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1、第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题,一、主干知识空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示：设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2)平面,的法向量分别为=(a3,b3,c3),=(a4,b4,c4),(1)线线平行：lmaba=kb_(2)线线垂直：lmabab=_(3)线面平行：la a=_,a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,0,a1a2+b1b2+c1c2=0,0,a1a3+b1b3+c1c3=0,(4)线面垂直：la a=k _(5)面面平行：=k _(6)面面垂直：=_,a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3,a3=ka4,b3=kb4,
2、c3=kc4,0,a3a4+b3b4+c3c4=0,二、必记公式1异面直线所成的角：设a,b分别为异面直线a,b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos=_2线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角满足sin=_,3二面角：(1)如图,AB,CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小=_(2)如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos=_,-cos或cos,1(2013金华模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于(),【解析】选A建立
3、如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，A(0，-1,0)，B1(0,2)，则(1,2)，O(0,0,0)，B(0,0)，则(0,0)为侧面ACC1A1的法向量，sin,2(2013揭阳模拟)过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30 B45C60 D90,【解析】选B建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐角)的余弦值为故所求的二面角的大小是45,3(2013佛山模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，向量
4、与向量 的夹角是60；正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为 其中正确命题的序号是_,【解析】设正方体的棱长为1，中故正确；中 由于AB1A1C，故正确；中A1B与AD1两异面直线所成的角为60，但 与 的夹角为120，故不正确；中 0，故也不正确答案：,4(2013福州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1 M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为_,【解析】建立空间直角坐标系如图所示，易得M(0，0，)，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，所以所以 103-0，所以 即AB1A1M答案：90,热点考向 1 利用空间向量求线线角
5、、线面角【典例1】(2013郑州模拟)如图，已知点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上，PDA=60(1)求DP与CC所成角的大小(2)求DP与平面AADD所成角的大小,【解题探究】(1)解答本题直接求 的坐标不易求，应如何转化？提示：延长DP交BD于H，转化为求DH与CC所成的角(2)直线CC的方向向量与平面AADD的法向量能直接确定坐标吗?提示：能直接确定,以D为原点，DA所在直线为x轴建立空间直角坐标系后，设正方体棱长为1，直线CC的方向向量为=(0,0,1),平面AADD的一个法向量是=(0，1，0),【解析】如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系D-xyz,设
6、正方体棱长为1，则=(1,0,0),=(0，0，1)连接BD,BD，在平面BBDD中，延长DP交BD于H 设=(m,m,1)(m0),由已知=60,由可得2m=解得m=所以DH=,(1)因为所以=45即DP与CC所成的角为45(2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0)因为所以=60可得DP与平面AADD所成的角为30,【方法总结】1利用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系(2)求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标(3)结合公式进行论证、计算(4)转化为几何结论,2利用空间向量求线线角、线面角的思路(1)异面直线所成的角,可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos=c
7、os(2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin=cos,【变式训练】(2013新课标全国卷)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60(1)证明ABA1C(2)若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值,【解析】(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B因为CA=CB,所以OCAB由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C,故ABA1C,(2)由(1)知，OCAB，OA1AB，又平面AB
8、C平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设|=1由题设知A(1,0,0)，A1(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0)则=(1,0,)，=(-1,0)，,设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z)，则有 即可取n=(1,-1)故所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为,热点考向 2 利用空间向量求二面角【典例2】(2013广东高考)如图，在等腰直角三角形ABC中，A=90，BC=6，D,E分别是AC，AB上的点，CD=BE=，O为BC的中点.将ADE
