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1、浅谈空间向量的应用山东省济宁一中高三数学组 贾广素(272100)电话：13053744397空间向量在新课标课本中处于较为重要的地位，以空间向量为工具不仅可以解部分立体几何问题，而且还可以解决一些平面几何、解析几何与部分不等式的证明问题，可谓功能强大。在最近几年的高考试题中，空间向量越来越受到命题人的青睐，其中多数立体几何可以利用空间向量知识解决。不难断定，在未来的高考中，空间向量作为工具将起到不可忽视的作用。本文通过几个例题，着重来说一下空间向量在解决立体几何问题的应用。 一利用向量处理平行问题空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可以用向量方法
2、来研究。方法如下：（1）设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。（4）平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。例1二利用向量处理垂直问题空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间内的两个向量垂直问题来解决。（1）设分别为直线的一个方向向量，那么；（2）设分别为平面的一个法向量，那么；（3
3、）设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。ABCDOO1ABOCO1D例2（2005年湖南）如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.证明：ACBO1；ABOCO1Dxyz证明：由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）图3O1（0，0，）.从而所以ACBO1. 三利用向量处理角度问题在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面
4、所成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量，有，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。求异面直线所成的角的关键在于求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，两向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。直线与平面的夹角，是直线的方向向量与平面的法向量的夹角（锐角）的余角，故有：，。设分别是二面角的面的法向量，则就是所求二面角的平面角或其补角的大小。例3（2006年广东卷）如图5所示，AF、DE分别是O、O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直径，A
5、BAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直线BD与EF所成的角的余弦值.解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角的余弦值为。四利用向量处理距离问题立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的
6、距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等等，它是数学学习中的一个难点。此部分若用向量来处理，则思路较为简单，方法较为因定。（1）利用可以求有关距离问题；QPADCB（2）设是直线上的一个单位方向向量，线段AB在上的投影是，则有，由此可求点到线，点到面的距离。例4( 2006年湖南卷）如图所示,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离的余弦值. 解：（）连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD.QBCPADzyxO（）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD. 由（），QO平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）.所以于是.从而异面直线AQ与PB所成的角的余弦值是.()由（），点D的坐标是（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.
