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1、难度系数：0.40.6“三角板”中的数学学问湖北省襄樊市第一中学 441000 王 勇（特级教师）关键词 三角板 数学学问图1三角板是极普遍的文具，但通过拼接、旋转、折叠等可演绎出许多具有趣味性、思考性和挑战性的数学问题.下面采撷六例加以分析，供同学们品读.1 客观题小巧玲珑 韵味十足1.1 静态拼接图2例1 如图1，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若则_，_.解析：如图2，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系.设则在中， 作轴，垂足为，则又由得点评：本题通过建立坐标系，结合解直角三角形求出点的坐标是关键.1.2 工具作用图3例2 如图3所示，水平地面上有一个大球，现有
2、如下方法测量球的大小，用一个锐角为45的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得，则球的表面积为（ ）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2图4解析：如图4所示，设球心为，球与地面的接触点为，连结与，依题意，得平分.在中，.故选B.点评：本题主要考查球、圆的基本性质、三角公式及数学的实践应用能力，题目不难，但蕴含着“数学机智”.1.3 交汇整合图5例3 如图5所示，在同一平面内，两块直角三角板拼在一起，以为焦点且过的椭圆与双曲线的离心率分别为和,则的值为（ ）A B1 C D2解析：设，则，以为焦点，且过的椭圆的长轴长为半焦距；以为焦点，且过的双曲线的实
3、轴长为半焦距，椭圆的离心率双曲线的离心率，故选A.点评：本题主要考查椭圆和双曲线的第一定义及离心率的计算方法，其中解直角三角形起着重要作用.题目虽小，但“含金量”颇高.2 主观题大气洒脱 气势磅薄2.1 动态旋转图6例4 在同一平面内，两块直角三角板和拼接如图6所示，现将三角板绕点旋转角后得，交于点，交于点，.（1）当时，求；（2）求证：对任意的为定值.图7解析：（1）如图7所示，在中，由正弦定理得，即=.又.（2）.故对任意的为定值3.点评：本题是一道通过三角板的旋转演绎而成的动态探究题，结合已知条件巧妙借用三角这一有力工具来解决应该是顺理成章.第（2）问证明为定值时，用到了平面向量加法的三
4、角形法则和数量积的运算律及有关性质.本题难易适中，有助于吊起学生的解题“胃口”.2.2 动态折叠例5 如图8，将两块三角板按图甲方式拼好，其中，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙.（1）求证：平面；图8（2）求二面角的大小；（3）求异面直线与所成角的大小.解析：（1）由已知可得平面，平面平面，又，平面，又平面，又平面.（2）由（1）得，由已知，得，.图9是的中点，.如图9，过点作于，连结，则.是二面角的平面角，且.图10即二面角的大小为.（3）如图10，取的中点，连结，以为原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，.设与所成的角为，则，.即异面直线与所成角的大小
5、为.点评：本题将两块拼好的三角板沿公共斜边折叠，考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力，尤其是第（3）问若用传统方法求解难度较大，改用向量方法解决思维模式近乎程序化，值得品味和借鉴.2.3 操作探究例6 如图11，一块由硬纸片制作的三角板中， cm，是斜边上的高，沿把折成直二面角.（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定的位置，使二面角是直二面角？证明你的结论.图11（2）试在平面上确定一点，使与平面内任意一条直线都垂直，证明你的结论.（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值.解析：（1）用直尺度量折后的长，若cm，则二面角为直二面角.是等腰直角三角形，cm.又，
6、是二面角的平面角.cm，当cm时，有，.（2）取的中心，连结，则满足条件.为正三角形，且三棱锥是正三棱锥，由于为的中心，平面.与平面内任意一条直线都垂直.（3）当小球半径最大时，此小球与三棱锥的四个面都相切.设小球球心为，半径为，连结三棱锥被分为四个小三棱锥，故有，即.解得故小球半径的最大值为.点评：本题通过折叠三角板纸片构造立体图形，第（1）问要求学生动手操作；第（2）问要求学生自主探究；第（3）问要求学生合情推理并熟练应用割补法和等体积法.真可谓“刀光剑影”，精彩纷呈，充分彰显了新课标理念.作者简介：王勇，特级教师，现执教于湖北省襄樊市第一中学，在教学法研究和解题研究中取得了显著成绩，在各类报刊杂志上发表教育教学论文1000余篇，主编或参编数学科普读物200余部.现是考试、中学数学等学术刊物的特约编委.联 系 人：王勇通信地址：湖北省襄樊市第一中学邮 编：441000移动电话：13507271807E-mail：wy19651965身份证号码：420601196509097613第6页（共6页）
