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1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件板块一知识梳理自主学习 必备知识考点1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题考点2四种命题及其关系考点3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp 必会结论1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性2两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3若Ax|p(x)，Bx|q(x)，则(1)若AB，则p是q的充分条
2、件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“x22x80”是命题()(2)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(3)命题“三角形的内角和是180”的否命题是“三角形的内角和不是180”()(4)“a2”是“(a1)(a2)0”的必要不充分条件()(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件()答案(1)(2)(3)(4)(5)
3、2课本改编“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若(2x1)x0，则x或x0，即不一定是x0；若x0，则一定能推出(2x1)x0.故“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分条件32018安徽模拟设p：1x1，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析(1,2)(0，)，p是q的充分不必要条件4原命题p：“设a，b，cR，若ab，则ac2bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0 B1 C2 D4答案C解析当c0时，ac2bc2，所以原命题是错误
4、的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，cR，若ac2bc2，则ab”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题综上所述，真命题有2个5“a0，b0”的一个必要条件为()Aab0C.1 D.1答案A解析若a0，b0，则一定有abb，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题；其中真命题是_(写出所有真命题的序号)答案解析“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“若a2b2，则ab”，取a
5、0，b1，a2b2，但ab，故是假命题；“若x3，则x2x60”，解不等式x2x60可得2x3，而x43不是不等式的解，故是假命题触类旁通四种命题真假判断的方法(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例【变式训练1】2017郑州模拟给出以下四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2xq0有实根”的逆否命题；若ab是正整数，则a，b都是正整数其中真命题是_
6、(写出所有真命题的序号)答案解析命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a1，b3，故为假命题考向充分必要条件的判定命题角度1定义法判断充分、必要条件例22016四川高考设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若x1且y1，则有xy2成立，所以pq；反之由xy2不能得到x1且y1.所以p是q的充分
7、不必要条件命题角度2等价转化法判断充分、必要条件例3给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析因为綈p是q的必要不充分条件，则q綈p但綈pq，其逆否命题为p綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件触类旁通充分条件、必要条件的判定方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题考向充分必要条件的应用例42018辽宁模拟已知命题p：|x4|6，命题
8、q：1mx1m，m0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围解p：x2,10，q：x1m,1m，m0.綈p是綈q的必要而不充分条件，即pq且qp.2,101m,1m，即解得m9，实数m的取值范围是9，)触类旁通根据充要条件求参数的取值范围解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解；涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解【变式训练2】已知条件p：x22x30；条件q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p
9、，则a的取值范围是()A1，) B(，1C1，) D(，3答案A解析由x22x30，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件x|xax|x1，a1.核心规律判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题满分策略1.当一个命题有大前提时，要写出其他三种命题，必须保留大前提，也就是大前提不动2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要
10、明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式3.判断条件之间的关系，要注意条件之间的推出方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.板块三启智培优破译高考题型技法系列1充分必要条件的探求技巧 2018广东六校联考 “不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()Am B0m0 Dm1解题视点有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论解析不等式x2xm0在R上恒成立，则14m.“不等式x2xm0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m0.答案C答题启示注意区分以下两种不同的说法,(1)A是
11、B的充分不必要条件，是指AB但BA；(2)A的充分不必要条件是B，是指BA但AB.,以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断.跟踪训练下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()Aab1 Bab1 Ca2b2 Da3b3答案A解析ab1ab；反之，例如a2，b1满足ab，但ab1，即ab推不出ab1，故ab1是ab成立的充分而不必要的条件故选A.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标12018江西模拟若集合A2,4，B1，m2，则“AB4”是“m2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充
12、分也不必要条件答案B解析当m2时，有AB4；若AB4，则m24，解得m2，不能推出m2.故选B.2下列命题是真命题的为()A若，则xy B若x21，则x1C若xy，则 D若xy，则x2y2答案A解析取xy1，排除B，C；取x2，y1，排除D.故选A.32018天津模拟设xR，则“|x2|0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析|x2|11x211x0x1.由于(1,3)(，2)(1，)，所以“|x2|0”的充分而不必要条件4下列结论错误的是()A命题“若x23x40，则x4”的逆否命题为“若x4，则x23x40”B“x4”是“x23x40”的充分
13、条件C命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆命题为真命题D命题“若m2n20，则m0且n0”的否命题是“若m2n20，则m0或n0”答案C解析C项命题的逆命题为“若方程x2xm0有实根，则m0”若方程有实根，则14m0，即m，不能推出m0，所以不是真命题52018长春模拟设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若“(ab)a20”，则“ab”，是真命题；而若“ab”，则“(ab)a20”当a0时不成立，是假命题故选A.62018安徽模拟设条件p：a2a0，条件q：a0，那么p是q的()A充分不必要条件 B
14、必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析条件p：a2a0，即a0且a1.故条件p：a2a0是条件q：a0的充分不必要条件也可利用逆否命题的等价性解决7设a，bR，若p：ab，q：0，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析若p：11，则pq；若q：0，则ab0”是“xm”的必要不充分条件，则m的最大值为_答案2解析不等式解集为(，2)(4，)，题目等价于(，m)是(，2)(4，)的真子集，故有m2，即m的最大值为2.92018贵阳模拟下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中可以作为“x21”的一个充分条件的所有序号为_
15、答案解析由于x21即1x1，显然不能使1x1一定成立，满足题意10已知不等式|xm|1成立的充分不必要条件是x，则m的取值范围是_答案解析由|xm|1得m1x1m，又因为|xm|1的充分不必要条件是xe”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由ee，得1，解得ab0或abe”是“ab0”的必要不充分条件32018湖北模拟设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得AC，BUC”是“AB”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析因为BUC，所以BC.又因为AC，所以AB.反之，若AB，则存
16、在集合C使得AC，BUC.42017天津大港模拟已知集合Ayx2x1，x，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解yx2x12，因为x，所以y2，所以A.由xm21，得x1m2，所以Bx|x1m2因为“xA”是“xB”的充分条件，所以AB，所以1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是.52018保定模拟已知p：x25x4，q：x2(a2)x2a0.(1)若p是真命题，求对应x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围解(1)因为x25x4，所以x25x40，即(x1)(x4)0，所以1x4，即对应x的取值范围为1,4(2)设p对应的集合为Ax|1x4由x2(a2)x2a0，得(x2)(xa)0.当a2时，不等式的解为x2，对应的解集为B2；当a2时，不等式的解为2xa，对应的解集为Bx|2xa；当a2时，因为Ax|1x4，Bx|2xa，要使BA，则满足2a4；当a2时，因为Ax|1x4，Bx|ax2，要使BA，则满足1a2.综上，a的取值范围为1,49
