《(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析.doc（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、（易错题精选）初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析一、选择题1如图，AB是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角为（点A，B，C，D，E在同一平面内）斜坡CD的坡度（或坡比），那么建筑物AB的高度约为（ ）（参考数据，）A65.8米B71.8米C73.8米D119.8米【答案】B【解析】【分析】过点E作与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长由矩形的
2、判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论【详解】解：过点E作与点M，延长ED交BC于G，斜坡CD的坡度（或坡比），米，设，则在中，即，解得，米，米，米，米，四边形EGBM是矩形，米，米在中，米，米故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2如图，在中，是边上一条运动的线段（点不与点重合，点不与点重合），且，交于点，交于点，在从左至右的运动过程中，设，的面积减去的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】设aBC，BC，求出C
3、N、DM、EN的长度，利用ySBMDSCNE，即可求解【详解】解：设aBC，BC，则MNa，CNBCMNBM2aaxax，DMBMtanBxtan，ENCNtanC（ax）tan，ySBMDSCNE（BMDMCNEN），为常数，上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程3菱形ABCD的周长为20cm,DEAB,垂足为E,sinA=,则下列结论正确的个数有（）DE=3cm; BE=1cm; 菱形的面积为15cm2; BD
4、=2cmA1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质及已知对各个选项进行分析，从而得到答案【详解】菱形ABCD的周长为20cmAD=5cmsinA=DE=3cm（正确）AE=4cmAB=5cmBE=54=1cm（正确）菱形的面积=ABDE=53=15cm2（正确）DE=3cm,BE=1cmBD=cm（不正确）所以正确的有三个故选C【点睛】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，熟练掌握性质是解题的关键4在课外实践中，小明为了测量江中信号塔离河边的距离，采取了如下措施：如图在江边处，测得信号塔的俯角为，若米，米，平行于，的坡度为，坡长米，则的长为()（精确到0.1米，参考数
5、据：，）A78.6米B78.7米C78.8米D78.9米【答案】C【解析】【分析】如下图，先在RtCBF中求得BF、CF的长，再利用RtADG求AG的长，进而得到AB的长度【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点F，延长DE交AB延长线于点GBC的坡度为1:0.75设CF为xm，则BF为0.75xmBC=140m在RtBCF中，解得：x=112CF=112m，BF=84mDECE，CEAB，DGAB，ADG是直角三角形DE=55m，CE=FG=36mDG=167m，BG=120m设AB=ymDAB=40tan40=解得：y=78.8故选：C【点睛】本题是三角函数的考查，注意题干中的
6、坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.5图1是一个地铁站入口的双翼闸机如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘ACBD54cm，且与闸机侧立面夹角PCABDQ30当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A(54+10) cmB(54+10) cmC64 cmD54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度【详解】如图所示，过A作AECP于E，过B作BFDQ于F，则RtACE中，AE=AC=54=27（cm），同理可得，BF=27cm
7、，又点A与B之间的距离为10cm，通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多6一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形可计算边长为2，据此即可得出表面积【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形正三角形的边长圆锥的底面圆半径是
8、1，母线长是2，底面周长为侧面积为，底面积为，全面积是故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长7如图，矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，且，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由EOF=BOP、B=E、OP=OF可得出OEFAOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在RtDAF中，利用勾股定
9、理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cosADF的值【详解】解：矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，根据折叠性质，可得：DCPDEP，.DC=DE=4，CP=EP，在OEF和OBP中OEFOBP(AAS)E=OB，EF=.设EF=x,则BP=x，DF=DE-EF=4-X，又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,=C-BP=3-x,AF=AB-BF=1+x.在RtDAF中，AF2+AD2=DF2，即(1+x)2+32=(4-x)2解得:x=DF=4-x=cosADF=故选:C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF
10、的长度是解题的关键8如图，在x轴的上方，直角BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，则OAB大小的变化趋势为（ ）A逐渐变小B逐渐变大C时大时小D保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明BEOOFA，得到；设B为（a，），A为（b，），得到OE=-a，EB=，OF=b，AF=，进而得到，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tanOAB=为定值，即可解决问题【详解】解：分别过B和A作BEx轴于点E，AFx轴于点F，则BEOOFA，设点B为（a，），A为（b，），则OE=-a，EB=，OF=b，AF=，可代入比例式求得，即，根
11、据勾股定理可得：OB=，OA=，tanOAB=OAB大小是一个定值，因此OAB的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答9如图，是的外接圆，是的直径，若的半径是4，则线段的长是（ ）A2B4CD6【答案】A【解析】【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到ACD90，DB，则sinDsinB，然后在RtACD中利用D的正弦可计算出AC的长【详解】连结CD，如图，AD是O的直径，ACD90，DB，sinDsinB，在RtA
12、CD中，sinD，ACAD82故选A【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了解直角三角形10某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i1：2，BC12米，CD8米，D36，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米（精确到0.1米，参考数据：tan360.73，cos360.81，sin360.59）A5.6B
