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1、专题八 二次函数的综合探究（压轴题）（3）题型18 二次函数与特殊图形的存在性探究特征与方法： 抛物线中特殊图形的存在性问题主要包括特殊三角形和特殊四边形存在性的探究，解决此类问题可按照找点求点代点的步骤进行分析思考，首先找到图形中关键点，如顶点、中点等等，再把这些点求出或用抛物线的解析式表示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据几何图形的性质代入得方程（组），如果求出的解满足题意，结果就存在，否则，就不存在. 【例1】（2016长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax24ax+1（a0）与y轴交于点A，点D的坐标为（，1），过点D作DCy轴，交抛物线于点C，过点C作CBx轴，交
2、y轴于点B，连结AD（1）当点B的坐标为（0，2）时，求抛物线对应的函数表达式（2）当矩形ABCD的边AD被抛物线分成1：3两部分时，求点C的坐标（3）当矩形ABCD是正方形时，求a的值（4）在抛物线的对称轴上有一点P，当ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标【思路点拨】本题考查了待定系数求二次函数解析式、矩形的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形性质注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键（1）由题意易得点C的坐标为：（，2），然后代入抛物线y=ax24ax+1，即可求得答案；（2）首先设抛物线交AD于点E，则点E的纵坐标为1，可求得点E的坐标，然后分别从AE=3DE或3AE=DE为相等关系
3、列方程求解即可求得答案；（3）若矩形ABCD是正方形，则AD=CD，可求得点C的坐标，然后分别从点C在点D上方与点C在点D下方，去分析求解即可求得答案；（4）分别从BAP=90，ABP=90或APB=90，去分析求解即可求得答案【解答】（1）CBx轴，DCy轴，点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（，1），点C的坐标为：（，2），抛物线y=ax24ax+1（a0）过点C，8+1=2，解得：a=，抛物线对应的函数表达式为：y=x2x+1；（2）设抛物线交AD于点E，则点E的纵坐标为1，由ax24ax+1=1，解得：x1=0，x2=4，点E的坐标为（4，1），点D的坐标为（，1），则DE=4，当A
4、E=3DE时，4=3（4），解得：a=，点C的坐标为：（，）；当3AE=DE时，12=4，解得：a=，点C的坐标为：（16，25）；（3）若矩形ABCD是正方形，则AD=CD，点D的坐标为：（，1），且DCy轴，C（，7），若点C在点D上方，则CD=8，=8，解得：a=；若点C在点D下方，则CD=8，=8，解得：a=；综上可得：a=或；（4）抛物线的对称轴方程为：x=2，ABP为等腰直角三角形，若BAP=90，则点P的坐标为：（2，1）；若ABP=90，则AB=BP=2，点P的坐标为：（2，3）或（2，1）；若APB=90，AB=22=4，点P的坐标为：（2，3）；综上所述：点P的坐标为：（2
5、，1）或（2，3）或（2，1） 【变式训练】（2016德州模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由（3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？求点M的坐标【解析】（1）由已知得，解得所以，抛物线的解析式为y=x2x+3（2）A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周
6、长最小值为：OC+OA+BC，A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），OA=1，OC=3，BC=5，OC+OA+BC=1+3+5=9；在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9（3）B（4，0）、C（0，3），直线BC的解析式为y=x+3，当BQM=90时，如图2，设M（a，b），CMQ90，只能CM=MQ=b，MQy轴，MQBCOB，=，即=，解得b=，代入y=x+3得=a+3，解得a=，M（，）；当QMB=90时，如图3，CMQ=90，只能CM=MQ，设CM=MQ=m，BM=5m，BMQ=COB=90，MBQ=OBC，BMQBOC，=，解得m
7、=，作MNOB，=，即=，MN=，CN=，ON=OCCN=3=，M（，）综上所述，在线段BC上存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）题型19 二次函数与规律探究性问题特征与方法：抛物线中的规律探究性问题通常在题中字母的下标出现字母n或年份，题目新颖，考查的知识点较多，有很浓的初高中衔接的味道，成为了江西省中考数学试题的一道主菜.解决此类问题应遵循从特殊到一般的思维方法，也就是从简单情况出发探究抛物线上关键点满足的规律，然后归纳出一般情况.例2（2017原创）在平面直角坐标系中，有一组有规律的点：A1（0，1）、A2（1，0）、A3（2，1）、A4（
