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1、他山之石，可以攻玉摘要：安徽中考数学的图形与几何内容大概占40%,这就要求学生要会用数学的眼光观察几何世界，会用数学的思维思考几何世界，会用数学的语言表达几何世界.义务教育阶段数学重视基础知识、基本思想、基本方法、基本技能的学习和掌握，学生可以在习题中某些条件改变后，仍然可以根据自己掌握的思维方式和已有的知识经验解决相关问题.学生在解题时能够寻找到“他山之石”，巧妙的处理“石”与“玉”的关系，激发思维活力，突破难点，自然做到“可以攻玉”.关键词：中考几何；解法探究；思维品质；核心素养引言：2022年安徽中考数学考试结束，今年的数学试题难度如何呢？从笔者接触的考生们整体反应来看，数学试卷的难度并
2、不大，一直让考生害怕的大题今年不难，感觉比平时模考要简单一些.试卷整体的计算量也不是很大，考试时间较为宽裕.2022年安徽省中考数学试卷从多角度、全方位考查学生对数学本质的理解和学习数学的能力，尤其重视对数学思维品质和核心素养的考查.通过与部分考生交流，下面笔者以第19题为例，整理学生的多样解法，与同行交流.一、原题呈现已知/为OO的直径，C为OO上一点，。为掰的延长线上一点，连接CD(1)如图1,若CO1.45,ZD30,0.4=1,求49的长；(2)如图2,若AC与。相切,E为3上一点,且ACD-AACE.求证:CE1.形.二、试题分析1、课标要求根据义务教育数学课程标准（2022年版）的
3、要求：“探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等；理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等瓠的概念；探索圆周角与圆心角及其所对瓠的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补；了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念；了解相似三角形的判定定理：两角分
4、别相等的两个三角形相似.”安徽省中考题在“想得多一些，算的少一些，方面挖掘的更加深刻，紧跟时代步伐，结合新课标要求，将以上知识点巧妙的融合在一起，突出对学生基础知识点的考查.2、题目分析（1）根据直角三角形的边角关系可求出OD,进而求出AD；（2）根据切线的性质可得OC1.CD,再根据等腰三角形的性质可得ZOC4-ZQ4C,由各个角之间的关系以及等量代换可得答案.本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的前提.3、答题情况根据中考阅卷数据统计，笔者所在地区答题情况如表1：表1题号满分值平均分标准差考查知识点19(1)52
5、.540.512.46圆的性质,特殊角的三角函数19(2)51.970.392.24切线性质,三角形内角和定理三、解法展示第一间方法较为容易，针对特殊的直角三角形，即可很容易得到答案；(1.),=1.OCjCOAB9D30,.0D=BOC=a二AD=OD-OA=主要展示第二问的答题过程：1、第一块“石”因为QC与。相切，.OCCD,即乙ICO+NOC4=90,OAOCfJoCA=gc,ACD=ACE,.NC+4CE=90,C=90。，即CEAB.不需添加辅助线，利用切线性质，圆中等腰三角形的角度转换，是一块“好2、第二块“石”如图3,连接BC,图3曲为直径，.ZCS=90,CD为切线，.NZ)
6、Co=90,VZ.ACB=ZACO+ZBCO/DCO=ZACO+ZACD./BCO=UCD,：OC=OB,:.BCO=AB,.NACD=ACE,:./B=ZACEt在中，4+NC4E=90,ZACE+ZCAE=90,ZAEC=90,CEAB.借助辅助线，得到ACB为直角三角形，利用角度转化到ACE中即可.3、第三块“石”如图4,连接BC,，达为直径，.ZACB=90,CD为切线，.ZDCO=90,ZACB=ACO+ABCO乙DCO=ZACO+/.ACDs:.BCO=ZACDi;OC=OB：:.NBCo=9在等腰AoBC巾，易得/COD=2BC0j且ZDCE=2ZACD,.ZCOD=ZZ)CEZ
