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1、妙趣横生的数学,例1（七桥问题）如图，能否从某个桥出发，走过所有的桥，但每座桥只经过一次？,A,B,C,D,？,一次走完（一笔画）,一次走不完（一笔画不出）,能否一笔画出？,2,4,2,1,3,3,1,3,3,3,5,偶,奇,奇,否,Euler,黄金分割,0.618的美学实例,人体:躯干部分的宽与长之比 肚脐、膝盖植物：相邻两叶在与茎垂直的平面上的投影的两夹角的比 利于通风采光,黄金分割,0.618的美学实例,名曲:高潮出现在全曲的黄金分割点名画：充分利用了0.618建筑:如建筑物的特征点、门窗等黄金分割点体现了美与实用，沟通了人与自然,e与,无理数分类代数无理数：整系数多项式的根超越无理数：
2、代数无理数以外的无理数 证明它们是超越无理数是相当困难的。,e与,来源与背景,e与,无理数的定义说明它们不可以用有限个有理数来表示。微积分的无穷级数提供了无理数的有理数的无限和表示。例如,有理数表示,e与,数值计算,猜测：1.每隔10位数就会出现同样的数字;2.的数字中必有e的前n位数字,e的数字中必有的前n位数字。,e与,奇妙关系,1：实数单位i：虚数单位0：唯一中性数,i：来源于几何：来源于分析,数学大师欧拉,欧拉（Euler Lonhard，17071783）欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝。欧拉出生于牧师家庭
3、，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。,在几何中用a、b、c与A,B,C分别表示一个三角形的三条边与三个内角，用表示圆周率；在三角函数中使用基本的符号，例如sinA表示A角的正弦函数等等；在代数中用i表示虚数单位，也即是“-1的平方根”，用f(x)表示函数；在立体几何中揭示多面体的欧拉公式，即顶点数-棱数+面数=2。这些统统都是欧拉的创造。以欧拉冠名的定理、常数和公式随处可见。,数学王子 高斯,高斯(1777-1855)是德国数学家，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米
4、德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。,数学是科学中的皇后-高斯,数学的贡献,1970年代末期，中国的科学春天来临。徐迟的报告文学歌德巴赫猜想风靡全国，陈景润的名字一夜之间传遍大江南北，成为中国科学复兴的英雄。他在“歌德巴赫猜想”上的成就至今人仍在世界上领先。当费马猜想于1995年宣布解决之后，21世纪数学难题中，彻底解决“歌德巴赫猜想”成为数学家面临的主要课题。陈景润从事的数论，是一门纯粹科学。数论的价值何在？一方面，在智力奥林匹克赛场上角逐，胜者为王。另一方面，世界顶尖数论专家纷纷投身密码研究，数论研究涉及国家安全以及企业机密。,但是，中国的数学和公众之间存在着某种隔膜。尽管陈景润的科学
5、精神感人至深，但是公众普遍认为，数学知识其他科学的语言，只能作为训练思维的体操。至于数学对经济建设的贡献，对社会的推动则是间接的，演不了主角，顶多是“幕后英雄”而已。进入1990年代，情况逐渐发生变化，数学技术开始在中国显示威力。一项闻名中外的科学成就又一次和数学结缘：以王选为总裁的方正集团开发了“汉字激光照排系统印刷技术”。王选，1962年毕业于北京大学数学系。他所领导的这项告别“铅与火的印刷术革命，其原理基于一项数学技术“数据压缩”。目前，方正集团及其伙伴占领了汉字印刷国内市场的99，过外市场的70。王选成为中国“最能挣钱的科学家之一”。数学可以直接产生经济效益，又一次为事实所证明。数学对
6、社会的贡献已从间接服务到直接干预，也就是说，数学的社会功能已从单纯为其他学科提供工具，发展为直接创造价值。,1940年，英国和美国为了对付德国潜艇的威胁，创立了运筹学。在不增加设备的情况下，依靠数学智力运筹学可以帮助提高设备能力和使用效率。1942年，苏联的柯尔莫哥洛夫和美国的维纳分别研究火炮的自动跟踪装置，发展随机过程的预测和滤波理论，提高防空效率。1948年维纳发表著名的控制论。1939年起，英国的数学家图灵帮助英国情报部门破译德军密码成功。美军破译日军密码电报，击落日本的将山本五十六的座机。1944年，冯.诺伊曼创立的对策论用于太平洋战争的战术决策。美国政府组织的“应用数学小组（AMP）
7、”，参与空中火箭发射，水下弹道，B-52轰炸机的计算等。数学家参与原子弹的研制。波兰裔数学家S.乌拉姆为氢弹研制作出了关键性贡献。1950年，冯.诺伊曼等使用电子计算机进行“数值”天气预报。1979年的诺贝尔医学奖授予美国的柯马克和英国的洪斯费尔德，褒奖他们运用数学上拉东变换原理，设计了CT层析仪。1993年，美国的数字化电视方案出世后，立即“横扫千军”，使模拟式方案变成一张废纸。支持电视数字化的是一种数学技术-小波技术，它能将庞大的数据压缩到最低限度，使得图象的数字传输成为可能。,1938年，苏联著名数学家康特罗维奇创建“线性规划”方法，可以使线性约束条件下的线性目标达到最优。1971年，康
