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1、1,第十一章 柱函数,三类柱函数贝塞尔方程,2,1.三类柱函数,一.回顾1.贝塞尔方程:2.贝塞尔方程的解,1)不是整数或半奇数,方程的通解:,二.三类柱函数,第一类柱函数,3,第三类柱函数,为整数阶时或者不是整数或者半奇数阶时都成立,做线性独立的,第一种汉克尔函数,第二种汉克尔函数,第二类柱函数,贝塞尔方程的通解:,4,三.,当,a.解在圆柱轴上解有限就成为自然的边界条件b.零阶和正阶的贝塞尔函数可作为定解问题的解,当 时,柱函数的性质,1.,5,2.递推公式,6,7,一.勒让德多项式,轴对称球函数,(1)一般表达式,级数表示,约定级数中最高次幂 的系数是,反用系数递推公式,8,微分表示,展
2、开,再求导L次可得,积分表示,9,具体形式,代数表达式,10,图象,11,12,二.勒让德多项式的性质,奇偶性Pl(-x)=(-1)l Pl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数完备性应用例题,13,三 完备性应用例题,例1：把函数 f(x)=2x3+3 x+4 用勒让德多项式展开。,14,轴对称拉普拉斯方程的求解,四 勒让德多项式的应用,15,例3：在球 的内部求解使满足边界条件,解：,16,例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u。,17,例4 在本来是匀强的静电场中放置均
3、匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内外的电场强度,分析：球内电势 球外电势 衔接条件,18,作业：1.（1）（2），5.,19,一.连带勒让德函数,10.2 连带勒让德函数,设 带入方程整理得:,有限,求对应的本征函数:,20,利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:,所以,通常记作:,21,注意:区分,22,23,24,二.连带勒让德函数的性质奇偶性 正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数,m相同的连带勒让德函数是完备的,25,10.3 球函数,球函数方程,一.球函数,26,任取其一,球函数方程的解为球函数:,二.球函数的性质,正交性,27,完备性,例1.用球函数把下列函数展开,例2.用球函数把 展开,28,三.拉普拉斯方程的非轴对称定解问题,拉普拉斯方程在球形区域的定解问题,如果是非轴对称的,问题与 有关,用一般的球函数,例4.半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势为 为常数,求球形区域内部的电势分布,解:定解问题为,29,由边界条件知:解为一般的球函数,由于解在内部有限,所以含 项舍去,所以,代入边界条件:,30,比较系数得:,其它系数为零,右边按球函数展开：,方程的解为：,31,练习：,作业：P324:1.(1),2.,
