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1、浅谈二次曲线的射影理论摘要：本文探究了二次曲线的射影理论。首先，给出二次曲线的射影定义，并给出直线与二阶曲线的位置关系。然后，给出非退化二阶曲线极点和极线的相关定义,了解极点和极线的计算与画法。最后通过二次曲线的奇异点和射影坐标变换对二阶曲线进行了分类，得出五类曲线。刖百射影几何起源于公元1401年中期，但是各方面(以及一些数学家)却是在公元1800年才认可射影几何，而在这之前人们总会对它的理念以及实践方法产生争议。射影几何分为这样几个时期：(1)公元1401年中期到公元1601年中期。由于处于文艺复兴文化运动的全盛时期，在绘画成就中透视法被普遍使用，几何学方面的成就并没有多少发展，而射影几何
2、发展“迈出了具有决定意义的一步”是在1639年法国的笛沙格提出的；(2)公元1600年中期到到公元1800年初。几何学研究的普遍方法就是解析法；(3)公元1801年初至公元1901年。出现了许多杰出的几何学家，而这些几何学家使用的综合法和解析法让射影几何学得到了发展和完善。关于射影理论的成果见文献1-17,例如孟令江在文献5讨论了非退化二次曲线关于自共辄极线与极点的确定问题；张政武则在文献12研究了二次曲线的计算方法;对于高等几何的二次曲线的射影理论相关知识，本文通过对现有成果进行梳理，探讨二次曲线射影理论的结论，便于相关学者能够熟悉掌握相关知识。1二次曲线的射影定义1.1 二次曲线的射影定义
3、定义1.I在2维射影空间上，3维点坐(XXX1.2)符合：标3axxj=(a=aji)这些点的轨迹就是二阶曲线,若QIR,并且至少有一个JO,这个方程是二阶曲线的方程。方程3aXXj=O（a=/也可以表示为：Xaa12a3Oxi（XXX1.2）qa22a23qxq021a32a332=0其中A=（）为系数矩阵，A为系数行列式，aij=ajj定义1.2在2维射影空间上，两个线束是成射影对应的，那么其直线交点的轨迹即为二阶曲线。3z注：axxj=（=与）式中,6U=O则二阶曲线退化。定理1.1两个中心不相同的射影对应的线束，它们对应直线的交点可以构成一条二阶曲线。证明设其为泌二0,=0,代入得：a
4、1.+c+d=0（ad-bci。）,消去得d=0,也即aaa+bab+cab+9eb0eb,0+bareeZ?dbb=0其中abab，是1.XX2一次齐次式，所以即二阶曲线。又由于=0,b=0的公共点X3和3=0,人=的公共点也符合，定理得证。定理1.2两个线束成射影对应，则对应直线的交点连接成二阶曲线，在其上任意取两个点作为中心，向投射到其它的点上，那么得到成射影对应的两个线束。证明设以。和0,为中心的射影线束OP和0，（）所生成了二阶曲线，任取二点（AB,令M为曲线上的动点,下面证明AM）U（B）:f如图1-1所示，AM与OPoB之交点、为K,BBM与OP,OA之交点为TC、MA，匕于0A
5、8PM()O，(ABPM),所以.XF八(ABKM)VOABPM)UOABPM)U(ABKM)因此，(43KM)(ABKM)o又MM,故有(ABKM)(ABKM).所以AABBKK，共点于S。则有一透视对应链AM()UOPXr()UO,)UB)即4)U(B)0证毕。图1-1例1求XX3=O和X/、=0成ZJ对应，那么该二阶曲线的方程。123二+2解：两射影线束可以写成ii,X-Ix=O1 (+)%-(1-1X=O.O,4即I1.X1-X3=0i2+x+(x-x)=0.62323消去/,得112+X3X2-X3所以X3+XX+2XX-XX=O为所求二阶曲线的方程。1.2二阶曲线、直线的关系设两点
6、为尸pp(,p),QqqqO二阶曲线S为axxj=(。=町)，,2323u=7fU则PQ上的点可以写成(XXJn2)，则记P。与S的公共点为Xi=Pj+/夕o代入得：&a(p+)(py+Ias13Spqaapqj=(pp,p)Aqqiji23cM=Q21二3aeiSPap=(pp,p3)Axq0=1y12q2SqJaaqPj=(qqq)piji23Cv=q2Rae1Sqaqj=(qqq)xiji230=1q2其中A为系数矩阵，将式改写为S/2+2S/+,=0qwCppA=S2-SSWPP位置关系A0相交A所以也即是重合的直线，其方程为5XI -X2 2x = O例3当占八、Pseq q仔 在二
7、阶曲2,1纬X1 -2 X +222 3%xx= O上时,求切线方程。 3213解：将P代入可得r-2SPP1.2-2鹏2+-312,5-2=0,所以尸点在SW=O上，则所要求的方程为S0,11,0 99 X3共=03DO 1-a.10,299X 2e所求切点方程为3x-20x+4=Oo2帕斯卡和布利安桑定理帕斯卡定理非退化的二阶曲线内接的任意一个简单的六点形，它的三对对应的边的公共点共线（图2-1）。这条直线称为帕斯卡线。图2-1图2-2证明：如图22,设简单的六点形HAAAAA，其对应边公共点分别为1.MN1234561.=AAIAAM=AAIAAN5=AAIAA以1.A为心，则有AI(A