9、沿DE折起，得到如图所示的四棱锥A-BCDE，其中AO=.(1)证明:AO平面BCDE.(2)求二面角A-CD-B的平面角的余弦值.,【解题探究】(1)连接OD，OE，能证明AO与OD，OE都垂直吗？提示:能.由已知可求得AD=AE=在原平面图形中利用余弦定理求得 再在AOD，AOE中利用勾股定理的逆定理证得.(2)如何建立空间直角坐标系？平面BCD的法向量能直接确定吗？提示:取F为DE的中点，连OF，以 分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.可直接确定平面BCD的法向量为,【解析】(1)因为在RtABC中，A=90，BC=6，CD=BE=，O为BC的中点，故AD=AE=(即AD=AE
10、=).连接DO,EO，在EBO,DCO中，根据余弦定理可得DO=EO 又AO=，则AD2=AO2+OD2,AE2=AO2+OE2，所以，AOOD,AOOE，又因为ODOE=O,从而AO平面BCDE.,(2)设F为DE的中点，则OF,OB,OA两两垂直，以 分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意可写出平面ACD中的三个点的坐标A(0,0,),C(0,3,0),D(1,2,0)，由此 设n=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量，则取y=1，由此得n=(1,1,).是平面BCD的一个法向量.即二面角A-CD-B的平面角的余弦值为,【互动探究】若本题条件不变，试通过寻找二面角平面角的
11、方法，来求解第(2)题.【解析】过O作DC的垂线，垂足为H，连接AH，则AHO为二面角A-CD-B的平面角.在DCO中，=CDOH，由此得 则 所以cosAHO 即二面角A-CD-B的平面角的余弦值为,【方法总结】1向量法求二面角的思路二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角,2求平面的法向量的方法(1)待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解(2)先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量,【变式备选】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段
12、AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF(1)求二面角A-FD-C的余弦值(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长,【解析】(1)取线段EF的中点H，连接AH，因为AE=AF及H是EF的中点，所以AHEF,又因为平面AEF平面BEF如图建立空间直角坐标系O-xyz，则A(2，2，)，C(10，8，0)，F(4，0，0)，D(10，0，0)故=(-2，2，)，=(6，0，0),设n=(x,y,z)为平面AFD的一个法向量，所以取z=则n=(0,-2,)又平面BEF的一个法向量m=
13、(0,0,1)，故所以二面角的余弦值为,(2)设FM=x,BN=a，则M(4+x,0,0)，N(a,8,0)，因为翻折后，C与A重合，所以CM=AM，CN=AN，故得 所以FM=,热点考向 3 利用空间向量解决探索性问题【典例3】(2013肇庆模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论,【解题探究】(1)平面ABB1A1的法向量能直接确定吗?提示：可直接确定,向量 是平面ABB1A1的一个法向量(2)假设在棱C1D1上存在一点F,使B1F平面A1
14、BE,则可得到什么等量关系?提示：直线B1F的方向向量与平面A1BE的法向量的数量积为零,【解析】设正方体的棱长为1如图所示，以 为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyz(1)依题意，得B(1,0,0),E A(0,0,0),D(0,1,0)，所以=(0,1,0),在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1,所以 是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin=即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为,(2)依题意，得A1(0,0,1),=(-1,0,1),设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量，则由得所以x=z,y=取z=
15、2,得n=(2,1,2),设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以=(t-1,1,0)而B1F 平面A1BE，于是B1F平面A1BE n=0(t-1,1,0)(2,1,2)=0，得2(t1)+1=0，解得t=所以F为C1D1的中点，这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F平面A1BE,【方法总结】利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范
16、围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题,【变式训练】(2013北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5(1)求证：AA1平面ABC(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值(3)证明：在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求 的值,【解析】(1)因为A1ACC1是正方形,所以AA1AC又因为平面ABC平面A1ACC1,交线为AC,所以AA1平面ABC(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以AC2+AB2=BC2,所以ACAB分别以AC,AB,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建
17、立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4)，=(4,0,0)，=(0,3,4)，=(4,3,0),=(0,0,4)，设平面A1BC1的法向量为n1=(x1,y1,z1)，平面B1BC1的法向量为n2=(x2,y2,z2)，所以 所以 所以可取n1=(0,4,3)由 可得可取n2=(3,4,0),所以cosn1,n2=由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以其余弦值为(3)设点D的竖坐标为t(0t4)，在平面BCC1B1中作DEBC于E,根据比例关系可知D(t,(4t),t)(0t4)，所以=(t,(4t),t),=(0,3,4