7、DCgO,SPADCO=ZDCEOCE=90,，NCW+NoCE=90,JOEC=90。，BPCEJB.借助辅助线，得到ACB为直角三角形，利用角度转化到MOE中即可.4、第四块“石”图5如图5,连接BC,为直径9：.Nae3=9CrCZ）为切线.-.NZ)Co=909ZACB=Z.ACO+BCOZDCO=ZACO+ZJCDs.ABCO=ZACDt:0C=OB,.ZBCO=ABt在等腰AoBC中，易得ACOD=2ABCOt且ZDCE=1ACD,/.ZCOD=ADCet:NDCO=90.INC。+NCoZ)=90ZCDO+ZDCE=9099.ZCED=90即CE.4B.借助辅助线，得到ACB为直
8、角三角形，利用角度转化到MDE中即可.5、第五块“石”由角平分线知识，联想到角平分线的性质，做辅助线，进行角度转换，求证全等即可，解法新颖，且有迹可循.如图6,过点/作CD交CZ)于点尸,即乙WFD=90因为Z)C与。相切，所以N。CD=90,所以ZJFD=/0CZ),所以JFOC,故ZE4C=NOC4,又因为在OAC中QW=OC,所以NoaC=NOC4,即AFACAOAC9在ACIF与SCAE中，ZACF=ZACeCA=CA,ACAF=ACAE所以AU尸9AuE(AS1.i)9所以乙MEC=乙击C=90,所以CEi曲.6、第六块“石”构造直径出现直角，利用角度转换，最后落脚到ACE中.图7如
9、图7,延长CO与圆相交于点R,连接“下,因为。尸为直径，所以NC4产=90。，所以N尸+NFCZ=90,因为CD为OO的切线，所以N尸CZ)=N尸C4+4CD=90,所以NF=ZJCD,因为ZACD=ZACEf所以NF=乙4CM因为在ACUF中，04=OF所以NF=NQ4产，所以N0.*=4CE,因为NOH尸+NQUC=90,所以4CE+NCUC=90,所以在AdCE中，乙WEC=90,所以支，.四.）（落脚点也可以是其他三角形.）7、第七块“石”利用角度转换，证明三角形相似.图8如图8,在D4C中，ZD+ACD=ZC4O,在AcUC中，Q4=OC,所以N0O=NQ4C,又因为ZoCA=ZOC
10、E+ZACE,且ZACE=ACD，所以ZD=N0纸，又因为ZPoC=NCoE所以D0CSacqe所以ZDCo=NCEo因为CZ）为Oo的切线,所以ZDCo=90,所以NC0=90,所以CEi面.也可以这样证明相似:图9如图9,连接BC,因为AB为直径，所以4C3=90,因为。为切线，所以NZ)Co=90。，因为ACB=ACO+ABCOADCO=ZACO+乙ACD,所以ZBCO=S因为OC=ON所以ZBCo=/8所以4=44CM在A1.CE与A1.SC中，ZJCE=ZB,NCAE=AAC所以jcesa曲c,所以乙NEC=ZJCS=90。，所以CE，曲.8、第八块“石”做平行线，角度转换.如图10
11、,过点C作CFkM,可知CAO=ZACFf因为Q4=OC,所以NCZio=乙ICO,所以44CF=4C0,因为NJCD=NJeE,且CZ)为切线,所以ZZ)Co=90。=ZACD+乙WCO,所以ZJCE+NNC尸=90所以NCE4=90所以CE一面.也可以作垂直线，如下：图”如图11,过点4作HF#CE交CQ于点F,因为AF1.ICE,所以ZE4C=NdCM又因为ZACE=/ACF,所以ZACE=ACF=FAC,因为CO为圆。的切线，所以ZDCo=90。=NP4+ZJCO,因为Q4=0C,所以/OdC=NOCz1.,所以N&C+N以。=90,所以NE40=90,所以NCEo=90,所以CE_1