8、3，0）、A5（4，1）.依此规律可知，当n为奇数时，有点An (n1，1)，当n为偶数时，有点An(n1，0)抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，抛物线Cn经过An，An1，An2（1）直接写出抛物线Cn的解析式；（2）（2）若点E（e，f1）、F（e，f2）分别在抛物线C27、C28上，当e29时，请判断A26EF是什么形状的三角形并说明理由； （3）若直线xm分别交x轴、抛物线C2017、C2018于点P、M、N，作直线A2018 M、A2018 N，当PA2018M45时，求sinPA2018N的值【思路点拨】本题
9、考查了顶点式求抛物线的解析式，勾股定理，锐角三角函数等知识和分类讨论思想、从特殊到一般的归纳思想.（1）先在备用图上画出根据顶点式C1，C2 ，C3，C4的图象，再根据顶点式求出它们的解析式，然后分n为奇数和偶数分别写出Cn的解析式；（2）由（1）的规律可知抛物线C27、C28的解析式应为y27(x27)2, y28(x28)21则得到点E（29，4）、F（29，0）、A26（25，0），根据坐标求出角度和线段的长度可得A26EF是等腰直角三角形.（3）分两种情况：在点A2018（2017,0）的左侧或右侧，根据三角函数的定义即可得到sinPA2018N的值【解答】（1）根据顶点式容易求出C1
10、，C2 ，C3，C4的解析式分别为：y1(x1)2y3(x3)2图1y2(x2)21y4(x4)21由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：当n为奇数时，yn(xn)2；当n为偶数时，yn(xn)21.（2）A26EF是等腰直角三角形.如图1，再由一般到特殊，可得抛物线C27的解析式为：y27(x27)2,且过点A27，A28，A29 ,抛物线C28的解析式为：y28(x28)21且过点A28，A29，A30,点E（e，f1）、F（e，f2）分别在抛物线C27、C28上， e29，f1(2927)24，f2(2928)2+10，点E（e，f1）、F（e，f2）坐标分别为E（29，4）、F（
11、29，0）；A26的坐标是（25，0），点F（29，0）与点A30重合，A26A3029254，EF4，且与轴平行, EF A26=90,A26EF是等腰直角三角形.（3）由（1）中发现的规律可知，抛物线C2017、C2018的解析式分别为：，.点A2018坐标为（2017，0）由（2）的研究经验发现，可以退回到简单的抛物线C3，C4的情况来研究.如图2，在点A2018（2017，0）的左侧，当m=2016时，M（2016,1），此时有PA2018M45，N（2016，-3），sinPA2018N=；在点A2018（2017，0）的右侧，当m=2018时，M（2018,1），此时有PA2018
12、M45，N（2018，1），sinPA2018N= .【变式训练】（2014抚州）如图，抛物线 ()位于轴上方的图象记为1 ，它与轴交于1 、两点，图象2与1关于原点对称， 2与轴的另一个交点为2 ，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4 ；再将3与4 同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6 ； 按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1 ,2 , ，n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”. 当时， 求图象1的顶点坐标； 点(2014 , 3) (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n 的顶点n的横坐标为201，则图象n 对应的解析式为 ，其自变量的取值范围为 . 设图象m
13、、m+1的顶点分别为m 、m+1 (m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当为何值时，以、m 、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.【解析】(1)当时， ，F1的顶点是（-1,1)； 由知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-11， 点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上； 由平移知：F2： F3：， Fn的顶点横坐标是201，Fn的解析式是：， 此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0), 200202 . (2)如下图，取OQ的中点O,连接Tm Tm+1 , 四边形OTmQTm+1是矩形， Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm
14、+1 经过O, OTm+1=6, F1： Tm+1的纵坐标为， ()2+12 =62 , = , 已知0 ， . 当时，以以O、Tm 、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形. 此时m=4. 题型20 二次函数与几何变换的综合探究特征与方法： 抛物线中的几何变换问题主要包括抛物线的平移、旋转、轴对称、中心对称及位似变换，解决此类问题先弄清变换前后抛物线上关键点的坐标发生了什么变化，再按照找点求点代点的步骤进行分析思考，把这些点求出或用抛物线的解析式表示出来，最后把点的坐标转化为线段的长度，根据图形的性质得方程（组），从而解决问题.例3（2015江西模拟）已知函数的关系式是L1：y=kx2+（k2
