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1、动量与冲量 动量定理 质心运动定理,第十章 动量定理,第三篇 动力学,动量定理、动量守恒定理、质心运动定理及质心运动守恒定理。,重点、难点：,第一节 动量与冲量,10.1.1 动量,1）质点的动量 质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，记为。,动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为kgm/s。,2）质点系的动量 质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。,3）质心及用质心速度求质点系动量,定义质点系质量中心(质心)C 的矢径,则,质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。,第一节 动量与冲量,例1 求动量,第一节 动量与冲量,均质细杆,均质滚轮,均质轮,例2 两均质杆OA和AB质量
2、为m，长为l，铰接于A。图示位置时，OA杆的角速度为w，AB杆相对OA杆的角速度亦为w。求此瞬时系统的动量。,解：由刚体系统的动量公式,其中：,方向水平向右。,O,A,B,C1,C2,w,wr=w,AB作平面运动,第一节 动量与冲量,例3 已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA=l1，AB=l2，轮的半径为R，轮作纯滚动，OA杆的角速度为w，求图示瞬时系统的动量。,第一节 动量与冲量,10.1.2 冲量,作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。,冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为Ns，与动量的量纲相同。,常力的冲量,变力的冲量元冲量,而力 在作用时间 t1 t2内的冲量是矢量积
3、分,第一节 动量与冲量,10.2.1 质点的动量定理,质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。,微分形式,在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。,积分形式,第二节 动量定理,说明：1、使用动量定理时，必须首先分清质点系所受的力那些是外力，哪里是内力，只有外力才改变质点系的动量。2、动量是矢量。质点系的动量，等于各质点动量的矢量和，而不是代数和。,第二节 动量定理,例4 锤的质量m3000 kg，从高度h1.5 m 处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形历时 t 0.01 s；求锤对工件的平均压力。,第二节 动量定理,解：以锤为研究对象，和工件接触后受力如图
4、。工件反力是变力，在短暂时间迅速变化，用平均反力N*表示。,锤自由下落时间,锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量G29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。,第二节 动量定理,例5 滑块C的质量为m19.6 kg，在力P866 N的作用下沿倾角为30o的导杆AB斜向上运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系数f0.2，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v2 m/s 所需的时间。,第二节 动量定理,解：以滑块C为研究对象，建立坐标系。由动量定理得,由(2)式得,代入(1)式，求得所需时间为,从而摩擦力为,第二节 动量定理,10.2.2
5、质点系的动量定理,设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的质量为mi，速度为vi，作用在该质点上的外力与内力的合力为 与，由质点的动量定理有,将n个方程相加，即得,又因,第二节 动量定理,质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以写成,由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，即。于是可得,质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。,质点系动量定理的微分形式,第二节 动量定理,质点系动量定理的微分投影形式,或,质点系动量定理的积分形式,在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。,质点系动量定理的
6、积分投影形式,第二节 动量定理,pp0 恒矢量,若，则,如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。,如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。,pxp0 x 恒量,10.2.3 质点系动量守恒定律,第二节 动量定理,太空中拔河，谁胜谁负？,系统不受外力作用，所以动量守恒,不分胜负！,思考题,第二节 动量定理,例6 质量分别为mA和mB的两个物块A和B，用刚度系数为k的弹簧联结。B块放在地面上，静止时A块位于O位置。如将A块压下，使其具有初位移X0，此后突然松开，如所示。求地面对B块的约束力NB。又X0多大时，B块将跳起？,
7、第二节 动量定理,取系统为研究对象，画受力图。,系统的动量为,块A作简谐振动，初始条件为,所以,质系动量定理,第二节 动量定理,B块跳起的条件为NB=0，即,第二节 动量定理,例7 所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上。设其外壳和定子的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转子质量为m2，由于制造或安装时的偏差，转子质心O2不在转轴中心上，偏心距O1O2=e，已知转子以等角速 转动。试求电动机机座的约束力。,第二节 动量定理,由质系动量定理有：,支座的约束力为：,解：建立坐标系O1xy，画受力图机壳不动，质点系的动量就是转子的动量，其大小为P=m2ew，假设t=0时，O1O2铅垂，有,第二节
8、 动量定理,例8 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v03.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。,第二节 动量定理,解：研究系统，建立坐标系。,代入已知数据，解得v3 m/s,设沙箱滑动结束后车速为v，则有,再以小车为研究对象，由动量定理有,代入已知数据，解得 F0.5 kN,第二节 动量定理,第三节 质心运动定理,10.3.1 质量中心,10.3.2 质心运动定理,对于质量不变的质点系，上式可改写为,或,质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和(外力的主矢
9、)。,第三节 质心运动定理,质心运动定理直角坐标投影式,自然轴上的投影式,形式上，质心运动定理与质点动力学基本方程完全相似，因此质心运动定理也可叙述如下：质点系质心的运动，可以看成一个质点的运动，设想此质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。由质心运动定理可知，质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。,第三节 质心运动定理,如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若系统开始静止，则质心位置始终保持不变。如果作用于质点系的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。,以上结论，
10、称为质心运动守恒定理。,10.3.3 质心运动守恒定理,第三节 质心运动定理,例9 如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质心O2 到O1的距离为e，已知转子以匀角速度w 转动。求：(1)质心运动方程；(2)基础对电机总的水平和铅垂反力；(3)若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。,第三节 质心运动定理,解：(1)建立如图坐标，任一瞬时，qw t，即有,故质心运动方程为,第三节 质心运动定理,(2)以系统为研究对象,由质心运动定理,因,故,得,第三节 质心运动定
11、理,（3）以系统为研究对象，受力如图。,在图示坐标下，设初始时xC1a，当转子转过q，定子向右移动距离s，则,所以,由于SFx(e)0，所以,第三节 质心运动定理,解得,由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时,若，则。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。,第三节 质心运动定理,例10 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上，其斜面上放一和它相似的小三角块，其质量为m。已知大、小三角块的水平边长各为a与b。试求小三角块由图示位置滑到底时大三角块的位移。,第三节 质心运动定理,解：取系统分析，受力如图，建立如图坐标。,设大三角块的位移为s，则,由于SFx(e)0，且初始系统静止，所以,解得,第
12、三节 质心运动定理,例11 已知物块质量m1=20kg，m2=15kg，m3=10kg，四棱柱的质量m=100kg。不计滑轮与绳子的质量和摩擦，系统初始静止；求当物块m1下降1m时，四棱柱相对于地面的位移。,第三节 质心运动定理,例12 已知均质曲柄OC的质量为m1，均质尺AB的质量为2m1，滑块A和B的质量均为m2，OC=AC=CB=l，OC的角速度w为常量，求曲柄水平向右时，系统的动量。,第三节 质心运动定理,例13 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。,第二节 动量定理,解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB，则由运动学关系得,系统的动量在坐标轴上的投影为,由质点系的动量定理,注意到,可得,第二节 动量定理,例14 已知均质杆AB长为l，直立于光滑的水平面上，求杆无初速倒下时，端点A相对图示坐标系的轨迹。,第三节 质心运动定理,例15 已知均质鼓轮O的质量为m1，重物B、C的质量分别为m2与m3，斜面光滑，倾角为，重物B的加速度为a；求轴承O处的约束反力。,第三节 质心运动定理,例16 如图所示，已知mA、mB，且mA=3mB，角度，不计各处的摩擦，求A的加速度及地面的支持力。,第三节 质心运动定理,第三节 质心运动定理,第三节 质心运动定理,