12、.9、第九块“石”利用垂径定理，进行角度转换.图12如图12,连接3C,作。尸，5。于点尸，易得ZACB=NOFB=90,ZFoC=NFOB,所以47#O尸，所以NCs=/FOB=ZFOC,因为CO为切线，所以Co=ZZ)C4+N4CO=90,又因为4C5=4CO+4CO=90,所以ZDC4=乙5C。，又因为ZACD=ZACEi所以NoC尸=ZJeM又因为ZFoC=NC,所以乙CE+NCTE=NOCF+NFOC=90,所以NCEd=90,所以CEJd5.四、解后反思G破利亚指出：“解题的价值不是答案本身，而在于弄清是怎样想到这个解法的.”主要利用已有的“石”去弓I未知的“玉”，处理好二者的关系
13、，做到“抛砖引玉”.回顾以上解法，我们会发现本题目并不难，只要解题经验足够薜富，在平时练习中积累经验，便能很快有多种思路.甚至可以直接从“形”出发，先猜后证，逐步突破，这都是很正常的解决问题、处理问题的策略.在解题过程中，解题的思维方法、解题的习惯直接影响解题效果.怎样提高学生的解决问题的能力呢？在本题中，学生应该掌握切线、圆、角平分线、三角形、全等三角形、相似的相关知识，利用这些“杂乱无章”的“石”，堆砌一枚精致的“玉”.即几何的核心是基本图形，基本图形体现的是结构简单，但内涵丰富.数学学习的最终目标是提升数学学科素养.因而在解题思考中，学生的学科素养能得到有效的培养和提升，彰显数学教学育人
14、的价值.史宁中教授认为最基本的数学思想有三种，即抽象、推理和模型.本题的解决就是建立在数学“石”的基础之上，以几何直观作为辅助手段，一题多解，多解归一，实现题目的价值和对题目的升华，进而拓展学生的思维.所以在平时教学中，教师应注重启发和培养学生进行一题多解，优化解题思路，并在此基础上深刻反思，以期收获更多的解题经验，从而使学生的思维得以深化、内化、活化，彰显数学教学的价值.这也应该算让学生站在了解题的“更高处”.这也应是我们追求的解题的至境.参考文献：1刘青梅：觅模型重通法提素养J中学数学教学参考(中旬).2021(9).29-31.2沈文选，杨清桃.数学解题引论M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版
15、社，2017.3赵雄辉，刘云章.怎样教解题一一波利亚数学教育思想研究选讲M.长沙:湖南教育出版社，2015.他山之石，可以攻玉摘要：安徽中考数学的图形与几何内容大概占40%,这就要求学生要会用数学的眼光观察几何世界，会用数学的思维思考几何世界，会用数学的语言表达几何世界.义务教育阶段数学重视基础知识、基本思想、基本方法、基本技能的学习和掌握，学生可以在习题中某些条件改变后，仍然可以根据自己掌握的思维方式和已有的知识经验解决相关问题.学生在解题时能够寻找到“他山之石”，巧妙的处理“石”与“玉”的关系，激发思维活力，突破难点，自然做到“可以攻玉”.关键词：中考几何；解法探究；思维品质；核心素养引言
16、：2022年安徽中考数学考试结束，今年的数学试题难度如何呢？从笔者接触的考生们整体反应来看，数学试卷的难度并不大，一直让考生害怕的大题今年不难，感觉比平时模考要简单一些.试卷整体的计算量也不是很大，考试时间较为宽裕.2022年安徽省中考数学试卷从多角度、全方位考查学生对数学本质的理解和学习数学的能力，尤其重视对数学思维品质和核心素养的考查.通过与部分考生交流，下面笔者以第19题为例，整理学生的多样解法，与同行交流.一、原题呈现已知力8为e。的直径，。为e。上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD.如图1,SCOABfDO=30。，OA=I,求49的长；如图2,若。C与e。相切，E为。1上一点，
17、且E)ACO=DACE.求证：CEAB.DA二、试题分析1、课标要求根据义务教育数学课程标准(2022年版)的要求：“探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等；理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半;直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所