15、）x2（1）下列说法中正确的序号有 ：当k=1时，其顶点坐标为（，）；当k=2时，二次函数的图象关于y轴对称；无论k为何非零值，二次函数都经过（1，0）和（0，2）；（2）求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A，B，顶点为P若k0，且ABP为等边三角形，求k的值；若抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，且抛物线L2与x轴交于点C，D，是否存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间线段的三等分点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等边三角形的性质
16、；记住关于原点对称的点的坐标特征；学会用分类讨论的思想解决数学问题（1）当k=1时，把y=x2x2配成顶点式即可对解析判断；当k=2时，y=2x22，抛物线的对称轴为y轴，则可对解析判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对解析判断；（2）分类讨论：当k=0时，原函数为一次函数y=2x2，则图象一定与x轴有一个交点；当k0时，利用判别式的意义可判断二次函数图象与x轴有交点，所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）利用抛物线与x轴的交点问题，解方程kx2+（k2）x2=0可得A（，0），B（1，0），顶点P的坐标为（，），当k0时，AB=+1，如图1，作DEx轴于E，根据等边三角形的性质得
17、DE=AB，即=（+1），解得k1=2（舍去），k2=22，所以k的值为22；根据关于原点成中心对称的点的坐标特征得到C（，0），D（1，0），所以点B（1，0），D（1，0）为定点，点A（，0），C（，0）为动点，然后分类讨论：当k0时，若点B、D为线段AC的三等份点时，AC=3CD，即（）=32；当点A、C为线段BD的三等份点时，AC=CD，即（）=2，然后分别解关于k的方程求出k的值；当k0时，用同样的方法求k的值【解答】（1）当k=1时，y=x2x2=（x）2，此时顶点坐标为（，），所以错误；当k=2时，y=2x22，则抛物线的对称轴为y轴，所以正确；当x=1时，y=kx2+（k2）x
18、2=kk+22=0；当x=0时，y=kx2+（k2）x2=2，所以无论k为何非零值，二次函数都经过（1，0）和（0，2），所以正确；故答案为；（2）证明：当k=0时，一次函数y=2x2与x轴有一个交点（1，0）；当k0时，=（k2）24k（2）=（k+2）20，此二次函数图象与x轴有交点，所以无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；（3）k0，当y=0时，kx2+（k2）x2=0，解得x1=1，x2=，设A（，0），B（1，0），顶点P的坐标为（，），当k0时，AB=+1，如图1，作DEx轴于E，ABP为等边三角形，DE=AB，=（+1），即（k+2）2=2（k+2），解得k1=2（舍去），k
19、2=22，k的值为22；存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间线段的三等分点抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，点A和点B关于原点的对称点为C、D，C（，0），D（1，0），点B（1，0），D（1，0）为定点，点A（，0），C（，0）为动点，A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间线段的三等分点，当k0时，当点B、D为线段AC的三等份点时，AC=3CD，即（）=32，解得k=；当点A、C为线段BD的三等份点时，AC=CD，即（）=2，解得k=6；当k0时，同理可得k=或k=6，综上所述，k的值为，6【变式训练】（2016江西模拟）已知抛物线C1：y=ax2+
20、4ax+4a+b（a0，b0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A（1）求点A的坐标；（2）若AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值【解析】（1）抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a0，b0）经过原点O，0=4a+b，当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0，解得：x=0或4，抛物线与x轴另一交点A坐标是（4，0）；（2）抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a0，b0），（如图1）顶点M坐标为（2，b
21、），AMO为等腰直角三角形，b=2，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，a（0+2）2+2=0，解得：a=，抛物线C1：y=x22x；（3）b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）a=，y=（x+2）2+1=x2x，设N（n，1），又因为点P（m，0），nm=m+2，n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，1），顶点N在抛物线C1上，1=（2m+2+2）2+1，解得：m=2+或2题型21 多条抛物线中的探究问题特征与方法：多条抛物线中的探究问题是前3种类型的再综合，有的是一条抛物线经过几何变换得到一组抛物线，有的是随着
