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1、江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 理满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确每小题5分，共60分）1给出下列四个命题，其中正确的是 ( )空间四点共面，则其中必有三点共线； 空间四点不共面，则其中任何三点不共线；空间四点中存在三点共线，则此四点共面； 空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面A B C D2在空间中，下列命题正确的是（ ） A若直线/平面，直线/，则/； B若/平面，/平面，则/ C若，则/； D若/，则/平面3.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是( )ABCD4如图所示，正方形
2、OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A6 B8 C23 D225已知、是异面直线，平面，平面，则、的位置关系是 （ ）A相交 B平行 C重合 D不能确定6 关于直线与平面，有以下四个命题：若且，则；若且，则；若且，则；若且，则；其中真命题的序号是 （ )A B C D7在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为 （ ）A. B. C. D.8如图,各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点,且 平面,则这样的有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条9从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60,则二
3、面角BPAC的余弦值是（ ）A B C D10某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为（ ）A B C. D11已知正三棱锥PABC的高PO的长为，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥PABC的体积为 （ ）A B C D12如图，在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）11俯视图111正视图1侧视图13一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为ABCDA1B1C1D1EFP14 如图：长方体ABCDABCD中，AB=3，AD=AA=
4、2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P为CD上动点，当EFCP时，PC= ABCEF15在直三棱柱ABCABC中，ABBC，BB2，ABC90，E、F分别为AA、CB的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 16如右图，三棱柱中，E,F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为两部分，则 ： .三解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）如图四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的三等分点。（）证明：AN平面MBD；（）求三棱锥NMBD的体
5、积。18（本小题满分12分）如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。（）求该几何体的表面积和体积；ABCEDM4222左视图俯视图直观图（）求点C到平面MAB的距离。19（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。（）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（）在线段AN上是否存在一点S，使ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由。20（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱ABCA1B
6、1C1中，侧面AA1B1B底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1 （）求证： GE侧面AA1B1B ；（）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值.21（本小题满分12分）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线C（）求直线与曲线C围成的区域面积； （）点在直线上，点，过点作曲线C的切线、，切点分别为、，证明：存在常数，使得，并求的值22（本小题满分12分）已知函数， （）求的单调区间（）证明：当时，方程在区间上只有一个零点（）设，其中若恒成立，求的取值范围参考
7、答案一选择题：ADCBA DCDCC CA二填空题 13； 142 15； 16三解答题ABCEDMNH17（）连结AC交BD于O，连结OM，底面ABCD为矩形，O为AC的中点，M、N为侧棱PC上的三等分点，CM=MN，OMAN，OM平面MBD，AN平面MBD，AN平面MBD；（）18解：由题意知，EA平面ABC，DC平面ABC，AEDC，AE=2，DC=4，ABAC，且AC=2。（）EA平面ABC，EAAB，又ABAC，AB平面ACDE四棱锥BACDE的高，又梯形ACDE的面积S=6，表面积S=.ABCDMNESxyz（）M到AB的距离MN=，设C到面MAB的距离为，由得：,19解法一：（）
8、如图，以D为坐标原点，建立空间坐标系Dxyz依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，M(0,0,1)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(,1,0).,异面直线NE与AM所成角的余弦值为（）假设在AN上存在点S，使得ES平面AMN，设，又平面AMN，此时，所以线段AN上存在点S，且当时，ES平面AMN。解法二：（）延长AD至F，使DF=EB，连EF,MF,BD，EB/DF，四边形DBEF为平行四边形，DB=EF，又MD平面ABCD，NB平面ABCD，MDNB,又MD=NB，四边形MNEF为平行四边形。MF=BD，四边形MNEF为平行四边形。MF=NE，AMF为异面
9、直线AM与NE所成的角或它的补角。ABCDMNEFRSP在AMF中，,异面直线NE与AM所成角的余弦值为（）存在点S为AN的中点，使ES平面AMN，取AN的中点S，连结ES，再取AM,DC的中点R,P，连结RS,RP,EP。则EP=BD，RS=MN又MD=NB，MNBD为平行四边形。MN=BD，EP=RS，SE=RP，S为AN中点SEAN，同理RPAM，ESAM，又AMAN=A，ES平面AMNAN=,S为AN的中点，。线段AN上存在点S， 使ES平面AMN。此时。20 （解法一：(1)延长B1E交BC于F, B1EC1FEB,BE111，从而为的中点为的重心，、三点共线，且，GEAB1，又GE
10、侧面AA1B1B， GE侧面AA1B1B（）在侧面AA1B1B内，过B1作B1，垂足为，侧面AA1B1B底面ABC，B1底面ABC又侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2，B10，B1在底面ABC内，过作，垂足为，连B1由三垂线定理有B1，又平面B1GE与底面ABC的交线为，B1为所求二面角的平面角 ，0，sin300，在B1中，B1.解法二：向量法（略）21：（）设动圆圆心的坐标为，由题意可得， ，化简得， 联立方程组，解得或，所以直线与曲线C围成的区域面积为； （）设、，则由题意可得，切线的方程为，切线的方程为，再设点，从而有，所以可得出直线AB的方程为，即 联立方程组，得，又，所以有，可得， ， ，所以常数22解析（）由已知，令，则，令，则，故的单调减区间为，单调增区间为（）设， ，则，由（）可知在，上单调递增，且， ，在上只有个零点，故当，方程在区间上只有一个零点（）， ， 的定义域是，令，则，由（）得，在区间上只有一个零点，且是增函数，不妨设的零点是，则当时， ，即， 单调递减当时， ，即， 单调递增，函数的最小值为 ， 由，得，故，根据题意，即，解得，故实数的取值范围是- 11 -
