”高一培训题)分析:利用习题结论可知,正三棱锥A-BCD与它外接正方体的各顶点共球面.故构造如图5的正方体AD1CB1- C1BA1D,易知CC1与DD1就是该球的直径.取AB的中点O,连D1O、CO，则COD1是平面ABC与平面AC1D1所成的锐角二面角，于是 sinCOD1=例6.半径为R的球的内接正四面体的体积等于_. (第十一届“希望杯”高一培训题)分析:由上述结论可知,半径为R的球的内接正方体的对角线长为2R,故其棱长为,其体积为V正方体=()3=,V正四面体=.正四面体
9、与正方体是立几中较特殊、内涵较丰富的几何体,且两者有着密不可分的关系.我们在解题时若注意运用两者的特殊关系,往往会达到 “山穷水复疑无路,柳暗花明又一村.”的效果.三直角四面体的性质定义 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.等价定义：从同一个顶点出发引三条两两互相垂直的棱所成的四面体叫直角四面体。 (1)直角四面体的判定：定义法或以下几种情形。 1)三组对棱都互相垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体； 2)有一个三面角的面角均是直角的四面体叫做直角四面体； 3)正四面体DABC中，过顶点D的高线DH的中点设为点O，则OABC是直角四面体。 (2)两种习惯画法: 直角四面
10、体OABC中， AOB=BOC=COA，(3)相关概念 如图所示。 1)点O叫做直角(四面体)顶点； 2)OA、OB、OC叫直角棱，其棱长分别设为a、b、c；3)面AOB、面BOC、面COA称作三个直角面，其面积分别记为、；4)底面ABC又叫做斜面，面积记作S； 5)点P为斜面ABC内任意一点，特殊地，OH面ABC时，称OH为斜面ABC上的高。(4)直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中，AOB=BOC=COA=90，OA=,OB=,OC=.则 斜面ABC(不含直角的底面ABC)是锐角三角形 提示:ABACBC2a0，由余弦定理得 cosA 0， 即A是锐角.同理可证B、C也是锐角
11、 ABC是锐角三角形，或可由运动变化观点每个锐角的取值范围是(0，)直角顶点O在底面上的射影H是ABC的垂心；如图，连CH交AB于点D， CO面AOB，由三垂线定理的逆定理知ABCH同理可证：BC AH、ACB H为ABC的垂心。体积 V= =(了解.利用前述结论证明)；底面面积SABC=(了解)；提示:若三角形三边长分别为a、b、c，且2a+b+c，由古希腊“海伦公式”：S=， 或由南宋秦九韶“三斜求积公式”：， 即可证得公式.特殊地，当时，有某直角面的面积是它在斜面上的射影面积与斜面面积的比例中项。例证:如图， 在平几里有勾股定理：“设ABC的两边AB、A互相垂直，则ABAB”拓展到空间，
12、类比平几勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“直角四面体中S(S2BOC+S2AOB+S2AOC=S2ABC)”(由2003年新课程卷填空题改编) 证明:在图一中，由面积射影公式得cos=,cos,cos,结合性质得：，化简得：点P到三直角面的距离依次设为x、时，则有： (1)化简后关系式得证。 (2)当点P移到点H位置时，设OH=h，由OAOB，OOOHCD，可得另一关系式：，特别当时，h，这与由向量法(利用点H为正ABC的重心) 两边取模的平方推得： 即h相吻合。 以、 为三个基向量，以OP为体对角线构造长方体，则OP与OA、OB、所成的方向角 、 满足
13、方向余弦公式：cos+cos+cos=1；且OP与三个直角面所成角满足：cos+cos+cos=2, 据此，参照图一中有关直角三角形角度间的关系，在直角四面体OABC中，有： (1)下列几种情形均有： cos+cos+cos=l. I、OP (含OH ) 与OA、OB、OC所成角、； 、AB(或BC、AC)与OA、OB、OC所成的角； 、斜面ABC与三个直角面所成的二面角。 (2)下列情形都满足： cos+cos+cos=2 I、OP (含OH)与三个直角面所成的角、 ； 、斜面ABC与OA、OB、OC所成的线面角； 、AB(或BC、AC)与三个直角面所成的角。外接球半径 R= ；说明:直角四
14、面体的三条直角棱长的平方和等于其外接球直径的平方。将图补成以a、b、c为长、宽、高的长方体，则长方体的对角线长l满足： R=进一步研究直角四面体与长方体这一组合图形，可得出另一结论：直角四面体的外接球球心是各条棱的中垂面的交点，连接其对棱中点的线段交于一点且互相平分，其连结长等于外接球半径R。内切球半径 r=()联想到直角三角形的内切圆半径公式：r，由(1)的切割等积法，易证直角四面体的内切球半径公式：且由数形结合知内切球球心是直角四面体的各个二面角的平分面的交点(了解).(11)若将直角四面体每对棱之间的距离(即公垂线的长)叫做四面体的一个“宽度”,设三个“宽度”分别为P1,P2,P3,高为h,则提示:设以OH与三个侧面所成的二面角分别为、,则,结合性质-(1)即得.