13、6.9C11.4D13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案【详解】解:如图,延长DC、AB交于点E，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i1：2，得BE：CE1：2设BExm，CE2xm在RtBCE中，由勾股定理，得BE2+CE2BC2，即x2+（2x）2（12）2，解得x12，BE12m，CE24m，DEDC+CE8+2432m，由tan360.73，得0.73，解得AB0.733223.36m由线段的和差，得ABAEBE23.361211.3611.4m，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得
14、出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差11如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）A15mBC20mD【答案】C【解析】【分析】【详解】解:RtABC中，BC=10m，tanA=，AC=mAB=m故选C【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数,特殊角的三角函数值及勾股定理,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键12如图所示，中， ，顶点分别在反比例函数与的图象器上，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，于是得到BDO=ACO=90，根据反比例函数的性质得到SBDO=
15、，SAOC=，根据相似三角形的性质得到=，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：过A作ACx轴，过B作BDx轴于D，则BDO=ACO=90，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，SBDO=，SAOC=，AOB=90，BOD+DBO=BOD+AOC=90，DBO=AOC，BDOOCA，tanBAO=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法13如图，一张直角三角形纸片的斜边放在矩形的边上，恰好完全重合，边，分别交于点，已知，则的长为（）A1BCD2【答案】C【解析】【分析】由是矩形，得到AD=
16、BC=8，且矩形的四个角是直角，根据，可以求出DG的长度，再根据余角的性质算出DCE的大小，根据三角函数即可算出DC的长度.【详解】解：四边形是矩形，AD=BC=8，DCB=，又,ECB=60，DCE=，又，,故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.14如图，在扇形中，点是弧上的一个动点（不与点、重合），、分别是弦，的中点若，则扇形的面积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】如图，作OHAB于H利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题【详解】解：如图
17、作OHAB于HC、D分别是弦AP、BP的中点CD是APB的中位线，AB2CD，OHAB，BHAH，OAOB，AOB120，AOHBOH60，在RtAOH中，sinAOH，AO，扇形AOB的面积为：，故选：A【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型15定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，.则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】证明ABC是等腰直角三角形即可解决问题【详解】解：AB=AC，B=C，A=2B，B=C=45，A=90，在RtAB
18、C中，BC=AC，sinBsadA=,故选：C【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型16如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点在轴的正半轴上，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】过点作x轴的垂线，垂足为M，通过条件求出，MO的长即可得到的坐标.【详解】解：过点作x轴的垂线，垂足为M，在直角中， ，OM=2+1=3，的坐标为.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题17如
19、图 ，矩形 ABCD 中，ABAD，AB=a，AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN于点 N.则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )AaB aCD【答案】C【解析】【分析】根据“AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N”得MDC=NCD=45，cos45= ，所以DM+CN=CDcos45；再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出【详解】AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N，ADM=MDC=NCD=45，=CD，在矩形ABCD中，AB=CD=a，DM+CN=acos45=a.故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于
20、得到cos45=18如图，已知O上三点A，B，C，半径OC=1，ABC=30，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）A2B CD【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出AOC=60，再根据AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，ABC=30，AOC=60，PA是圆的切线，PAO=90，tanAOC =,PA= tan601=.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出AOC=60是解答本题的关键.19在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，
21、可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案【详解】解：在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=5 cosA= 故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边20如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG、CH分别平分EAD、FCB，则GH长为（ ）A3B4C5D7【答案】B【解析】【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长
22、，再通过证四边形ABNM为矩形得MNAB2，BNAM3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GHTN即可解决问题【详解】解：如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于TABE沿着AE翻折后得到AGE，GAMBAE，ABAG2，AG分别平分EAD，BAEEAG，BAD90，GAMBAEEAG30，GMAD，AMG90，在RtAGM中，sinGAM，cosGAM，GMAGsin30，AMAGcos303，同理可得HT，CT3，AMGBBAD90，四边形ABNM为矩形，MNAB2，BNAM3，GNMNGM，GNHT，又GNHT，四边形GHTN是平行四边形，GHTNBCBNCT10334，故选：B【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型