22、题中n的变化得到一组抛物线，再去探究其中的几何图形的性质.解决此类问题要善于综合应用前面的方法，将复杂问题转化为简单问题.【例4】（2013江西）已知抛物线yn=（xan）2+an（n为正整数，且0a1a2an）与x轴的交点为An1（bn1，0）和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1=（xa1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（，）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（，）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ；（3）探究下列结论：若用An1An表示第n条抛物线被x轴截得
23、的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An1An；是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、顶点坐标、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法、一次函数、解一元二次方程、根与系数关系、勾股定理等知识点本题涉及考点众多，计算量比较大，有一点的难度难点在于第（3）问，需要灵活运用一元二次方程根与系数关系进行化简与计算（1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=（xa1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=（x1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2
24、；再由点A1（2，0）在抛物线y2=（xa2）2+a2上，求得a2=4，y2=（x4）2+4（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x（3）由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=（xn2）2+n2，令yn=0，求得An1（n2n，0），An（n2+n，0），所以An1An=（n2+n）（n2n）=2n；设直线解析式为：y=kx2k，设直线y=kx2k与抛物线yn=（xn2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y
25、2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）4n2（1k）+k2+8k，可见当k=1时，EF2=9为定值所以满足条件的直线为：y=x2【解答】（1）当n=1时，第1条抛物线y1=（xa1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），0=（0a1）2+a1，解得a1=1或a1=0由已知a10，a1=1，y1=（x1）2+1令y1=0，即（x1）2+1=0，解得x=0或x=2，A1（2，0），b1=2由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=（xa2）2+a2经过点A1（2，0），0=（2a2）2+
26、a2，解得a2=1或a2=4，a1=1，且已知a2a1，a2=4，y2=（x4）2+4a1=1，b1=2，y2=（x4）2+4（2）抛物线y2=（x4）2+4，令y2=0，即（x4）2+4=0，解得x=2或x=6A1（2，0），A2（6，0）由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=（xa3）2+a3经过点A2（6，0），0=（6a3）2+a3，解得a3=4或a3=9a2=4，且已知a3a2，a3=9，y3=（x9）2+9y3的顶点坐标为（9，9）由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标
27、，顶点坐标满足的函数关系式是：y=x（3）A0（0，0），A1（2，0），A0A1=2yn=（xn2）2+n2，令yn=0，即（xn2）2+n2=0，解得x=n2+n或x=n2n，An1（n2n，0），An（n2+n，0），即An1An=（n2+n）（n2n）=2n存在设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=2k，y=kx2k设直线y=kx2k与抛物线yn=（xn2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得：kx2k=（xn2）2+n2，整理得：x2+（k2n2）x+n4n22k=0，x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k过点F作FGx
