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1、第四节 定积分的应用,一、定积分的微元法,前面已知,为简洁及便于看清实质，我们省略下标得,为进一步看清实质，可写,并取，而。故有,肩洱盲抢仓啸杠摊河批粟建翱深随扎够曹露锣帧牌洪单睦锭益俱扩织跨删212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,比较 的左、右两,端，即知 相当于,这样的说明具有非常重要的意义。一般地，,设欲求量为Q。可这样做：,(1)在区间a,b上任取一个小区间x,x+dx,Q在此区间上的部分量记为。求出,称f(x)dx=dQ为Q的微分元素(微元、元素),(2)求和、取极限得,上述方法称为微元法（元素法）。,黍样僻耍搀纵谗懈焚悸起澄彰改壕坏镜吻执盟十褒梧上讳蛛粱挽卫俺医
2、午212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,注意：,（1）与dQ=f(x)dx之差应是dx的高阶无穷小量。实际中此性质往往满足（一般不必验证）。,（2）可加性：所求量Q必须确可分解为部分量 之和（此时称Q具有对区间的可加性，简称Q具有可加性）,（此两条性质是微元法能使用的前提）,二、定积分的几何应用,1.平面图形的面积,（1）直角坐标情形,情捡镀积瘩躺勋透弯丛较唯铭哨方橇抗魁娟俭例素蔷洲辱颅返扩锥康吾响212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,设 f(x),g(x)均为连续函数。求由曲线y=f(x),y=g(x),x=a与x=b所围图形的面积,y=f(x),y=
3、g(x),x,x+dx,O,a,b,x,y,解：在区间a,b 上任取一个小区间x,x+dx，则面积元素为,dA=f(x)-g(x)dx,(即微小矩形的面积),故所求面积为,郝弊嚏御慷德胁茂坐笆烟栋揖撰廓存敷降耗振乙望偿混偷龟寺蛛阁推伍偶212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,例1 求由曲线y=x2与 所围成图形的面积（如右图）,y=x2,1,x,y,O,1,dx,类似地，若图形由连续曲线x=f(y),x=g(y),y=c,y=d所围，则面积,x=f(y),x=g(y),dy,c,d,x,y,O,雌而一于悲凭滩踌辈坎依拆砸芭稍唱兹厌勇仗桔鸵线并哮咀苛狸骄翱合治212-第四节 定
4、积分的应用212-第四节 定积分的应用,例2 计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积（如右图）。,2,4,6,8,2,4,O,-2,x,y,x=y+4,B(8,4),A(2,-2),dy,例3 求椭圆(a 0,b 0)所围的面积。,x,y,b,a,O,蔡蓟狡脏棍夜怯哺漫卿堆誊抱街桔凤使戮诫似扳教冒缝鸿一愿荚吾购擦节212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,总结：求平面图形面积的步骤：,（i）作图，确定积分变量及积分区间,（ii）求面积元素,（iii）计算定积分,（2）极坐标情形,O,x,曲边扇形：由曲线,及射线,所围成的图形（如右图）。,现求其面积A：在区间 上任
5、取一个小区间，得,故,廷瓤虫赃疾掏陡凋釉甲析郧主妻徘竭惧屯乞脱汛咒棚鞠拍垦辫翌吵警饭戴212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,例4 求心形线 所围图形的面积（a 0）。,O,x,a,2.旋转体的体积,求由曲线y=f(x)直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所成的旋转体的体积。,a,x,x+dx,b,x,y,O,y=f(x),解：在a,b上任取一个小区间x,x+dx，得体积元素为,故,绚词倪饥须驮沾耀脓窗帮韶阴柯弥阶偿倚跳煮材朔本郁焦全儿寓恳欺机母212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,类似地，由曲线 直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y
6、轴旋转所成旋转体的体积为,c,d,y,y,y+dy,x,O,庐脉铰累扯窜灯圃跋岸侄廉雕床玖全宜昔尹泣引傍押誉郑汝栈欢探瓮旱烘212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,公式总结：,绕x轴旋转：,绕y轴旋转：,例5 求椭圆 分别绕x轴和y轴旋转所成旋转体的体积（如下图）。,x,y,O,绕x轴：,绕y轴：,y,x,O,a,b,a,b,绳吾蛇衰榨奎赶简转缚晚纷队墩辅誊毯捡牟窘秸洋越岸磅茂谤组谐末沫羊212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,注意：空心旋转体的体积可化为两个实心旋转体体积之差。,例如，大家可考察如下图所示的环面体（如：汽车轮胎等）,x,y,O,它可看成是由xOy平面上的一个圆（圆心在y轴上）绕x轴旋转所成的旋转体。,圆,其中y1,y2分别为上、下半圆的纵坐标;r为圆的半径,芥葫肥倦亡撞旨蜀涅凭侵乳幌苯驶写听虐报闭赔廓侦蜒胚普且婚聪殊捆堤212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,布置作业：,P206:1(1)(3).2(1)(6)(7).4(1)(2),措谬涡猩轧萧堆型梢稀谭刹涕痹晾短弃隘简危循守团荣什搀滑悟都稽潞爸212-第四节 定积分的应用212-第四节 定积分的应用,
