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1、等边三角形精讲细练（请把样刊和稿费寄给相同地址下的“张昌林”）湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 张昌林441123湖北省襄阳市襄州区第三高级中学 王玉琴 邮箱：917761676qqcom电话：18771440112QQ：917761676农行卡号：6228480758537000773开户行：黄集支行等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60，它是锐角三角形的一种.有一个内角为60的等腰三角形是等边三角形.等边三角形也是最稳定的结构.性质(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合
2、（三线合一） (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线.(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心.（四心合一）(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质.（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）判定方法(1)三边相等的三角形是等边三角形（定义）.(2)三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.(4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形.说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形.等边三角形的性质与判定
3、理解：首先，明确等边三角形定义.三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形.其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系.等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.一、作图应用与设计作图例1.三根火柴可以拼成一个等边三角形，用6根火柴拼成四个完全相等的等边三角形，9根火柴能拼成7个完全相同的等边三角形吗？若能，请画出草图分析：因为用6根火柴拼成四个完全相等的等边三角形，所以这6根火柴拼成的是一个正三棱锥，由此可知若9根火柴能拼成7个完全相同的等边三角形，需利用立体图形，因此借助正六面锥即可解决问题解： 点评：本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重
4、视知识的发生过程，让学生体验学习的过程二、图形的拆拼（切拼）等分正三角形例2.请你把等边三角形分成形状相同的三份分析：先画出三边垂直平分线的交点P，之后连接点P与等边三角形的三个顶点即可解：作图如下：点评：考查了三角形的特性，本题的关键是找到等边三角形三边垂直平分线的交点例3.如图是一个等边三角形，请你画一画，把它分成四个大小相同的小等边三角形分析：找出等边三角形三条边上的中点，连接出它的三条中位线，即可把这个等边三角形分成4个相同的等边三角形解：根据题干分析画图如下：点评：考查了三角形的中位线的性质，本题的关键是找到等边三角形三边的中点三、找规律题例4.已知一个等边三角形，现将其各边n（n为
5、大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）当n8时，共向外作出了 个小等边三角形；当nk时，共向外作出了 个小等边三角形（用含k的式子表示）分析：根据前三个图形小等边三角形的个数,推出n8时共向外作出了18个等边三角形,归纳总结出第k个图形即nk时,共向外作出的小等边三角形的个数即可;解:由第1个图形可知:n3时,共向外作出了3(3-2)个三角形;由第个图形可知:n4时,共向外作出了3(4-2)个三角形;所以当n8时,共向外作出了3(8-2)18个三角形;当nk时,共向外作出了3（k-2）3k-6个三角形;故答案为:18, 3k-6.点评：看图形找规律的题目也是比较
6、常见的题目，作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键. 看图形找规律题一般解题步骤：寻找数量关系；用代数式表示规律；验证规律.四、运用等边三角形的性质巧算周长例5.如图中每个三角形都是等边三角形，中间的小等边三角形边长为a，则六边形的周长为 分析：设第二小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x，x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，根据题意得到方程2xx+3a，求出x3a，即可求出围成的六边形的周长解：设第二小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是
7、x，x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，根据题意得：2xx+3a，解得：x3a，故围成的六边形的周长为3a+3a+（3a+a）+（3a+a）+（3a+2a）+（3a+2a）+（3a+3a）30a故答案为：30a点评：本题主要考查对等边三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得到方程是解此题的关键，难度适中五、等边三角形的相关证明(一)等边三角形的判定与性质结合平行线的性质进行证明例6.ABC是等边三角形，DEAC，交AB、BC于D、E求证：BDE是等边三角形分析：根据等边三角形ABC的性质推知ABC60；然后由“两直线平行，内错角相等”推知BDEA60，BED
8、B60，从而证得BBDEBED60，所以BDE是等边三角形证明：ABC是等边三角形，ABC60；又DEAC，BDEA60，BEDC60，BBDEBED60，BDE是等边三角形点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质等边三角形的三个内角都是60.（二）旋转的思想的运用例7.如图所示，ABC是等边三角形，D是BC边上一点，CDE也是等边三角形，试利用旋转的思想说明线段AD与BE的大小关系分析：观察图形,由于ABC, CDE都是等边三角形, BCE可看作绕点C逆时针旋转得到的,由此可得, BCEACD,故ADBE.ADBE.理由: ABC, CDE都是等边三角形,BCAC,CECD, B
9、CEACD60,BCEACD(SAS),故ADBE.点评：本题考查旋转的性质,旋转变化前后,对应线段,对应角分别相等,图形的大小,形状都不改变.（三）全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质的运用例8.已知：ABC为等边三角形，ADBC，ADBE求证：DEC为等边三角形分析：首先可证明DACBEC，由全等三角形的性质可知：CDCE，所以DCE为等腰三角形，再通过证明DCE60即可得到：DEC为等边三角形证明：ABC为等边三角形，ACBC，ABCEBC60，ADBC，DACABC，DACEBC60，在DAC和BEC中，DACBEC（SAS），DCCE，DCAECB，ACB60，ECD60，
10、DEC为等边三角形点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等边三角形的判定可以通过三个内角相等，三条边都相等或者两条相等的边之间的夹角是60等方法(四)添加辅助线与三点共线的证明例9.如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得ADAE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点分析：作辅助线连接,在易知的情况下,可证明R，A，Q三点共线, R，B，P三点共线,由此可证明PQR是等边三角形.证明：如图：连接BP，在ADC和CPB中，因为ACBC，DCPC，ACDBCP，所以ADCBPC，所以ADBP，DACPBC60，因为RAB+BAC+QAE60+60+60180，所以R，A，Q三点共线，又因为RBA+ABC+CBP60+60+60180，所以R，B，P三点共线，而AQAEADBP，所以RQRA+AQRB+BPRP，因为R60，所以PQR是等边三角形，即P，Q，R是等边三角形的三个顶点. 点评：本题考察了等边三角形的判定与性质,难度较大,关键根据题意作出辅助线证明三点共线.