18、对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补；了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念；了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似.”安徽省中考题在“想得多一些，算的少一些”方面挖掘的更加深刻，紧跟时代步伐，结合新课标要求，将以上知识点巧妙的融合在一起，突出对学生基础知识点的考查.2、题目分析(1)根据直角三角形的边角关系可求出0D,进而求出AD；(2)根据切线的性质可得O1.CD,再根据等腰三角形的性质可得DOeA=DOAC,由各个角之间的关系以及等量代换可得答案.本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的前提.3、
19、答题情况根据中考阅卷数据统计，笔者所在地区答题情况如表1：表1题号满分值平均分标准差考查知识点19(1)52.540.512.46圆的性质,特殊角的三角函数19(2)51.970.392.24切线性质,三角形内角和定理三、解法展示第一问方法较为容易，针对特殊的直角三角形，即可很容易得到答案；(I)QOA=0CtCoAAB,DD=30,OD=y3O二6,CAD=OD-OA=y3-1；主要展示第二问的答题过程：1、第一块“石”因为DC与e。相切，OCCDf即DACD+DOCA=90ofQOA=OC,DOCA=DOACfDACD=DACEfDOAC+DACE=90ofDAEC=90,即CEaAB.不
20、需添加辅助线，利用切线性质，圆中等腰三角形的角度转换，是一块“好石”.2、第二块“石”如图3,连接BC,QAB为直径，EMCB=90,QCD为切线，DDCO=90,QDACB=DACO+DBCODDCO=DACO+DACD,DBCO=DACDfQOC=OB,DBCO=DB,QDACD=DACE,DB=DACE,在R8C中，DB+DCAE=90,DACE+DCAE=90,DAEC=90o,即CEaAB.借助辅助线，得到AACB为直角三角形，利用角度转化到AACE中即可.3、第三块“石”如图4,连接BC,图4D=90，ACQCD为切,妙D=90,QD=DACO+DBCODDCO=DACO+DACD
21、yDBCO=D,QoC二,DBCO=DBi在等腰D中，易得D=D3C0,且DOCE=DAC。，DCOD=DDCEQD=90，即DoCo=D。CE+DOCE=90，DCOD+DOCE=，DOEC=90,即CEAB.借助辅助线，得到AACB为直角三角形，利用角度转化到ACOE中即可.4、第四块“石”图5如图5,连接BC,QAB为直径，DACB=90OQCO为切线,D=90,QDACB=DACODBCODDCO=DACO+DACD,DBCO=DACD,QOC=OBiDBCO=DB,在等腰DoBC中,易得DCOO=DBCO,且DDCE=DACDfDCOD=DDCEfQDDCO=90oDCDo+DCOD
22、=90。DCDO+DDCE=90oDCED=90o即CEAB.借助辅助线，得到AACB为直角三角形，利用角度转化到ACDE中即可.5、第五块“石”由角平分线知识，联想到角平分线的性质，做辅助线，进行角度转换，求证全等即可，解法新颖，且有迹可循.图6如图6,过A作4尸CO交C。于点F,占即D=90因为。与e。相切，所以D=，XZXZX所以DADOCD，所以A/。C，故DMC=DOCA，又因为在DOAC中OA=OC，所以D二D，即DFA1.DoAC，在D与D中，1DACF=Di=CA，If=DiB1ZME1所以DCA/且D(AS4)，所以DAEC=DAFC=90，所以CEAB6、第六块“石”构造直
