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1、,鉴江中学 于孙潮,1.本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。,2.锐角的取值范围及变化情况：,3.特殊角的三角函数值：,4.同一锐角的三角函数之间的关系：（1）平方关系：sin2+cos2=1,5.互余两角的三角函数之间的关系：,6.解直角三角形的依据：在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，除直角C外，其余五个元素之间有以下关系：（1）三边关系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（互余关系）（3）边角关系：,解直角
2、三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。,任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值，任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。,7.解直角三角形的分类：,例如,选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除。,8.有关解直角三角形的应用题：,应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念：(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线
3、下方的叫做俯角，如图1。,(2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度 的比叫做坡度，用字母i表示，即，如图2。,(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。,(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角叫做方向角，,如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东、南偏东、南偏西、北偏西。又如，东南方向，指的是南偏东 角。,一.基础题型分析：例1.,分析：,解法二：利用同角的三角函数的关系式。sin2B+cos2B=1,例2.,A=30。,（2）B=90
4、A=9030=60。,解法二：（1）在RtABC中,无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。,A=30,说明：,解法一：在RtABC中，如图3。,例3.当45cosB.sin=cosC.tancotD.tan1,分析：如图4，设A=，则BCAC。,解法一：利用三角函数定义。,应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。,解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。,根据锐角的正弦（切）的增减性可知,应选A，其它两项也不成立。,解法三：找标准量45角比较。,45sin45，coscos45,sin45=cos45 si
5、ncos，,同理tancot，应选A。,例4.A.等腰非等边三角形B.等边三角形 C.直角非等腰三角形D.等腰直角三角形,分析：,所以A=60，B=60，应选B。,例5.为锐角，若m2，下列四个等式中不可能成立的是（）,分析：根据三角函数值的取值范围，有,判断可知cos选项不可能成立，应选B。,例6.,分析：题目涉及到同角的正余弦的和差，可以考虑应用关系式：sin2+cos2=1解题。,注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sin与cos的大小。,例7.在RtABC中，C=90，a+c=12，b=8，求cosB。,解：,二.综合题型分析：,例8.已知：如图5，ABC中，B=30，ADC=45，
6、ACB=120，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。,A,B D C,(,图,5,),30,45,120,解法一：过A作AEBC的延长线于E，,ACB=120，ACE=60。,ADC=45,DE=AE,E,解法二：如图6，过D作DFBC于D，交AB于F。,A,B D C,(,图,6,),30,45,120,F,易证得FAD=DAC=15,FDBC，ADC=45,ADF=ADC=45,在ADF和ADC中,ADFADC,DF=DC=8,在RtBDF中，,例9.如图7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F，已知sin=,分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是特殊的比值问题，
7、因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题。,锐角，或是RtMNC的锐角，或是RtEMF的一个锐角，这样就有三种解法。求tan，从图形直观上看，就是把放在RtAME中，求出AE和ME，或用某个字母x的代数式表示AE和ME即可。,解：在RtMNC中，,设MN=5x，MC=13x，,则NC=12x。ME=MN=NB=5x，BC=NCNB=7x。,例10.在ABC中，C=90，A=15，AB=12，求SABC。,C,A,（图,8,）,15,解法一：如图8，取AB的中点D，连结CD，过C作CEAB于E。,AB=12,A=ACD=15,CDB=30,在RtCDE中，,B,E,D,解法二：如图9，
8、把ACB沿AC翻折，得到ACD，,C,A,（图,9,）,D,则ACDACB,DAC=CAB=15，DAB=30,AD=AB=12,过点D作DEAB于E，,DE=ADsin30=6,B,E,例11.如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30，求建筑物的高（结果保留根号）,分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）RtABC与RtADB有一条共同的线段AB，因此只要利用RtABC和RtADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。,解：设AB=x,例3.人民海
9、关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点B为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1）,分析：（1）此题可利用于方程来解决，设需t小时追上，然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于“t”的一元二次方程，从而求出时间t。（2）要求B点的方位角，首先应理解方位角在几何图中的表示方法，然后借助正弦函数值以及计算器来求出B的方位角。,解：设需t小时才能追上。,
10、（2）在RtAOB中,即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4。,A,B,O,例5.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问B处是否会受到影响？请说明理由。,（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。,北,A,B,西,C,分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于20
11、0海里则不受影响。（2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。,北,C,60,西,B A,D,E,F,解：（1）过B作BDAC于D,根据题意得：BAC=30，在RtABD中,B处会受到影响。,（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在RtDBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在RtBAD中，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：,该船应在3.8小时内卸完货物。,在RtABC中，C=90：,已知A、c,则a=_;b=_。,已知A、b,则a=_;c=_。,已知A、a，则b=_;c=_。,已知a、b，则c=_。,已知a、c，则b=_。,已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；求邻边，用锐角的余弦。,已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；求斜边，用锐角的余弦。,已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切；求斜边，用锐角的正弦。,返回,