18、)，又因为 所以(4t)4t=0,所以t=所以,利用向量证明空间的平行、垂直关系【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB于点F，求证：(1)PA平面EDB(2)PB平面EFD,【解题探究】(1)用空间向量怎样证明线面平行？提示：可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)用空间向量怎样证明线面垂直？提示：只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可,【证明】如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a(
19、1)连接AC交BD于G，连接EG依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，,故点G的坐标为所以 则PAEG而EG平面EDB且PA 平面EDB，所以PA平面EDB,(2)依题意得B(a,a,0),=(a,a,-a),又故所以PBDE由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD,【方法总结】1用向量法证明空间的线线、线面、面面平行关系的思路(1)设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a,b,那么abab(2)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行(3)直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可以通过证
20、明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面来证明直线与平面平行,2空间的线线、线面、面面垂直关系，均可以转化为空间两个向量垂直的问题求证其思路为(1)设a,b分别为直线a,b的一个方向向量，那么ababab=0;(2)设a,b分别为平面,的一个法向量，那么abab=0;(3)设直线l的方向向量为a,平面的法向量为b，那么lab，此外，也可证明l的方向向量与平面内两条相交直线所对应的方向向量垂直,【变式备选】如图，已知ABCD是边长为2的正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，且FB=2DE=2求证：平面AEC平面AFC,【证明】建立如图所示的空间直角坐标系，所以D(0，0，0)，E(0，
21、0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，F(2，2，2)，所以=(-2，0，1)，=(0，2，-1)，=(0，2，2)，=(-2，0，-2),设m为平面AEC的一个法向量，m=(x1,y1,z1)，m=(1,1,2)设n为平面AFC的一个法向量，n=(x2,y2,z2),n=(1,1,-1)cosm，n=所以mn所以平面AEC平面AFC,转化与化归思想利用空间向量解决空间位置关系及求角问题【思想诠释】1主要类型：(1)空间中平行或垂直关系的证明(2)求空间角,如求二面角的大小(3)判断点的存在性问题2解题思路：利用空间向量解决立体几何问题的方法，把所求问题转化为空间向量的平行、垂直或夹角
22、问题,3注意事项：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时,应注意角的取值范围(2)利用空间向量求二面角时,应注意观察二面角是锐角还是钝角,【典例】(14分)(2013珠海模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ADCD，ABCD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合(1)当点M是EC中点时，求证：BM平面ADEF(2)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为 时，求三棱锥M-BDE的体积,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：利用 与平面ADEF的法向量垂直求解关注点：注意法向量的选择(2)切入点：从设出点M的坐标入手,分别求出两个平面的法向量关注点
23、：注意点M的坐标的设法,【解题】规范步骤，水到渠成(1)以DA，DC，DE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1)，2分所以=(-2，0，1)，平面ADEF的一个法向量=(0，4，0)因为=0，所以所以BM平面ADEF4分,(2)依题意设，设平面BDM的法向量n1=(x,y,z),则 n1=2x+2y=0,n1=ty+=0令y=-1，则n1=平面ABF的法向量n2=(1,0,0)7分因为|cosn1,n2|=,解得t=29分,所以M(0，2，1)为EC的中点，SDEM=SCDE=2，B到平面DEM的
24、距离h=2所以 14分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013广州模拟)如图甲，设正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在AB，CD上，并且满足AE=2EB，CF=2FD.如图乙，将直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置，使点A1在平面EBCF上的射影G恰好在BC上.(1)证明:A1E平面CD1F.(2)求平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值.,【解析】(1)在图甲中，易知AEDF，从而在图乙中有A1ED1F，因为A1E 平面CD1F，D1F平面CD1F，所以A1E平面CD1F.(2)在图乙中作GHEF，垂足为H，连接A1H，由于A1G平面EBCF，
25、则A1GEF，所以EF平面A1GH，则EFA1H，图甲中有EFAH，又GHEF，则A,G,H三点共线.,设CF的中点为M，则MF=1，可证ABGEMF，所以BG=MF=1，则AG=又由ABGAHE，得于是，在RtA1GH中，作GTBE交EF于点T，则TGGC，,以点G为原点，分别以GC,GT,GA1所在直线为x,y,z轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则G(0，0，0)，E(-1，1，0)，F(2，2，0)，A1(0，0，)，则显然，是平面BEFC的一个法向量，设n(x，y，z)是平面A1EFD1的一个法向量，,则不妨取x=-1，则n(-1，3，).设平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角为，可以看出，为锐角，所以所以平面BEFC与平面A1EFD1所成二面角的余弦值为,
