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1、第十五讲 函数的实践与探索,1.能：根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.2.会：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.3.能：用一次函数解决实际问题,用反比例函数解决某些实际问题,用二次函数解决简单的实际问题.,一、一次函数与方程(组)、不等式1.解一元一次方程kx+b=0(k0)可以转化为：当一次函数y=kx+b(k0)值为_时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b的图象,确定它与x轴交点的_坐标.,0,横,2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时,求自变量相应的_.3.每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的
2、角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数值_,以及这个值是多少;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的_.,取值范围,相等,坐标,【即时应用】1.直线y=x+5与x轴的交点坐标是_.2.直线y=3-x与y=3x-5在直角坐标系内的交点坐标是_.3.一次函数y=kx+b(k，b为常数，k0)的图象如图所示，则不等式kx+b0的解集是_.,(-5,0),(2,1),x-1,二、二次函数与一元二次方程1.一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的_.2.抛物线与x轴的交点(1)当b2-4ac0时，抛物线与x轴有_个交点；(2)当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有_个交
3、点；(3)当b2-4ac0时，抛物线与x轴_交点.,横坐标,两,一,没有,【即时应用】1.已知抛物线y=(x-4)2-3，则方程(x-4)2-3=0的解为_.2.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图，若y0，则x的取值范围是_.,-3x1,【核心点拨】1.一次函数关系式中含有两个变量，当把两个变量分别看作两个未知数时，一次函数便成为二元一次方程.2.对于二次函数y=ax2+bx+c，当y=0时，便成为一元二次方程，而函数图象上满足y=0的点在x轴上，因此，方程ax2+bx+c=0的两个根便是抛物线与x轴交点的横坐标.3.函数值大于零，所对应的函数图象在x轴的上方，函数值等于零，所对应的函数
4、图象在x轴上，函数值小于零，所对应的函数图象在x轴的下方，因此，利用函数的图象，可以求出相应不等式的解集.,一次函数与方程(组),【例1】(2011杭州中考)点A,B,C,D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标.,【教你解题】,求关系式,由待定系数法可得，直线AB的关系式为y=2x+6，直线CD的关系式为y=,解方程组,解方程组 得,交点坐标,直线AB与CD的交点坐标为(-2,2),【对点训练】1.(2011咸宁中考)如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4).若直线l经过点(1，0)，且将OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数关系式是()(A)
5、y=x+1(B)y=(C)y=3x-3(D)y=x-1,【解析】选D.OABC对角线的交点为线段OB的中点,坐标为(3,2),过两点(1,0),(3,2)的直线即为直线l.设直线l的关系式为y=kx+b(k0)，由题意得方程组 解得故选D.,2.(2012威海中考)如图，直线l1,l2交于点A.观察图象，点A的坐标可以看作方程组_的解.,【解析】设l1,l2的直线关系式分别为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2.由图象可得解得所以方程组为答案：,3.(2011漳州中考)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点，将OAB绕点O逆时针方向旋转90后得到OCD.(1)填空：点C的坐标
6、是(_，_)；点D的坐标是(_，_).(2)设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；,【解析】(1)点C的坐标为(0，1)，点D的坐标为(-2，0).(2)设直线CD的函数关系式为y=kx+b，可得：过CD的直线关系式为y=所以 解得所以点M的坐标为过点M作MEy轴于点E，则由勾股定理得,一次函数与一元一次不等式,【例2】(2012襄阳中考)如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A(1，2)，B(m，-1)两点，(1)求直线和双曲线的关系式；(2)若A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)为双曲线上的三点，且x1x20 x3,请直接写出y1,y2,y3的大小关系式；(3
7、)观察图象，请直接写出不等式k1x+b 的解集.,【思路点拨】(1)将点A(1，2)代入双曲线y=求出k2的值，将B(m，-1)代入双曲线的关系式求出m的值，再用待定系数法求出k1和b的值，可得两函数的关系式;(2)根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究；(3)根据A，B点的横坐标结合图象进行解答.,【自主解答】(1)双曲线y=经过点A(1，2)，k2=2，双曲线的关系式为：点B(m，-1)在双曲线y=上，m=-2，则B(-2，-1).由点A(1，2)，B(-2，-1)在直线y=k1x+b上，得解得 直线的关系式为y=x+1.(2)y2y1y3.(3)x1或-2x0.,【对点训练】4.(2
8、012河南中考)如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m，3)，则不等式2xax+4的解集为()(A)x(B)x3(C)x(D)x3【解析】选A.由题意可求得点A的坐标为(3)，结合图形可知，当x 时，不等式2xax+4.,5.(2012恩施中考)如图，直线y=kx+b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则不等式组0kx+b 的解集为_.,【解析】如图，直线y=是一条过点A和原点的直线，不等式组0kx+b 的解集可以看作直线y=kx+b位于直线y=0与直线y=之间的部分的x的取值，即线段AB所对应的x的取值，所以不等式组的解集为3x6.答案：3x6,6.(2011来宾中考)已知反比