28、轴，过点E作EGFG于点G，则EG=x2x1，FG=y2y1=（x2n2）2+n2（x1n2）2+n2=（x1+x22n2）（x1x2）=k（x2x1）在RtEFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，即：EF2=（x2x1）2+k（x2x1）2=（k2+1）（x2x1）2=（k2+1）（x1+x2）24x1x2，将x1+x2=2n2k，x1x2=n4n22k代入，整理得：EF2=（k2+1）4n2（1k）+k2+8k，当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=9，EF=3为定值，k=1满足条件，此时直线解析式为y=x2存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x2【变式训练】（2016江西
29、模拟）已知，如图，将抛物线，,(为正整数)称为“系列抛物线”，其分别与轴交于点O，A,B,C,E,F, （1）抛物线的顶点坐标为 ；该“系列抛物线”的顶点在 上； 与轴的两交点之间的距离是 （2）是否存在整数，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？（3）以的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边PMN（M，N两点在该二次函数的图像上），请问：PMN的面积是否会随着的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由【解析】（1）抛物线的顶点坐标为（1，1）；抛物线的顶点坐标为（，），即顶点的横纵坐标相等，所以该“系列抛物线”的顶点在直线上；当时，解得，与轴
30、的两交点之间的距离是； （2）存在. 理由：如图1，抛物线的顶点坐标为（，），抛物线交轴于、两点，作轴于，则，为等边三角形，在中，解得，（不合题意，舍去），即当时，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形； （3）PMN的面积是不会随着的变化而变化 理由：如图2，作轴于，根据抛物线和等边三角形的对称性，可知MN轴， 设抛物线的对称轴与MN交于点H，则， 设M（，），HM=（）， 又PH=， ， ，,PH=3 SPMN= PMN的面积是不会随着的变化而变化，它为定值.备考全能演练（解答6道；二次函数与特殊图形的存在性探究2道，二次函数与规律探究性问题2道，二次函数与几何变换的综合
31、探究1道，多条抛物线中的探究问题1道）1（2016沈阳模拟）已知该抛物线y=x2+bx+c，经过点B（4，0）和点A（1，0）与y轴交于点C（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，经过点B的直线l交抛物线于点E，且满足EBO=ACB，求出所有满足条件的点E的坐标，并说明理由；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在左，点N在右），分别过点M，N作PMx轴，PNy轴，PM，PN交于点P点M，N运动时，且始终保持MN=不变，当MNP的面积最大时，请直接写出直线MN的表达式【解析】（1）y=x2+bx+c，经过点B（4，0）和点A（1，0），得，解得，抛物线的解析式为y=x2+
32、3x4，当x=0时，y=4，C点坐标为（0，4）；（2）如图：由题意，得OB=OC=4，BC=4，设l1与y轴交于点H，过A作ADBC于点D，ADB是等腰直角三角形，AD=BD=ABsin45，CD=，ACB=ACB=EBA，HO=，H（0，），设直线l1的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入，得k=，l1的解析式为y=x+，联立抛物线与l1，得x+=x2+3x4，解得x=，E1（，）；同理l2：y=x，x=x2+3x4，解得x=，E2（，），综上所述：E1（，），E2（，）；（3）PMN是直角三角形，斜边MN=，当PMN面积最大时，PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，由题意设M（a，
33、a2+3a4）则N（a+1，a2+3a3）或（a+1，a2+3a5），a2+3a3=（a+1）2+3（a+1）4或a2+3a5=（a+1）2+3（a+1）4，a=0或当a=0时，M（0，4），N（1，3），设直线MN为y=kx+b，则，解得，所以直线MN为y=x4当a=时，M（，），N（，），设直线MN为y=kx+b，则解得，所以直线MN为y=x2（2016长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx与x轴交于O、A两点，与直线y=x交于点B，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，2）点P在抛物线上，过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q，以PQ为边向右作矩形PQMN，且PN=1，
34、设点P的横坐标为m（m0，且m2）（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）求矩形PQMN的周长C与m之间的函数关系式；（3）当矩形PQMN是正方形时，求m的值【解析】（1）把A（3，0）、B（2，2）两点坐标代入y=ax2+bx，得，解得故抛物线所对应的函数表达式为y=x2+3x（2）点P在抛物线y=x2+3x上，可以设P（m，m2+3m），PQy轴，Q（m，m）当0m2时，如图1中，PQ=m2+3mm=m22m，C=2（m2+2m）+2=2m2+4m+2当m2时，如图2中，PQ=m（m2+3m）=m22m，C=2（m22m）+2=2m24m+2（3）矩形PQMN是正方形，PQ=PN=1，