23、径出现直角，利用角度转换，最后落脚到AACE中.图7如图7,延CO与圆相交于点尸，连接A尸,因为CF为直径，所以D=90,CA所以D+D=90,r,因为Co为eO的切线，所以D=DFCA+DACD=90,所以D=DACD，因为DACo=DACE,所以D=D,因为在D中，04=。/所以D=D,所以DoA/=DACE,因为DoA/+DOAC=90,所以D+D=,4A*ZXZX所以在D中，DAEC=90,所以CEA.）（落脚点也可以是其他三角形.）7、第七块“石”利用角度转换，证明三角形相似.如图8,在D中，D+DACD=DCAOt在D中，OA=OC,所以DoCA=DOAC,又因为DoCA=DOCE
24、+DACE,且D=DACD,ACE所以D=DOCE,n又因为D=DCOE所以DSDCoE所以Doeo=DCEo因为CO为eO的切线,所以DOCo=90,所以D=90,所以CEA8.也可以这样证明相似:图9如图9,连BC，因为AB为直径，所以DAa=9,O因为C。为切线，所以D=90,因为DACb=DACO+DBCODDCO=DACODACD,所以DBCO=DACDf因为OC=OB,所以DBeO=DB,所以D=DACEi在D与D中，Az*11.Az*DACE=DB,DCE=DBAC,所以DACESD,ARC所以DaEC=DAC8=90。,所以CEAB.8、第八块“石”做平行线，角度转换.如图10
25、,过C作C/A8,可知D=DACF,因为OA=OC,所以D=DACOfH所以DAb=DACo,因为D=DACE,且Co为切线,C所以D=90.=DACD+DACOiCC八所以DAC+DAC/=90所以DCEA=90所以CEAB.也可以作垂直线，如下：图11如图11,过A作AFCE交CE）于点厂，r因为AFCE,所以DEAC=DACE,又因为D=DACF,所以DAeE=DAb=D,因为CO为圆。的切线，所以D=9Oo=FCA+dco,因为OA=OC,所以D=D,所以DE4C+DCAO=90，所以DBAO=90,所以D=90,八1.C所以CE八AB9、第九块“石”利用垂径定理，进行角度转换.图12
26、如图12,连BC,作OF八B于点F,一易得DACB=D。尸8=90DFOC=DFOBt所以4。尸,所以DCAB=DFOB=DFOC,因为CO为切线，所以D=D+DACO=90,又因为D=DBCO+DACO=90，所以D=DBCOf又因为D=D,az*rxam所以D=DACE,又因为D=DCAB，所以DACE+DCAE=DOCF+DFOC=90，所以DCEA=90,所以CEAB.四、解后反思G.波利亚指出：“解题的价值不是答案本身，而在于弄清是怎样想到这个解法的.主要利用已有的“石”去引未知的“玉”，处理好二者的关系，做到“抛砖引玉”.回顾以上解法，我们会发现本题目并不难，只要解题经验足够丰富，
27、在平时练习中积累经验，便能很快有多种思路.甚至可以直接从“形”出发，先猜后证，逐步突破，这都是很正常的解决问题、处理问题的策略.在解题过程中，解题的思维方法、解题的习惯直接影响解题效果.怎样提高学生的解决问题的能力呢？在本题中，学生应该掌握切线、圆、角平分线、三角形、全等三角形、相似的相关知识，利用这些“杂乱无章”的“石”，堆砌一枚精致的“玉”.即几何的核心是基本图形，基本图形体现的是结构简单，但内涵丰富.数学学习的最终目标是提升数学学科素养.因而在解题思考中，学生的学科素养能得到有效的培养和提升，彰显数学教学育人的价值.史宁中教授认为最基本的数学思想有三种，即抽象、推理和模型.本题的解决就是
28、建立在数学“石”的基础之上，以几何直观作为辅助手段，一题多解，多解归一，实现题目的价值和对题目的升华，进而拓展学生的思维.所以在平时教学中，教师应注重启发和培养学生进行一题多解，优化解题思路，并在此基础上深刻反思，以期收获更多的解题经验，从而使学生的思维得以深化、内化、活化，彰显数学教学的价值.这也应该算让学生站在了解题的“更高处”.这也应是我们追求的解题的至境.参考文献：4刘青梅：觅模型重通法提素养J中学数学教学参考(中旬).2021(9).29-31.5沈文选，杨清桃.数学解题引论M.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2017.6赵雄辉，刘云章.怎样教解题一一波利亚数学教育思想研究选讲M.长沙:湖南教育出版社，2015.