8、特罗维奇和美国的柯普曼共同获得诺贝尔经济学奖。西方的数理经济学已经有100多年的历史。其基本原理是一般经济均衡理论。1970年的萨缪尔森，1972年的希克斯，阿罗，1983年的德布鲁。阿罗和德布鲁都是科班出身的数学家。由于西方证券市场的发展，证券理论的研究和实践在经济学中的地位日益突出，终于发生了“华尔街革命”。1990年的诺贝尔经济学奖授予马克维奇，夏普和米勒。他们研究如何在多种证券上投资，能使收益最大。他们把收益和风险这些本来非常模糊的概念变成明确的数学概念，并导出资本资产定价模型等重要理论。1997年的诺贝尔经济学奖则授予肖尔斯和默顿，他们的工作以期权定价理论有关。1997年，国家自然科
9、学基金会把金融数学列为优先发展的学科之一。,2002年的国际数学家大会已在北京召开，这是中国数学进步的新起点。愿中国数学在新世纪里更上一层楼，实现“21世纪的数学大国”的理想。,牛顿Sir Isaac Newton（16421727）是伟大的英国物理学家和数学家。他出生于林肯郡伍尔索普的一个农村家庭，恰与伽利略的去世是同年。,牛顿是17世纪最伟大的科学巨匠。他的成就遍及物理学、数学、天体力学的各个领域。牛顿在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律，综合并表述了经典力学的3个基本定律惯性定律、力与加速度成正比的定律、作用力和反作用力定律；引入了质量、动量、力、加速度、向心力等基本概念，从而建立
10、了经典力学的公理体系，完成了物理发展史上的第一次大综合，建立了自然科学发展史上的里程碑。其重要标志是他于1687年所发表的自然哲学的数学原理这一巨著。在光学上，他做了用棱镜把白光分解为七色光（色散）的实验研究；发现了色差；研究了光的干涉和衍射现象，发现了牛顿环；制造了以凹面反射镜替代透镜的“牛顿望远镜”。1704年出版了他的光学专著，阐述了自己的光学研究的成果。在数学上，牛顿与德国莱布尼兹各自独立创建了“微积分学”；他还建立了牛顿二项式定理。牛顿在声学、热学、流体力学等方面也有不少研究成果和贡献。,没有捷径可以走,古希腊的阿基米德不仅是一个卓越的科学家，而且是一个很好的老师，他生前培养过许多学
11、生，在这些学生中有一个特别的人物，他是希腊国王多禄米。刚开始上几何课时，国王挺认真，似乎下了决心要学好这门课。可是，时间一长，多禄米的兴趣就逐渐往下落了，尽管阿基米德讲授的几何学内容都很浅显，但对于不爱学习的国王而言，一堂课的时间简直比一年还长，他日益显出不耐烦的情绪。,“请问，到底有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的方法和途径？用你这种方法实在太难学了。”听了国王的问题，阿基米德思考着，冷静地回答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的乡村小道，一条是供皇家贵族走的宽阔的坦途，请问陛下走的是哪一条道路呢？”当然是皇家的坦途呀！”多禄米回答得十分干脆，但又感到茫然不解。,阿基米德继续说
12、：“不错，您当然是走皇家的坦途，但那是因为您是国王的缘故。可现在，您是一名学生。要知道，在几何学里，无论是国王还是百姓，也无论是老师还是学生，大家只能走同一条路。因为，走向学问是没有什么皇家大道的。”国王多禄米眨巴着眼睛，似懂非懂地思考了一下，总算理解了阿基米德这番话的含意，于是重新打起精神，听阿基米德继续讲课。这个故事提示了一个趔：追求科学知识没有捷径可走，科学知识对任何人都是一视同仁的。,正如伟大的革命导师马克思所说：“在科学的道路上，是没有平坦的大路可走的，只有在那崎岖小路上攀登的不畏劳苦的人们，才有希望到达光辉的顶点。”,数学世界奥妙无穷，请大家尽情驰骋吧！,祝愿大家 天天进步 谢谢大
13、家,大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。,无理数的发现第一次数学危机,数学史上的三次危机,到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
14、他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得原本第卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！,18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功
15、的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，dx为逝去量的灵魂。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长
16、达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。,无穷小是零吗？第二次数学危机,18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。,数学史上的第三次