35、当0m2时，如图3中，m2+2m=1，解得m=1当m2时，如图4中，m22m=1，解得m=1+（或1不合题意舍弃）3. （2017原创）已知抛物线：交轴于点（0，0）和点（，0），抛物线：交轴与点（0，0）与点（，0），抛物线：交轴与点（0，0）与点（，0）按此规律，抛物线：交轴与点（0，0）与点（，0）（其中为正整数），我们把抛物线，称为系数为的“关于原点位似”的抛物线族（1）试求出的值；（2）请用含的代数式表示线段的长；（3）探究下列问题：抛物线：的顶点纵坐标与、有何数量关系？请说明理由；若系数为的“关于原点位似”的抛物线族的各顶点坐标记为（，），请直接写出和所满足的函数关系式【解析】（1
36、）抛物线C1：y1=a（x-1）2+k1（a0）交x轴于点（0，0），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），b1=2（2）由与（1）相同的方法可得b2=4，b3=8，b4=16，按此规律可得bn=2n，An-1An=bn-bn-1=2n-2n-1=2n-1（3）kn与a、n的数量关系为：kn=-4n-1a，理由如下：由（1）将（0，0）代入y1=a（x-1）2+k1，可得k1=-a，b1=2，C2：y2=a（x-b1）2+k2可化为C2：y2=a（x-2）2+k2，抛物线C2：y2=a（x-2）2+k2交x轴与点（0，0），0=a（0-2）2+k2，4a+k2=0，即k2=
37、-4a用同样的方法可知，k3=-16a，k，4=-64a，按此规律可知，kn与a、n的数量关系为：kn=-4n-1a抛物线族的顶点坐标S和T所满足的函数关系式为：S=-aT2（T0）4.（2017原创）如图，一组抛物线的顶点A1（x1，y1），A2（x2，y2），An（xn，yn）（n为正整数）依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以A1（x1，y1）为顶点且过点O（0，0），B1（2，0），等腰A1OB1为第一个三角形；第二条抛物线以A2（x2，y2）为顶点且经过点B1（2，0），B2（4，0），等腰A2B1B2为第二个三角形；第n条抛物线以An（xn，yn）为顶点且经过点Bn-1（2n-
38、2，0），B2n（2n，0），等腰AnBn-1Bn为第n个三角形 （1）求第一条抛物线的解析式； （2）第几个三角形的面积为整数？ （3）若第n条抛物线为y=anx2+bnx+cn满足bn+cn=2an，求n的值.（4）若第m个三角形和第n个三角形顶角互补，直接写出m、n（mn）的值【解析】（1）第一条抛物线过点O（0，0），B1（2，0），该抛物线的对称轴是x=1又顶点A1（x1，y1）在反比例函数的图象上，y1=9，即第一条抛物线的顶点坐标是A1（1，9），设第一个抛物线为y=a（x-1）2+9（a0），把点O（0，0）代入，得到：0=a+9，解得 a=-9所以第一条抛物线的解析式是y=-
39、9（x-1）2+9；（2）由（1）的规律可知An（2n-1，）；第n等腰三角形的底边长为2，高长为，面积为；当n=1，2，5时，三角形的面积为整数.（3）设第n条抛物线的解析式为y=an（x-2n+1）2+又过点（2n，0），an=-设=m，y=-m（x-2n+1）2+m=-mx2+m（4n-2）x-m（2n-1）2+man=-m，bn= m（4n-2），cn=-m（2n-1）2+m第n条抛物线为y=anx2+bnx+cn满足bn+cn=2an，m（4n-2）-m（2n-1）2+m=-2m， 4n-2-（2n-1）2+1=-2，解得n=25（2016原创）如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B
40、（3，0）、C（0，3）（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），把C（0，3）代入得a1（3）=3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x3），即y=x22x3；因为y=（x1）24，所以顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（
41、0，3），D（1，4）代入得，解得，所以直线CD的解析式为y=x3，当y=0时，x3=0，解得x=3，则E（3，0），设P（t，t22t3）（t1），则M（t，t3），F（t，0），所以EF=t+3，PM=t22t3（t3）=t2t，而PM=EF，所以t2t=（t+3），整理得5t27t5=0，解得t1=（舍去），t2=2，所以P点坐标为（2，3）；（3）当t=2时，M点坐标为（2，5），设平移后的抛物线解析式为y=x22x3+m，当抛物线y=x22x3+m与直线y=x3有唯一公共点，方程x22x3+m=x3即x2x+m=0有两个相等实数解，则=14m=0，解得m=；当抛物线y=x22x3+m
42、经过点M（2，5），则443+m=5，解得m=2；当抛物线y=x22x3+m经过点E（3，0），则92（3）3+m=0，解得m=12，所以抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移12个单位长度6（2017原创）已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设 （1）求的值； （2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示）（4分） （3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值yOMxnl123【解析】（1）在上，