9、例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和B(m,-2).(1)求这两个函数的关系式.(2)观察图象，写出使得y1y2成立的自变量x的取值范围.,【解析】(1)把A(1，4)代入y1=得4=则k=4，y1=把B(m,-2)代入y1=得m=-2，B(-2,-2).把A(1，4)，B(-2,-2)代入y2=ax+b得,y2=2x+2.(2)当x-2或0 x1时，y1y2.,二次函数与一元二次方程,【例3】(2011绵阳中考)若x1，x2(x1x2)是方程(x-a)(x-b)1(ab)的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为()(A)x1x2ab(B)x1ax2b(C
10、)x1abx2(D)ax1bx2【思路点拨】先根据题意作出二次函数y(xa)(xb)与直线y1的图象,找出二次函数的图象与x轴交点的横坐标,与直线y1交点的横坐标,然后比较实数x1，x2，a，b的大小.,【自主解答】选C.作出二次函数y(xa)(xb)与直线y1的图象，两图象的交点的横坐标就是方程(xa)(xb)1的两个根，即x1，x2，而a，b是二次函数y(xa)(xb)与x轴的两个交点的横坐标，由图象知，x1abx2故选C.,【对点训练】7.(2011乐平中考)已知二次函数yx2+bx-2的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则它与x轴的另一个交点坐标是()(A)(1，0)(B)(2，0)(
11、C)(-2，0)(D)(-1，0)【解析】选C.二次函数yx2+bx-2的图象与x轴的一个交点为(1，0)，012+b-2，解得b1，二次函数为yx2+x-2.令y0，则x2+x-20，解得x11，x2-2，即二次函数yx2+bx-2的图象与x轴的两个交点为(1，0)，(-2，0)，所以选C.,8.(2011黔南州中考)二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3,另一个解x2=()(A)1(B)-1(C)-2(D)0【解析】选B.把x1=3代入-x2+2x+k=0得-9+6+k=0，得k=3，于是y=-x2+2x+3.解-x2+
12、2x+3=0得，x1=3，x2=-1，故选B.,【一题多解】选B.由于抛物线的对称轴是x=1,关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3,即抛物线与x轴的一个交点坐标是(3,0)，根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，所以方程的另一个解是x2=-1,故选B.,9.(2011德州中考)已知函数y=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象如下图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是(),【解析】选D.函数y=(x-a)(x-b)(其中ab)，当y=0时，即(x-a)(x-b)=0，解得x=a或x=b，所以(a，0)，(b，0)为抛物线与x轴的交点坐标.从
13、图象可看出a=1，b-1，因此函数y=ax+b经过第一、三、四象限，故选D.,【创新命题】二次函数与一元二次不等式【例】(2011广东中考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围,【解题导引】把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c，得关于b,c的二元一次方程组,解方程组得b,c的值,进而得到函数值y为正数时，自变量x的取值范围.,【规范解答】(1)把(-1，0)，(0，3)分别代入y=-x2+bx+c
14、，得解得所以二次函数的关系式为y=-x2+2x+3.(2)令y=0，得-x2+2x+3=0,解得x1=-1，x2=3所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是-1x3,【名师点评】通过对二次函数与一元二次不等式的分析与总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：,1.(2012资阳中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是()(A)-1x5(B)x5(C)x-1且x5(D)x-1或x5,【解析】选D.由图象得,对称轴是x=2，其中图象与x轴的一个交点的坐标为(5，0)，图象与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)利用图象可
15、知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，x-1或x5故选D.,2.(2011常州中考)已知二次函数y=-x2+x当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m-1，m+1时对应的函数值分别为y1,y2，则函数值y1,y2 满足()(A)y10,y20(B)y10,y20(C)y10,y20(D)y10,y20,【解析】选B.的图象开口向下，与x轴两交点的横坐标都在0到1之间，由当自变量x取m时，对应的函数值大于0，得0m1,-1m-10,1m+12,画出草图可得y10，y20.故选B.,3.(2011龙东中考)已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A
16、和点C，且抛物线的对称轴为直线x=-2.(1)求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标.(2)试确定抛物线的关系式.(3)观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围.,【解析】(1)yx3中，当y0时，x-3，点A的坐标为(-3，0)；当x0时，y3，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x-2，点A与点B关于直线x-2对称，点B的坐标是(-1，0).,(2)设二次函数的关系式为yax2bxc.二次函数的图象经过点C(0，3)和点A(-3，0)，且对称轴是直线x-2可列得方程组：解得：二次函数的关系式为yx24x3.(或将点A、点B、点C的坐标依次代入关系式中求出a,b,c的值也可)(3)观察图象可知，当-3x0时，二次函数值小于一次函数值.,【变式训练】本题中,已知不变,观察图象，请直接写出二次函数值小于0的自变量x的取值范围?【解析】由(2)知二次函数的关系式为yx24x3,与x轴的交点A的坐标为(-3，0)、B的坐标是(-1，0)，所以由图象可知，当-3x-1时，二次函数值小于0.,