17、危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里
18、这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：理发师是否自己给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。,悖论的产生第三次数,罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则第卷末尾写道：一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。于是终结了近12年的刻苦钻研。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却
19、在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。,毕达哥拉斯学派所倡导的是一种“唯数论”的哲学，认为宇宙的本质就是数的和谐性，即一切事物和现象都可归结为整数与整数的比。但关于正方形的对角线与其边长的不可公度线段(即其长度不能归结为整数的比)的存在和证明，使毕氏学派的基本信念遭到了致命的打击。这一不可公度性的证明在当时就被认为是悖论，人们称之为毕达哥拉斯悖论。,数学史上重要悖论,1 毕达哥拉斯(Pythagoras)悖论,埃利亚学派在世界本质问题上认为只有“存在”(神
20、)是不生不灭的，它是完整、唯一和不动的。芝诺力图证明，如果承认“多”和“运动”，就会招致“更加可笑的后果”，陷入更大的矛盾。在芝诺的论证中，有四个是最著名的，即“二分法”、“阿基里斯追龟”、“飞箭”、“运动场”等，人们称之为芝诺悖论。,2 芝诺(Zeno)悖论,古典数学名著几何原本的第一个注释者普罗克鲁斯看到圆的直径把圆分成两个半圆，而圆的直径有无穷多，所以他认为半圆的数目应当是两倍的无穷多。按当时的无穷思想，无穷应当是相等的，于是产生了“一个无穷大等于两个无穷大”的悖论，被人称为普罗克鲁斯悖论。亚里士多德发现，在两个同心而半径不相等的圆周上有相同的点数，被称之为亚里士多德悖论，即“大小不同的
21、两个圆之周长相等”的悖论。伽利略注意到，固定两个半径不相等的同心圆，再将其旋转一周，并认为证明了这两个圆的周长相等的悖论，这是亚里士多德悖论的另一种证明。同时，伽利略还用今天的一一对应方法证明了“整数同其平方数相等”，于是得出“部分等于全体”的悖论，被人称为伽利略悖论。,3 普罗克鲁斯(Proclus)悖论,亚里士多德(Aristotle)悖论,伽利略(Galilei)悖论,在17世纪末期产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。这个微积分完全以实无穷小为基础。关于实无穷小，人们自然地会问：它到底是零还是非零？如果dx=0，就得出dy/dx=0/0这一毫无意义的结果；如果dx0，无论dx如何小，则dy/d
22、x只能是马克思所说的“预备导数”，而不是真正的“导数”。这就是所谓的贝克莱悖论。,4 贝克莱(Berkeley)悖论,最早的语义学悖论是公元前6世纪被人发现的说谎者悖论。它的原始命题是“所有克里特人总是说谎者”。严格地说，这句话还不足以构成现代意义下的悖论。但是，如果对其作某些修改就构成悖论。比如以下句子：“在这一行里所说的这句话是假的”(“这句话”就是引号中句子的本身)如果肯定其真，就得出其假；反之，如果肯定其假，则又得出其真，于是构成悖论。语义学悖论，除了古老的说谎者悖论外，比较著名的还有理查德(J.Richard)悖论和格里林(K.Grelling)悖论等。,5 语义学悖论,鳄鱼和小孩,
23、一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。鳄鱼：呣。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。我应该吃掉他。M：鳄鱼碰到了难题。它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。,如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。她对鳄鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。无论鳄鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。鳄鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。,说谎者悖论,这句话是错的上面这个句子对吗？如果是对的，这句话就是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多,