8、AAA2)U(AAAA2).456.456设AA1.AA=PAA51AA=QW1JI645634AAAAA(2)(1.AAP),A(AAAA24)(MQAAs6),dSAS24人所以(1.AAP4)(MQaA5),又AA，故有（1.AA尸4）（MQAA56）,5所以1.MAQPA4三线交于一个公共点上，也就是点1.MN共一条线。帕斯卡定理的一些特殊情况：图形五点形情况非退化的二阶曲线内接一个简单的五点形，它的任一条边与其所应的对顶点的切线的交点，以及其他两对不相邻的边的交点，三个点共一条线。（如图23）图2-3非退化的二阶曲线内接一个简单的四点形，它的两对对应边的交点和两对对顶点的切线的交点，
9、四个点共一条线HJo（如图2-4）0/Qk四点形情况非退化二阶曲线内接一个简单的四点形，它的一对对边的交点和另一对对边中每一条与其对应顶点的切线的交点，这三个点共一条线。（如图2-5）1图2-5三点形情况非退化的二阶曲线内接一个三点形，那么它每一顶点处的切线和对边的交点，三个点共一条线。（如图2-6）图2-6布利安桑定理非退化的二级曲线外切的任意一个简单六线形，那么它三对对应顶点的连线是共点的。（图27）。这个公共点我们也称之为布利安桑点。图2-7例1在二阶曲线上选出六个点后，则有多少条帕斯卡线？对偶地，对于二级曲线情况如何？解：因为给定六个点后，简单六点形的边与这六个点的顺序有关，所以一般情
10、况K坤才小笺的笛咕一占铲后5!个，所以总共可以产生60条帕斯卡线。下，这样不全等的间单八点形有2=60同理对于给定六条线，简单六线形的顶点与这六条线的顺序有关，所以不全等的简单六线形也有个，故可产生60个布利安桑点。Z-Ov例2在射影平面上选出五个点(没有三者共线)，利用帕斯卡定理，求作一个点的切线？、解：如图2-9,将五个点AAAAA1.2，令AA和AA相交，相交的直线记为为34512451.,AA和AA相交一个点M，1.M记为连接AA相交与N点连接NA。由定理34152352.2可知，AN即为A5的切线。图2-93极点、极线，配极原则首先，给出共辗点的定义。定义3.1给定两个点PQf它们的
11、连线与一条非退化的二阶曲线()相交于两点2(Pi(),且(MM1.2,PQ=-)1,那么在()上PQ的两个点是共拢的。定义3.2二阶曲线上关于P点共轨的点集合构成一条直线，称其为P点是关于该二阶曲线的极线，点尸也就是二阶曲线在直线上的极点。定理3.1两个点Ppp(I2,3),Qqqq(I23)如果不在二阶曲线上，则该两点关于二阶曲线5。曲冗“小产0成共飘点的充要条件是SM=O。证明假设MMI2点既在直线PQ上，也在S=O上，设MMI2坐标分别是M1.(Pj+M)，2(，+i=1,2,3。/iii)II=-因为(例2,PQ1.=.所以PQ成调和共飘的条件是即J1，12=0,故方程Sqg2+2s3
12、+%=只需满足SY0。定理3.2如果一个定点不在二阶曲线上，那么它关于一条二阶曲线的调和共辗点的轨迹为一条直线。证明设定点为PPP(12,3),二阶曲线为SokaXXijij=0,调和共车后点为Qxxx(123),由定理3.1,尸。互为共轨点的充要条件为SM=0,现设QN)为动点，则23 一次齐次方程，因此Pp()点的S=POo直线S=pO是XXXi调和共辄点的集合构成一条直线。如图3-1。图3-1定理3.3任意一直线关于二阶曲线总能确定一极点。证明令直线/“X1+NX+UX=O二阶曲线方程是S。苴x冗广O12233iji(=ajj,aj1)Ppp(,p)记作直线的极点，贝IJ23Spo(aa
13、p+ap)x+(p+op+ap)x+(p+p+ap)x=0应与直线重合，即10ap+ap+ap=apH112213321+ap+ap23=ap+ap+ap=O122231I322331ap.aP&Papaij1O，ap.31+ap322所以只有一个根,+apy=ku+ap=ku2k1O+ap=ku3333故极点P确定。例1续的点。解:二阶曲线的齐次方程为:在直x+5y18=0上，试求二阶曲线2孙6x+4y1=0关于P(5,4)共初So2xx-6xx1+XX-X3=0那么二阶曲线S在P-(5,4)的极线为S=5,4,1) 13-3ae I2 qq X=0上式展开得到x-3x+22x=0所求共拢点
14、在直线x+5x-18X-O上，联立得,xi:x:x=-37:5:12所以所求共枕点为(-7,5,1)也即(-7,5).旦例2给定两条二阶曲线T-.ax1.xxTif1.x=ax3,试求二阶曲线Tr1.的极线是同一条直线的点。解：点(bc)关于;的极线为XAOdae6eqx(abc：0-1)qq-1o0X即Aax-ex2-bx=03点（abc）关于27的极线为e0iQaeex(ab：00)CCq0-A1x即bx+ax-cAx3=0因为表示同一直线，故Aa=-c_b令c=1,a=Z?=Ao得1故所求点为（.A,1。1例3求二阶曲线在已知直线P的极点。解：如果二者，则P的极点既为切点；如果二者不是相
15、切的，设4B是尸上的任意二个点,通过点A作两条割线，交二阶曲线分别于点4,COE。设AO与CE的交点是。，AOAE与CO的交点是H,那么A点的极点是直QR。同理，可5点的极线。记,b线做是AB在二阶曲线上的极线。由图3-4,根据配极原则,b的公共点P，即是P的极点。图3-4例4已知二阶曲()：2x+4xx+6xx+X3=0,线1212132（1）求点尸（1,2,1关（）的极线。、干（2）求直工二2关于（）的极点。心.解：（1）因为=+=1710所以P点不在()上，2236e1Sp=(121)C200Cx2=Oe3O1.q0e30那么所求极线为9xi+2x2+4x3=0(2)设PXo(IO,X2
16、O,X3)为所求极点，那么有下式史223asiae；二qqe3010qex300Qe0解线性方程组12x+2x+3x=0.30.2x=11.3x+x3=0;Ino可得XO1.,0 7，X3 =- 03-6xx-2xx-4xx=O的极线。解：在（）方程中代入点（5,1,），则7252+312+2-651257-417=-26,Or那么此曲线上没有点（5,1,），（）在点（5,1,）的极线为rnX2-3-1ae61（5,1,7）q3-2x9-3-212=0即X=2O所以所求极线的方程为X=2O4二阶曲线的射影分类给定二阶曲线S。&QXXj=O,（。=叼）则符合下式aX + ax=Oax2+ axa
17、3 + ax+x =O+ ax =O333,I322的点PXXX（I）叫做S=O的春异点。可以得到：当（）秩为2时，S=O有唯一奇异点。当（）秩为1S=O有无穷多个奇异点。时.设系数矩阵为（），当（）秩为，则二阶曲线S分类如下:rank（）二阶曲线S标准方程r=1退化两条重合直线x=r=2退化两条实直线XI-X2=0两条虚直线X+X2=0r=3非退化实长圆曲线X+X2-X3=0虚长圆曲线XI+X2+X3=0历时将近两个月的时间终于将这篇论文完成，在论文的完成过程中我遇到了很多的困难，但在学校和同事的帮助下度过了。感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究贡献，如果没有各位学者的研
18、究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。参考文献：1梅向明,刘增贤.高等几何第三版IM.北京：高等教育出版社,2008.2王敬庚.试论射影几何对中学几何教学的指导意义J.数学报，1986,(12).3张文贵,于俊文，王家铎,秦炳强.突出几何特点,改革高几教学J.数学教育学报，1995,(4):54-58.4高星强,闫晓红.高等几何第三版全程导学及习题全解V.中国时代经济出版社,2011.孟令江.非退化二次曲线自共扼极线与极点的射影确定J.河北大学学报(自然科学版)，2006,26(2):139-141.6孟令江.二次曲线的射影与度量J.唐山学院报,2008,21(4):7-9.8柳咏秋
19、,陈谷新.二次曲线的焦点及其伴随曲线束J.北京农业工程大学学报，1988,8(2):76-89.9宋占奎.二次曲线方程的五点确定法J.西安文理学院学报(自然科学版)，2007,10(2):62-64.10宋占奎.二次曲线数例研讨的射影几何学方法J.西安文理学院学报(自然科学版)，2012,15(1):78-82.11刘重甫，汪昌庆.五点定位的二次曲线类型J.合肥工业大学学报(自然科学版)，994,17(2):94-88.12张政武.二次曲线的计算方法研究J.机械科学与技术,2008,07:932-936.13吴利斌,詹鸿.伴随矩阵在射影几何中的应用J.湖北师范学院学报（自然科学版），2012,32（4）:111-114.14李敏生.二次曲线仿射分类及判别的简捷方法J.云梦学刊（自然科学版），1991,3：65-68.15卞松元.二次曲线的射影分类方法J1.华中师范大学学报,1986,20（4）：437-441.16黎耀善.二次曲线的仿射分类方法J.商丘师专学报（自然科学版），1988,2:17-20.17朱晓英.二阶曲线的射影类型的判定探析J.连云港师范高等专科学校学报,2011,3：55-58.
